Порядок аппроксимации разностной схемы

Мы ввели понятие разностной схемы путём составления её из отдельных разностных операторов. Напомним, что каждый разностный оператор имеет определённый порядок аппроксимации, характеризующий точность аппроксимации. Следовательно, разностная схема также будет иметь порядок аппроксимации, причём по каждой независимой переменной отдельно.

Определим порядок аппроксимации явной разностной схемы (2.14). Для этого запишем разложение значений Wy^+I, l/"₊j, Wy_| в ряд Тейлора относительно точки (/", х _{) на разностной сетке:

Подставляя зависимости (2.16)—(2.18) в разностную схему (2.14), получаем:

Таким образом, явная разностная схема (2.14) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (2.13) с первым порядком по времени и со вторым порядком по координате, что записывается в следующем виде:

Легко видеть, что и неявная разностная схема (2.15) имеет тот же порядок аппроксимации.

Аппроксимация начальных и граничных условий

Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются начальные и граничные условия. Рассмотрим, как эти условия следует представлять в разностном виде.

1. Для подавляющего большинства задач начальное условие имеет вид:

Левая часть данного выражения соответствует нижнему ряду точек на разностной сетке, поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек начальное условие в разностном виде записывается следующим образом:

причём значение х . вычисляется согласно правилу:

Отметим, что если а = 0, то.

2. Граничные условия 1-го рода имеют вид:

Левая часть левого граничного условия соответствует крайнему слева ряду точек на разностной сетке; левая часть правого граничного условия — крайнему справа ряду точек. Поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек граничные условия 1-го рода в разностном виде записываются следующим образом:

причём значение t^п вычисляется согласно правилу:

3. Граничные условия 2-го рода имеют вид:

Левая часть левого граничного условия в некоторой точке t^п аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке; левая часть правого граничного условия — крайней справа конечной разностью. Поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек граничные условия 2-го рода в разностном виде записываются следующим образом:

4. Граничные условия 3-го рода можно записать в следующем обобщённом виде:

Левая часть левого граничного условия в некоторой точке t^п аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке, а выражение в правой части соответствует крайней слева точке; левая часть правого граничного условия аппроксимируется крайней справа конечной разностью, а выражение в правой части соответствует крайней справа точке. Поэтому граничные условия 3-го рода в разностном виде записываются следующим образом: