Нелинейно-упругие тела. 
Механика неоднородных тел

В литературе встречаются различные по форме соотношения, связывающие как компоненты тензоров напряжений и деформаций, так и компоненты соответствующих девиаторов. В дальнейшем при решении задач для неоднородных нелинейно-упругих тел будут использоваться равенства, по форме совпадающие с законом Гука (1.12). При отсутствии вынужденных деформаций они могут быть получены из соотношений Генки [11] и записаны в виде.

где.

В этих соотношениях E_c и G_c — секущие модули на диаграммах «а, — 8_;» и «т, — у_;», соответствующих одноосному растяжению и чистому сдвигу, при этом т, = а,/УЗ — интенсивность касательных напряжений, а у- = УЗе, — интенсивность деформаций сдвига. Секущие модули Е_с и G_c определяются равенствами.

Модуль упругости Е₀ и коэффициент Пуассона v₀, входящие в равенства (1.15), определяются из опытов на одноосное растяжение или сжатие и соответствуют начальному — линейно-упругому — участку на диаграмме «а — в». Их значения равны соответственно величинам Е и v, входящим в (1.12).

Следует отметить, что диаграмма «а- — в,» не соответствует диаграмме «а — в» при одноосном нагружении и строится на основании формул.

В свою очередь диаграмма «т, — у,» совпадает с диаграммой чистого сдвига «т — у».

Учитывая, что входящая во второе равенство (1.17) вест личина г равна —, можно для линейно-упругого тела при одноосном растяжении-сжатии с учетом первого соотноше;

3 ?

ния (1.16) получить Е_с = ———-—откуда следует, что Е_{

^(1 ^{+ v}o).

и v, в равенствах (1.15) становятся равными Е₀ и v₀.

Другим крайним случаем является случай несжимаемого материала (v₀ = 0,5). При этом для нелинейно-упругого материала получим ?, = Е_с и Vj = 0,5.

Средние значения деформаций и напряжений на основании гипотезы о линейной связи между ними удовлетворяют равенству

Одним из вопросов, возникающих при решении задач механики для нелинейно-упругого тела, является выбор зависимости, аппроксимирующей диаграмму «а, — е_;» [19]. В дальнейшем при решении некоторых задач будет использоваться зависимость с тремя константами.

которая обладает рядом преимуществ. Так, при г- —* 0 соотношение (1.18) автоматически переходит в закон Гука для линейно-упругого материала, что подтверждается простым вычислением.

Кроме того, данная зависимость имеет более широкие возможности для аппроксимации экспериментальных кривых по сравнению, например, с кубической параболой. Эмпирические константы А и а, входящие в соотношение (1.18), могут быть подобраны при известном значении Е по двум точкам диаграммы «ст, — г,».