Элементы линейной алгебры

Аппарат линейной, и в частности, матричной алгебры является необходимым инструментом для компактного и эффективного описания и анализа эконометрических моделей и методов. Ниже (как правило, без доказательств) приводят краткие сведения из линейной алгебры, необходимые для изучения эконометрики. Более подробно с методами линейной алгебры можно познакомиться, например, в пособиях [6—8], [17].

Матрицы

Матрицей размера (т х п) или тп-матрицей называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, например,.

или Л_тх_п ⁼ (я#), где a_tj — элемент матрицы. Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: [ ], II II.

Виды матриц

Если т= 1, то Если п = 1, то.

Ахп ⁼(^аа2— ^ап)~ #11.

матрица (или вектор) —

строка размера п. А_тх1 = — матрица (или век-^[1]

Если т = я, то А_пХ«=А» — квадратная матрица я-го порядка.

Если а у = 0 при то A_n=D — диагональная матрица:

Если ау= О.

(/'= 1,…, /и; у = 1,…, я), то А_тХп = 0,"_х" (или 0) — нулевая матрица., или нуль-матрица:

Если К = 0 при /*у; [я, у = 1 при / = у, то А_п=Е_п (или ?), единичная матрица п-то порядка:

= diag («n а₂2-а_т).

Равенство матриц

Матрицы A_mXn=(ajj) и В_тХ" = (by) равны, т. е. А = В, если a, j = by, /= 1,…, m;j = 1,…, я.

Операции над матрицами

1. Произведение матрицы А_тХп=(ау) на число X есть матрица В", х_п=(Ьу):

В частности, >4 • 0=0.

2. Сумма двух матриц А_тХп= (ау) и В_тХ,= (by) есть матрица С/пХр ⁼(^Cij)‘

В частности, А+0=А.

3. Произведение матрицы А_тХ" =(д") на матрицу В_пХр=(Ьу) есть матрица С_тХр=(су):

Из определения следует, что для умножения матрицы >4 и Z? должны быть согласованными: число я столбцов матрицы, А должно быть равно числу строк п матрицы В.

? Пример 12.1. Даны матрицы:

Найти АВ и ВА.

Решение. Размер матрицы произведения Аз*2 * #2хз⁼Сзхз;

Аналогично #2×3 * ^3x2⁼Qx2;

Получили, что произведения матриц АВ и ВА существуют, но являются матрицами разных размеров (порядков). ?

В частном случае.

4. Целая положительная степень А^т (т> 1) квадратной матрицы есть А^т = А • А…А.

т раз По определению,.

Особенности операций над матрицами.

В общем случае АВ ф ВА, т. е. умножение матриц некоммутативно. Если Л'" =0 или АВ =0, то это еще не означает, что А — 0 или В = 0.

Транспонирование матрицы — переход от матрицы, А к матрице А' (или А⁷), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка.

Заметим, если А_тхп =(а₀)₉ то АЛ и Л А есть квадратные матрицы соответственно т-го и я-го порядков.

В частности, если А = (а а^… а")' есть матрица (всктор);

п

столбец, то А’А = ?а?— квадратная матрица 1-го порядка,.

/=1.

^f а_ха₂ … а_ха"

т. е. число; а АЛ — а₂а_х а … а₂а_п — квадратная матрица ^а_па а_па₂ … а_п ^

я-го порядка.

• [1] > тор)-столбец размера т.