Применение подхода для решения задачи обеспечения максимальной скорости за минимальное время на конечном участке пути

Для иллюстрации метода многокритериального синтеза позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации рассматривается простейший пример стационарной линейной системы с применением многопрограммного управления (6).

Пусть движение объекта во времени t описывается системой уравнений.

|u|? 1, t0 = 0, tk = T, T — не фиксировано.

Матричная форма записи (11) имеет вид.

Требуется перевести объект из начального положения.

x'(0) = 1, x'' (0) = 0

в конечное состояние (на ось ординат x'').

x'(T) = 0

Вектор критериев имеет вид J = (J1, J2).

J1 (x, u) = 0? T dt = T > min u

J2 (x, u) = x'' (T) > max u

Физически (15) (16) трактуются как простейшая задача обеспечения максимальной скорости за минимальное время (задача «разгона» объекта).

При получении «идеальной» точки на первом этапе данного метода «компромиссов» раздельным решением задач (15) (16) (рис. 1), решение задачи (16) дает вырожденный результат max u J = ?, поэтому вносится фазовое ограничение.

| x'(t)|? 3

как условие получения результата на участке «разгона» ограниченной длины.

Для решения задач (15) (16) используется принцип максимума Понтрягина [13]. В результате решения, получены значения показателей в «идеальной» точке (рис. 1, подобная т. 1').

J1* = min u [J1(x, u)]=1,414 J2* = min u [-J2(x, u)] = max u J2(x, u) = 2,449

На втором этапе метода многокритериальной оптимизации с использованием компромисса на основе «идеальной» точки, оптимальной функции Салуквадзе (3) определяется точка Парето-области многокритериальных решений, которая находится на минимальном расстоянии от «идеальной» точки (рис. 1, т. 2'). Задача по критерию (3) с использованием (18) также решается на основе принципа максимума Понтрягина.

В результате получаем:

J10 = 2,678, J20 = 0,54, tn = 1,069

где tn — точка переключения управления В соответствии с постановкой задачи многопрограммного управления без ограничения ее общности будем считать, что N = 2. Поэтому повторяем решение задачи с измененными начальными условиями (13).

x'(0) = 1,5 x'' (0) = 0

В результате получаем.

J10 = 2,858, J20 = 0,358, tn = 1,25

Введем преобразование обозначений полученных оптимальных управлений и траекторий.

uk0 > xk = (x'k, x''k) = (xk1, xk2) k=1,N, N = 2

при чем.

k=1, x11(0) = 1, x12(0) = 0; k=2, x21(0) = 1,5, x22(0) = 0

Управления u01 и u02 имеют вид:

Аналитический вид траекторий х1 и х2.

Для получения u (x, t) в форме (6) вводится дополнительная обратная связь.

uдоп = C (x - xk) = C (Дx)

которая обеспечивает устойчивость (асимптотику) для всех k=1,N (Дx(t)>0).

В соответствии с (11) (12) имеем Где.

Для устойчивости системы (28) необходимо найти [21] коэффициенты бi уравнения.

Откуда следует условие для выбора б1 и б2.

б2 < 0, б1 0, i=1,2

Первый участок u (x, t) на 0? t? 1,069 имеет вид выражения.

Второй участок u (x, t) на 1,069? t? 1,25 принимает вид.

Третий участок u (x, t) на 1,25? t имеет вид.

Выражения x11±, x12±; x21±, x22± в аналитической форме даны формулами (25) (26). Данные выражения могут быть получены и использованы в численном виде. Выражение для u (x, t) является нелинейными функциями.

от х' и x". Величины параметров q1 > 0 и q2 > 0 уточняются в процессе моделирования. Универсальная структура u (x, t) не изменяется и не критична к области начальных условий, например:

1? x'(0)? 1,5; x"(0) = 0

при терминальном условии x'(T) = 0 в ограничении |x'(T)|? 3.

В результате, решена задача многокритериального синтеза на основе многопрограммного притягивающего вектора (x1(t), x2(t)) оптимальных траекторий, полученных на основе идеальной точки на множестве начальных условий.

Рис. Структура системы управления с обратной связью

На рис. 2 дана структура системы управления полученной на основе синтезированного многокритериального позиционного управления.

Моделирование в программной среде MATLAB выполнено по схеме на рис. 3.

Рис. Схема моделирования системы

Временная реализация u (x, t) при x'(0) = 1,25 дана на рис. 4.

Рис. Временная реализация u (x, t) при q1=q2 от 1 до 10.

Как следует из рис. 4 многокритериальное позиционное управление достаточно хорошо «ориентировано» на усредняющие свойства оптимальных программных управлений. Кроме того, асимптотические свойства обладают полезной грубостью.

Рис. Фазовые траектории x"(x'), q1=5, q2=5

На рис. 5 показано, что траектория соответствующая полученному позиционному управлению обеспечивает высокий уровень свойств многокритериальной оптимальности на множестве начальных условий.