Составление математической модели

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эти модели достаточно адекватно отражали свойства реальных устройств. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы.

• 1. Составление гносеологической {мысленной) модели объекта. На основе технического задания и в результате изучения режимов работы объекта у инженера возникает приближенная мысленная модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.
• 2. Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных (dim и > dim у). Размерность переменных состояния не может быть меньше размерности выходных переменных (dimx > dim г/). Размерность возмущающих воздействий М может быть произвольной и никак не связана с размерностями г/, х, и.
• 3. Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.
• 4. Приведение уравнений объекта к стандартному виду с точки зрения теории автоматического управления.

Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления она может быть разной.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой — должна быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Пример 2.3. Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), где [/_вых = U_v R_H = О, R_u —? °о, записать для нес уравнения состояния.

Рис. 2.1. Эквивалентная схема объекта.

Решение

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Перейдем к стандартному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цени, г. е. у = U₂; управляющим воздействием — напряжение на ее входе (и = ?/,), а переменной состояния — ток, протекающий, но цени (х = Г). С учетом введенных обозначений запишем исходные уравнения объекта в следующем виде:

а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния:

где Л = R/L; В = 1 /L; С = R.

Пример 2.4. Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.

Рис. 2.2. Схема двигателя постоянного тока Здесь [7_Я — напряжение, подаваемое на якорь двигателя, которое будем считать входным воздействием; / — ток в цепи якоря, который представляет собой внутреннюю переменную объекта; R> L — сопротивление и индуктивность цепи якоря; Е — противоЭДС, т. е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле; со — скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной.

Решение

Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе при отсутствии момента нагрузки на его валу. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид

Уравнение механического равновесия моментов на валу двигателя следующее:

где/ — приведенный момент инерции; М_л — вращающий момент; М_с — момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.

С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что Е = = с_хсо, М_д = с₂/, М_с = M_c(t), где с, = const, i = 1, 2. В результате уравнения двигателя принимают вид.

Запишем уравнения двигателя в переменных состояния, введя следующие обозначения: и= U_n — управление; х_{ = со, х₂ = I — переменные состояния; М= М_с — возмущение. Имеем

с₂ 1 с_х R 1 где ci_[2 — —, h — а₂ ~ и₂₂ ~ Ь —

Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения

RL

Здесь Т_м = — — электромеханическая постоянная времени двигателя; Т_я =

L ^{С, С2} 1.

= — — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; k = — — коэффи;

^R R ^С'

циент усиления; k_M = —.

с, с₂

Пример 2.5. Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке), перемещающейся в горизонтальном направлении. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «каретка — маятник». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.

Рис. 23. Объект управления «каретка — маятник».

Здесь ф (?) — угол отклонения маятника (выходная переменная); U (t) — прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); s (t) — перемещение каретки; ш, — масса каретки; L — расстояние между осью и центром тяжести маятника; т₂ — масса маятника; J — момент инерции относительно центра тяжести; g — ускорение силы тяжести; H (t) и V (t) — горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка — маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений.

F 1 ₍ J+m.L¹

где я₉ = —; а, = —, a_A=gc-——эффективная длина маятника.

¹ т₂ ¹ т₂ ⁴ m_{L

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины:

а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника, т. е. у = ф. В результате уравнения состояния принимают вид.