Решение нелинейного уравнения Фоккера — Планка

Ключевые особенности уравнения

В предыдущих главах моего исследования я уже рассказывал о решении дифференциального уравнения Фоккера — Планка в линейном случае. Для нелинейного случая алгоритм представляет собою последовательность нетривиальных переходов, которые, будут в полной мере описаны в рамках текущей главы.

Мы начнем с того, что определим факт, что искомая функция плотности вероятности не будет зависеть от времени, а значит, ее производная по времени будет равна нулю. Далее, мы сведем полученное дифференциальной уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка типа Бернулли. В контексте данной задачи, уравнение Бернулли примет вид неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, которое мы будем решать методом вариации постоянной. Затем, мы построим траектории решения искомого нелинейного уравнения Фоккера — Планка, чтобы определить, как изменяется функция плотности вероятности на интересующем нас множестве значений цен. Ограничения, накладываемые по ходу решения уравнения, будут определяться ключевыми особенностями рассматриваемой области определения исходных данных для нашего исследования.

Вообще, следует подчеркнуть, что нелинейная вариация направлена на рассмотрение случая, отвечающего большей неопределенности информации. Данный факт является ключевым в прогнозировании фондового рынка. Инвестор никогда не обладает всей полнотой информации, а значит, вынужден принимать решения в условиях неопределенности.