Вывод обобщенных дифференциального и интегрального законов распределения

Анализ опубликованных данных по оценке стабильности банковской системы, полученный на основании методик, основанных на гипотезе о нормальном распределении случайной величины, которые учитывают первые моменты СВ, такие как среднее значение, а и дисперсия у — показал, что критерий ч² не позволяет определить характер закона распределения, так как не учтены моменты более высокого порядка. [8].

В связи с изложенным, необходимо вывести обобщенный закон распределения СВ с учетом коэффициентов асимметрии k и эксцесса г.

Рассмотрим одномерный дифференциальный закон распределения случайной величины x — ц (x):

который будет отличаться от экспериментальной кривой ц_экс (x), так как функция ц (x) не учитывает высших моментов СВ, таких как k и г.

Чтобы не усложнять вычисления, перейдем к обобщенной переменой.

Формула (14) представляет двухпараметрическую модель обобщенного дифференциального распределения плотности вероятности. На основании (14) можно записать интегральный закон распределения вероятностей СВ в виде:

Законы, определенные формулами (14) и (15), могут быть использованы при аппроксимации экспериментальных данных.

Рассмотрим особенности графического представления W (Z) и F (Z) в следующем порядке.

Результаты численных расчетов W (Z) и F₁ (Z) представим на рисунке 1.

Рисунок 1.1 Дифференциальный закон распределения при Гауссовом распределении случайной величины.

Рисунок 1.2 Интегральный закон распределения при Гауссовом распределении случайной величины Проведем анализ основных характеристик кривой плотности распределения W (Z). Введем обозначения для СВ x:

по уровню 10% - 50% и 50% - 90%, которые представляют величину колебаний значений СВ.

Предположим, что k?0, а г=0. На рисунках 2.1 и 2.2 представлены распределения плотности вероятности W (x) при k0 при г=0.

Рисунок 2.1 Плотность вероятности W (x) для случая k<0 и г=0.

Рисунок 2.2 Плотность вероятности W (x) для случая k>0 при г=0.

Рисунок 2.3 Плотность вероятности W (x) для случаев эксцесса г при k=0.

На рисунке 2.1 и 2.2 также показаны три характеристики W (x) — это мода распределения; медиана, при которой площадь под плотностью вероятности делится пополам; математическое ожидание, или среднее значение.

Проведем анализ распределений W (x), представленных на рисунке 2.1 и 2.2. Как следует из рисунков 2.1 и 2.2, математическое ожидание х₃ «чувствительно» к «хвостам» распределения W (x); медиана х₃ менее чувствительна к ним, а на моду крайние значения распределения W (x)вообще не влияют. Очевидно, для симметричного распределения W (x) все три значения совпадают (см. рис 1.1). Таким образом, только на основании численных данных для первых четырех моментов случайной величины можно представить характер измерения W (x).

Так, если мода предшествует медиане (см. рис 2.2), при положительной асимметрии «хвост» распределения W (x) показывает на низкую вероятность появления больших значений СВ, — и более высокую вероятность слева от медианы.

Анализ коэффициента эксцесса г характеризует сглаженность кривой W (x) около математического ожидания (см. рис 2.3).

Учитывая все вышеизложенное, для аппроксимации экспериментальных результатов, полученных для СВ, необходимо воспользоваться W (x) и F (x), представленных двухпараметрическим рядом и формулами (14) и (15).

Численные результаты.