Пример расчета (задача № 9)

Для составной балки, имеющей поперечное сечение, показанное на рис. 5.22, требуется:

• 1. Определить расчетные параметры поперечного сечения балки;
• 2. Вычислить нормальные напряжения по заданному изгибающему моменту и построить их эпюру;
• 3. Определить значения касательных напряжений в точке 3;
• 4. Определить значения главных напряжений в точке 3 и указать их направления (показать главные площадки), имея в виду, что сечение относится к левой части балки.

Дано: расчетные значения изгибающего момента и поперечной силы в сечении МP = 156 кНм, QP = 104 кН; hCT = 0,34 м; b1/hCT = 0,7; b2/hCT = 0,9; 1/hCT = 0,1; 2/hCT = 0,07; /1 = 0,4. Нормативное значение сопротивления материалу при изгибе RH = = 217 100 кН/м2, коэффициент запаса по прочности n = 1,3.

Решение.

1. Определение расчетных параметров поперечного сечения балки (рис. 5.22, а). Ширина верхней полки b1 = = 0,7hCT = 0,70,34 = 0,238 м, принимаем b1 = 0,24 м; толщина верхней полки 1 = 0,1hCT = 0,10,34 = 0,034 м; площадь сечения верхней полки м2, ширина нижней полки b2 = 0,9hCT = 0,90,34 = 0,306 м, принимаем b2 = 0,3 м; толщина нижней полки 2 = 0,07hCT = 0,070,34 = 0,0238 м, принимаем 2 = 0,024 м; площадь сечения нижней полки = 0,30,024 = =0,0072 м², толщина стенки = 0,41 = 0,40,034 = 0,0136 м, принимаем = 0,014 м; площадь сечения стенки FCT = 0,340,014 = = 0,476 м²; высота балки h = hCT + 1 + 2 = 0,34 + 0,034 + + 0,024 = 0,398 м.

Определение площади поперечного сечения балки.

м2.

Определение центра тяжести поперечного сечения балки. Ось y является осью симметрии сечения балки, следовательно, центр его тяжести находится на этой оси. За вспомогательную ось для определения координаты центра тяжести сечения на оси y принимаем ось x1 (рис. 5.22, а). Заметим, что поперечное сечение балки является составным, и включает в себя три прямоугольника (верхняя и нижняя полки, а также стенка). С учетом данного обстоятельства и воспользовавшись выражением (3.6), вычислим статический момент площади поперечного сечения балки относительно оси x1 :

Тогда положение центра тяжести на оси у определится ординатой.

м.

Определение момента инерции поперечного сечения балки относительно центральной оси (рис. 5.22). Значение момента инерции вычислим, пользуясь зависимостью между моментами инерции относительно параллельных осей:

где, и моменты инерции верхней и нижней полки и стенки, соответственно, относительно собственных горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести (см. п. 3.2),.

2. Вычислить нормальные напряжения по заданному изгибающему моменту и построить их эпюру.

Момент сопротивления Wx для точек 1 и 2 определим по формулам:

для точки 1 м³;

для точки 2 м³,.

где y1 = h — yc = 0,398 0,205 = 0,193 м, y2 = yC = 0,205 м.

Вычислим напряжения в точке 1 (рис. 5.22, а):

кН/м2 53 000 МПа < 167 000 кН/м2.

Вычислим напряжения в точке 2 (рис. 5.22, а):

кН/м2 56 000 МПа < 167 000 кН/м2.

Найдем значение нормальных напряжений в точке 3 по (5.10):

кН/м2 .

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.22, б).

Проверку прочности производим по формуле.

.

где MP расчетный изгибающий момент; Wx момент сопротивления при изгибе; RИ допускаемое напряжение при изгибе.

Допускаемое напряжение при изгибе равно:

кН/м2.

Как видно, балка имеет значительное недонапряжение.

3. Определить значения касательных напряжений в точке 3.

Касательное напряжение определим по формуле Журавского:

.

где расчетная поперечная сила, ширина сечения на уровне точки 3.

Вычислим статический момент отсеченной части в точке 3 части сечения :

= 0,0072(0,205 0,50,024)+.

+ 0,00119(0,096 + 0,1250,34) = 1,54 410−3 м3,.

где = 0,25hCT = 0,250,340,014 = 0,119 м².

Вычислим касательное напряжение в точке 3:

кН/м2.

4. Определить значения главных напряжений в т. 3 и указать их направления (показать главные площадки), имея в виду, что сечение относится к левой части балки.

Главные напряжения в точке 3 определяем по формуле:

.

Подставив в данную формулу значения 3 и 3, получим:

кН/м2;

кН/м2.

В заключение найдем положение главных площадок и направление главных напряжений (рис. 5.22, в).

При отрицательном угле 0 откладываем его от нормали к сечению (площадке) по часовой стрелке и показываем положение главных площадок и направление главных напряжений (рис. 5.22).