Устойчивость деформируемых систем

Явление потери устойчивости

В гл. 2 было рассмотрено центральное сжатие прямого стержня, для которого были определены нормальные напряжения, перемещения и предложены способы расчета на прочность и жесткость. Отмеченная теория хорошо согласуется с экспериментом при исследовании коротких стержней. Что же касается длинных стержней, то при определенных условиях центрального сжатия появляется новое явление — скачкообразный переход прямолинейной формы равновесия в криволинейную форму (рис. 15.1, а), называемое явлением потери устойчивости.

Рис. 15.1. Явление потери устойчивости.

При центральном сжатии в стержне возникает только внутренняя нормальная сила, которая является равнодействующей нормальных напряжений, равномерно распределенных по поперечному сечению. После потери устойчивости в поперечном сечении дополнительно возникает изгибающий момент, причем вызванные им нормальные напряжения, как правило, по величине значительно превосходят нормальные напряжения сжатия.

Напомним определение, данное в гл. 1. Свойство системы сохранять свое состояние при действии внешних возмущений называется устойчивостью.

Рассмотрим жестко закрепленный одним концом центрально сжатый прямолинейный стержень АВ (рис. 15.1, б). Если стержень отклонить от начального положения на величину v0 = ВВ' в соседнее положение АВ', а затем отпустить, предоставив ему возможность свободного движения, то на основе характера этого движения можно сделать вывод: находится стержень в устойчивом состоянии или нет.

Характер возможного движения точки В проиллюстрируем с помощью зависимости перемещения v_B от времени к

где v₀ — начальное отклонение.

Если X > 0 и со = 0, то перемещение с ростом времени уменьшается монотонно (кривая 1 на рис. 15.2). Если же со ^ О, то движение имеет колебательный характер, но амплитудное значение перемещения также уменьшается — кривая V. При пограничном случае X = 0 и со ^ 0 движение имеет периодический характер и ему соответствует кривая 1″ .

Рис. 15.2. Характер возможного свободного движения.

Рассмотрим случай X < 0. Если при этом со = 0, то перемещение одновременно с ростом времени монотонно растет (кривая 2), а если со ^ 0, то движение имеет колебательный характер с возрастающей во времени амплитудой (кривая 2').

Для классификации данных случаев используют динамический критерий устойчивости. В соответствии с этим критерием устойчивому состоянию стержня соответствуют случаи, для которых амплитудное значение перемещения постоянно или уменьшается.

Изучение вопроса устойчивости можно также провести на основе энергетического критерия. В соответствии с этим критерием в устойчивом положении потенциальная энергия системы принимает минимальное значение. Поэтому состояние системы можно качественно описать, используя аналогию с шаром, расположенным на склоне полукруглого оврага (рис. 15.3).

Выведенный из равновесного положения А шар, оказавшись на склоне полукруглого оврага в положении В, вновь скатится в начальное положение А и, продолжив движение, дойдет до положения С. После чего, израсходовав полностью имеющуюся кинетическую энергию, покатится назад. И т.д. Если при этом энергия будет рассеиваться, то амплитуда движения.

Рис. 15.3. Устойчивость шара на разных поверхностях будет уменьшаться вплоть до остановки в исходной точке А на дне оврага (рис. 15.3, а).

Модель системы, находящейся в неустойчивом равновесном состоянии, представлена шаром, помещенным на вершине полукруглого купола в положение Л (рис. 15.3, б). Если шар вывести из состояния равновесия, то он назад уже не вернется, а постепенно будет удаляться от начального положения.

Модель, соответствующая состоянию безразличного равновесия системы, представлена шаром, помещенным на горизонтальной плоскости (рис. 15.3, в).

Исходя из анализа моделей мы можем сформулировать так называемый энергетический критерий устойчивости: система находится в устойчивом состоянии, если ее состоянию соответствует минимальное значение потенциальной энергии по сравнению с любым бесконечно близким соседним положением.

Оценка устойчивости с помощью динамического критерия устойчивости связана с исследованием дифференциального уравнения движения. Энергетический критерий требует вычисления энергии системы. Поэтому от применения динамического и энергетического критериев часто отказываются в пользу так называемого статического критерия устойчивости, или подхода Эйлера, который будет рассмотрен ниже.

Вместе с тем существуют исключения, когда статический критерий устойчивости не работает, в то время как динамический критерий позволяет установить значение критической силы. Такие случаи возникают при рассмотрении так называемых неконсервативных систем. В неконсервативных системах неприменим закон сохранения механической энергии вследствие перехода ее в другие виды энергии.