Уравнение параболической траектории

Математическим выражением закона движения снаряда является уравнение траектории, которое отражает зависимость между координатами х и у в любой точке полёта снаряда.

Выведем уравнение траектории снаряда, летящего под действием только одной силы тяжести.

Допустим, что в безвоздушном пространстве мы произвели выстрел из орудия под углом бросания И0 с начальной скоростью равной V0 (рис. 25).

Вылетев из ствола, снаряд опишет какую-то траекторию и упадёт в точке Д.

Необходимо найти, на какой высоте над горизонтом оружия летит снаряд на удалении X от точки вылета при данных значениях V0, И0.

Для вывода уравнения поместим начало системы координат в точке вылета, как это показано на рис. 25.

Из рисунка видно, что.

.

Определим значения АВ и АС.

Значение АВ находится из треугольника ОАВ;

АС есть не что иное, как понижение снаряда под линией бросания за время его полёа до точки С.

Понижение как путь, проходимый свободно падающим телом, определяется по формуле:

.

Время полёта снаряда до точки c находится следующим образом:

Откуда.

.

Из треугольника OAB видно, что.

.

Таким образом:

.

Тогда:

.

Подставив найденные значения AB и AC в выражение.

.

получим уравнение траектории:

.

Полученное уравнение описывает траекторию снаряда, которая представляет параболу в безвоздушном пространстве под действием только одной силы тяжести.

Траектория полёта снарядов в безвоздушном пространстве представляет собой кривую, называемую параболой.

Поэтому траекторию полёта снарядов в пустоте называют параболической траекторией.

Параболические траектории имеют следующие свойства:

• · траектория представляет собой плоскую симметричную кривую относительно вершины, т. е. вершина траектории находится посредине полной горизонтальной дальности;
• · восходящая ветвь траектории равна нисходящей ветви;
• · время полёта снаряда от точки вылета до вершины равно времени полёта от вершины до точки падения;
• · угол падения по своей абсолютной величине равен углу бросания;
• · окончательная скорость снаряда равна начальной скорости;
• · угол наибольшей горизонтальной дальности равен 45°.

При стрельбе в воздухе снарядами с небольшими начальными скоростями их траектории близки к параболическим.

Поэтому, как указывалось в очерке по истории баллистики, долгое время все расчёты для стрельбы велись по выведенному уравнению параболической траектории.