Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения

Рассмотрим преобразования (5)-(7) для случая плоской деформации. Выберем следующий порядок параметров состояния стержня:

. (8).

В (8) опущены индексы, указывающие направления соответствующих векторов. Будем полагать далее, что .

Запишем матрицу модели стержня и вектор распределенных нагрузок для плоского случая, используя (1):

. (9).

Найдем матрицу фундаментальных решений и вектор нагрузок, используя выражение (7) и применив обратное преобразование Лапласа:

. (10).

Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие применение описанного метода.

Пример 1. Задача о консольной балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении оси OY.

Рисунок 2 — Расчетная схема примера 1.

Найдем аналитическое решение данной задачи, используя классическую теорию изгиба:

(11).

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий, получим зависимости кинематических и силовых параметров балки: уравнение механика стержневой.

(12).

На правом свободном краю стержня получены следующие значения перемещений:. На рисунке 3 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

На рисунке 4 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке — распределение изгибающего момента.

Рисунок 4 — Силовые параметры стержня.

Найдем решение этой же задачи, используя метод начальных параметров. Запишем вектор состояния в виде (8) для стержня, используя найденную матрицу влияния (10) и выражение (7):

. (13).

Далее, в соответствии с граничными условиями в начале стержня, зададим начальные параметры. Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня :

(14).

Из системы (14) получим, что. Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(15,а).

(15,б).

В задаче задана следующая нагрузка. Для такой нагрузки решение (15,а) и (15,б) примет вид:

(16).

Сравнивая выражения (12) и (16), сделаем вывод о применимости решения, найденного методом начальных параметров.

Пример 2. Задача о балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении оси OY. На левом конце балка закреплена неподвижным цилиндрическим шарниром, а на правом конце — горизонтальной катковой опорой.

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий, получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:

(17).

Углы поворота сечения в начале и конце стержня равны.. На рисунке 6 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

Рисунок 6 — Кинематические параметры стержня.

Рисунок 7 — Силовые параметры стержня.

На рисунке 7 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке — распределение изгибающего момента.

Общий вид вектора состояния стержня совпадает с (13). Зададим начальные параметры. Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня :

(18).

Из системы (18) получим, что. Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(19).

В задаче задана следующая нагрузка. Для такой нагрузки решение (19) примет вид:

(20).

Как видно из (17) и (20) решения классическим методом и методом начальных параметров полностью совпадают.