Внутренние силы и моменты в брусе

Для определения внутренних силовых факторов в сечениях бруса, которые возникают от внешней нагрузки на брус, можно использовать также метод сечений, описанный выше и показанный на рис. 1.3. В каждой точке сечения левой части бруса действует полное напряжение. Разобьем все сечение левой части «А» на большое число малых площадок,. Систему малых сил по всему сечению бруса можно перенести в произвольную точку «О» сечения. При этом в т. О получим главный вектор силы и главный вектор момента, которые являются результатом действия отброшенной правой части.

Брус до рассечения находился в равновесии, поэтому левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил, и. Следовательно, должны выполняться векторные уравнения равновесия.

(А) Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к его оси, т. е. сечение левой части поперечное. За т. О примем центр тяжести сечения и построим правую систему координат, ось перпендикулярна к сечению, а оси х и у лежат в плоскости сечения левой части бруса (рис. 1.8). Главный вектор и главный момент можно разложить на компоненты по осям :

Рис. 1.8 (В)

Здесь: внутренняя продольная сила, вызывает растяжение или сжатие бруса; и внутренние поперечные силы, вызывают деформации сдвига; внутренние изгибающие моменты; внутренний скручивающий момент в брусе. Положительные направления всех внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса показаны на рис. 1.8: положительны, если направлены вдоль осей x, y, z; положительны, если направления этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки.

Векторные уравнения (А) с учетом разложений (В) можно записать в виде обычных шести уравнений статики для левой части бруса.

(Г).

Здесь, например, компоненты в направлении оси внешних сил, действующих на левую часть бруса; моменты относительно оси сил действующих на левую часть. Ввиду равновесия бруса в целом, по III закону Ньютона.

С учетом этого уравнения (Г) можно записать через нагрузки на правую отсеченную часть бруса.

(Д) Из соотношений (Г) и (Д) следуют общие формулы для определения внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса через внешние нагрузки на левую или правую части бруса.

(1.5).

Внешние силы (на левой и правой частях бруса) положительны, если направлены вдоль осей. Внешние моменты (от нагрузок на левую и правую части бруса) положительны, если направление этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки. Внутренние силовые факторы, действующие в сечении правой части бруса, равны по величине и противоположны по направлению действующим в сечении левой части (по III закону Ньютона).

Примечание: При вычислении внутренних силовых факторов по (1.5) нельзя заменять систему сил по разные стороны от сечения их равнодействующей, силу нельзя переносить вдоль линии ее действия из одной части бруса в другую.

Зависимость между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Внутренние силовые факторы в сечении бруса:, и есть равнодействующие внутренних напряжений, распределенных по сечению бруса. Поэтому, они связаны определенными зависимостями, которые легко установить из рис. 1.9, на котором показаны в сечении левой части бруса все положительные внутренние силовые факторы и все положительные внутренние напряжения, действующие на малой площадке с положительными координатами х и у.

Рис. 1.9.

Умножаем напряжения на площадку, полученные силы и моменты от них относительно осей x, y, z, суммируем по всей площади, А сечения (т.е. интегрируем по А), получим:

(1.6).