Суммирование по модулю m = 4
Будем рассматривать случайные величины, принимающие значения в группе G = Z2 х Z2, которая состоит из двоичных векторов длины 2 с операцией покоординатного сложения по модулю 2. В данном случае под характеристическим многочленом случайной величины г], задаваемой вероятностями Рп = {pv{i, j), i, j € Z2}, понимается многочлен от двух переменных. Упражнение 5.12.2. Доказать, что сумма независимых… Читать ещё >
Суммирование по модулю m = 4 (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Для гп = 4 над любым кольцом для многочлена хт — 1 имеет место следующее разложение на множители:
В случае кольца R все множители неприводимы.
Общий вид характеристического многочлена случайных величин и ?-2> сумма которых? = + ?2 является равномерно распределенной случайной величиной, задается соотношениями.
Упражнение 5.12.1. Показать, что характеристические многочлены в таком случае задаются равенствами.
где а, /3, 7 G R, а ^ Щ |-у| < .
Упражнение 5.12.2. Доказать, что сумма независимых случайных величин, одна из которых является равномерно распределенной случайной величиной, всегда является равномерно распределенной случайной величиной независимо от распределения остальных суммируемых случайных величин.
Суммирование в группе G = Z2 х Z2
Будем рассматривать случайные величины, принимающие значения в группе G = Z2 х Z2, которая состоит из двоичных векторов длины 2 с операцией покоординатного сложения по модулю 2. В данном случае под характеристическим многочленом случайной величины г], задаваемой вероятностями Рп = {pv{i, j), i, j € Z2}, понимается многочлен от двух переменных.
который мы будем рассматривать как элемент кольца.
многочленов от двух переменных над полем действительных чисел К по модулю идеала, порожденного многочленами х2 — 1 и у2 - 1.
Упражнение 5.12.3. Доказать, что для суммы? = ^ -=1& независимых случайных величин, заданных на группе G — Z2 х Ъч, справедлив аналог утверждения 5.19, то есть в фактор-кольце М[.т, у]/(ж2 — 1 , у2 — 1) выполнено равенство.
Дадим теперь описание характеристического многочлена случайных величин ?j, j = 1,2,3, сумма которых? = + ?2 +?з имеет равномерное распределение на группе Z2 х Z2.
Теорема 5.13. Пусть на группе Ъ>_ х Z2 заданы три независимые случайные величины? j, j = 1,2,3, характеристические многочлены которых имеют вид
где € М, |ау| ^ /3j ^ Тогда, их сумма? = ?1 + ?2 + ?3.
является равномерно распределенной случайной величиной.
Доказательство предлагается читателю в качестве упражнения. Оно проводится непосредственной проверкой с учетом приведенного выше упражнения и того, что характеристический многочлен равновероятно распределенной случайной величины? имеет вид.
