Структура и качество оптического изображения

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра ЭТТ РЕФЕРАТ На тему:

«Структура и качество оптического изображения»

МИНСК, 2008

Основные характеристики структуры изображения

Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения.

Передача структуры предмета или изображения — это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций и. Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат.

Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета — это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу.

Свойство линейности

Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:

. (1)

То есть, если предмет — это сумма точек, то изображение — сумма изображений этих точек. Изображающие оптические системы полностью линейны.

Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)

При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.1):

(2)

где V — обобщенное увеличение.

Рисунок.1 — Условие изопланатизма.

В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.

Изопланатическая зона — это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.

Функция рассеяния точки

В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.2).

Рисунок 2 — Изображение точки в пределах изопланатической зоны.

Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки.

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) — это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет — это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет, то каждая его точка изображается в виде функции, то есть ФРТ смещается в точку с координатами (рис.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений:

. (3)

Если увеличение V принять за единицу, то выражение (3) становится сверткой (конволюцией).

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:

(4)

Гармонический периодический объект

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части — периодические решетки.

Периодическая решетка — это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка — это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3).

В электронике существует аналог гармонической решетки — периодический во времени сигнал на входе прибора.

Рисунок 3 — Гармоническая периодическая решетка

Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:

(5)

где a — вещественная амплитуда, b — сдвиг, T — период, — угол ориентации.

Вместо периода можно использовать пространственную частоту, а вместо вещественной амплитуды и сдвига — комплексную амплитуду:

(6)

Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

(7)

Величину можно выразить как, тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат (x, y):

(8)

где — частота в направлении x, — частота в направлении y.

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение — это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию (8):

. (9)

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V=1, следовательно:

.

После замены переменных получим:

или, после переобозначения :

. (10)

Двойной интеграл в выражении (9.10) — это некоторая функция, зависящая от пространственных частот.

Обозначим, и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:

. (11)

Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки — это и есть действие оптической системы.

Оптическая передаточная функция (ОПФ)

Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

. (12)

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием — преобразованием Фурье:

(13)

или

или ,

где F — обозначение Фурье преобразования:

. (14)

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция — это комплексная функция:

. (15)

Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

(16)

где a — амплитуда на предмете, a — амплитуда на изображении.

Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис. 9.4) определяется выражением:

. (17)

Рисунок 4 — Контраст гармонического объекта.

. Абсолютный контраст получается, когда (рис. 5.а). Контраст в изображении нулевой, когда — изображение практически отсутствует (рис. 5.б).

Рисунок 5 — Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта

Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:

(18)

где — порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза).

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a₀ и a переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.6):

. (19)

Рисунок 6 — Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта

Если, то ЧКХ, как следует из выражения (16) будет определяться следующим соотношением:

(20)

где k — контраст изображения, k — контраст предмета.

Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ — прямая, параллельная оси.

Рисунок 7 — Частотно-контрастная характеристика.

Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в [лин/мм]. Для дальнего типа пространственная частота измеряется в [лин/рад].

Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:

— графиков сечений или ,

— изометрического изображения «поверхности» ,

— карты уровней .

Схема формирования оптического изображения

Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными (формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции).

Рисунок 8 — Схема формирования оптического изображения.

Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A₀, и после идеальной оптической системы сходится в точке A₀. Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты S_w и S_w. Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам:

— преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся,

— ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта,

— ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля,

— нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля.

Рассмотрим поле на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте. Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт — поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю =0. При отсутствии аберраций амплитуда поля единичная, следовательно поле на волновом фронте. Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта:

(21)

где — расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча.

Поле на выходной сфере математически можно представить в виде:

(22)

где — волновая аберрация, — зрачковая функция.

В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций.

Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением:

(23)

где — канонические зрачковые координаты, — функция пропускания по зрачку, — область зрачка в канонических координатах.

Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции.

Рисунок 9 — Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.

Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9):

. (23)

Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде:

. (24) Поскольку и, то множитель можно представить в виде. Множитель, следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (24) преобразуется так:

(25)

можно выразить через и (рис. 10).

Рисунок 10 — Связь с радиусом выходной сферы и расстоянием

от выходной сферы до точки

Отрезок, причем — для крайнего луча, а для остальных лучей:,. Теперь интеграл (25) можно записать так:

. (26)

Введем канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении:

. (27)

Тогда в канонических координатах получим:

. (28)

Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье:

. (29)

Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах.

Функция рассеяния точки — это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды. Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение:

. (30)

Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах:

(31)

где — канонические пространственные частоты:

(32)

Канонические частоты безразмерные:. В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией:

. (33)

Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции:

(34)

где — площадь зрачка в канонических координатах.

1. Бегунов Б. Н., Заказнов Н. П. и др. Теория оптических систем. — М.: Машиностроение, 2004

2. Дубовик А. С. Прикладная оптика. — М.: Недра, 2002

3. Нагибина И. М. и др. Прикладная физическая оптика. Учебное пособие.- М.: Высшая школа, 2002