Числовое представление сигналов функционалами

Преобразование достаточно общих множеств сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произвольного множества значений аргумента в множество значений функции называют функциональной зависимостью или просто функцией.

Однако может быть и другой подход, когда сложная функция представляется набором стандартных (базисных) функций и набором коэффициентов, показывающим вклад каждой базисной функции. Таким образом, сложная функция может быть представлена суммой базисных функций с весовыми коэффициентами. Если число членов ряда велико, то лучше представить его интегралом произведения базисной функции на исследуемую. Отображения множества обычных функций в числовые значения называют функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции».

Представление функций рядами

В дальнейшем будут использованы приближенные представления сигналов в виде рядов, которые можно рассматривать как счетную последовательность функционалов {f_k: k = 1, 2, …}:

здесь {ф^; к = 1, 2, …} — заданное множество сигналов, выбранных независимо от аппроксимируемого сигнала x (t); символ Т здесь и далее — это интервал действительной оси, на котором аппроксимация рядом правомерна. Знак ~ указывает на то, что ряд дает приближенное представление.

В качестве известного примера рассмотрим разложение в ряд Фурье произвольного сигнала:

где коэффициенты разложения с_т определяются функционалами.

Представление функций функционалами

Приведем несколько примеров типичных функционалов:

Все приведенные функционалы выражаются интегралами; такая форма функционала наиболее удобна и применяется даже тогда, когда содержит особые (обобщенные) функции, такие как 5-функция в /₄ и/₅, требующие специального определения, чтобы функционал имел смысл.

Двойственность времени и частоты

Учитывая взаимосвязь между отображениями и функционалами, напомним о взаимно однозначном соответствии множества функций времени и их преобразований Фурье. Отметим также симметричную природу прямого и обратного преобразований Фурье. Вследствие этого каждому отношению временных функций соответствует парное отношение их преобразований Фурье.

Свойство частотно-временной двойственности, проявляемое функциями времени и их преобразованиями Фурье, часто используется в теории сигналов. При решении любой задачи из теории сигналов мы всегда получаем также двойственное решение задач прямого и обратного преобразований Фурье, которые могут иметь большое практическое значения. Например, чтобы определить амплитудночастотную характеристику согласованного фильтра, необходимо знать спектральную характеристику сигнала.