Исследование системы массового обслуживания

Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов м, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 2 — Группировка заявок по времени обработки.

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

• 1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю. Для этого, каждый i — й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.
• 2) Принять в качестве оценки параметра л показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

• (30)
• 3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

• (31)
• 4) Вычислить теоретические частоты:

(32).

где — объем выборки.

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы, где S — число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 3 — Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом.

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра л экспоненциального распределения величину, равную. Тогда:

()(33).

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

(34).

Для первого интервала:

Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

• 4) Вычислим теоретические частоты:
  • (35)

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности, их квадраты, затем отношения. Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку.

Таблица 4 — Результаты вычислений.

i.
		0,285.	34,77.	— 12,77.	163,073.	4,690.
		0,204.	24,888.	0,112.	0,013.	0,001.
		0,146.	17,812.	5,188.	26,915.	1,511.
		0,104.	12,688.	3,312.	10,969.	0,865.
		0,075.	9,15.	4,85.	23,523.	2,571.
		0,053.	6,466.	3,534.	12,489.	1,932.
		0,038.	4,636.	3,364.	11,316.	2,441.
		0,027.	3,294.	0,706.	0,498.	0,151.

Т.к., то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Расчет основных показателей системы массового обслуживания Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 10 — Граф состояний исследуемой СМО Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(36).

Для состояния S0:

(37).

Следовательно:

(38).

Для состояния S1:

(39).

Следовательно:

(40).

С учетом того, что :

• (41)
• (42)

Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:

(43).

Решение этой системы будет иметь вид:

;

;

;

;

;

;

.

Или, с учетом (36):

;

;

;

;

;

;

.

Коэффициент загруженности СМО:

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Наивероятнейшее состояние — оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.

Вероятность образования очереди:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т. е.:

Относительная пропускная способность равна:

Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529.

Абсолютная пропускная способность:

СМО обслуживает в среднем 0,13 225 заявок в минуту.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

В среднем все каналы СМО постоянно заняты.

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:

Среднее время пребывания заявки с СМО:

Среднее время пребывания заявки в очереди: