Эконометрика

Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП)

Контрольная работа по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1

Выполнил:

студент группы №

Проверил:

преподаватель ИНЭП,

кандидат технических наук

Ю.М. Давыдов

г. Лосино-Петровский

2008;2009 уч. год

1. Цель работы

Цель контрольной работы — демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике — как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

квадратов (МНК).

2.1 Контрольная задача № 1

2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^ (1), где А^ - вектор-столбец параметров регрессии;

x_i1 — предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

(1 32) (20)

(1 30) (24)

(1 36) (28)

(1 40) (30)

(1 41) (31)

(1 47) (33)

X = (1 56) Y = (34)

(1 54) (37)

(1 60) (38)

(1 55) (40)

(1 61) (41)

(1 67) (43)

(1 69) (45)

(1 76) (48)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁) ^T и ² — нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т.

Получим X^T* X * A^{^} = X ^T * Y ,

откуда A^{^} = (X^T * X) ^-1 *(X^T * Y) (3),

где (X^T * X) ^-1 — обратная матрица.

2.1.2. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)

X^T = (32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76)

в) Находим произведение матриц X^T *X :

(14 724)

X^T * X = (724 40 134)

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

(492)

X^T * Y = (26 907)

д) Вычисляем обратную матрицу (X^T * X) —¹ :

(1,64 562 -0,0192)

(X^T * X) —¹ = (-0,0192 0,371)

е) Умножаем обратную матрицу (X^T * X) —¹ на произведение

матриц (X^T *Y) и получаем векторстолбец A^ = (a ₀, a ₁)^T :

(7,0361)

A^ = (X^T * X) —¹ * (X^T * Y) = (0,543 501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

у_i^{^} = 7,0361 + 0,543 501* x_i1 (4).

у_i^{^} (60) = 7,0361 + 0,543 501*60 = 39, 646.

2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров A применим коэффициент детерминации R². Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.

Q = ?(y_i — y?)² (5) — общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ?(y^_i — y?)² (6) — сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ?(y_i — y^_i)² (7) — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е (8).

Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.

Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R² = 1 — Q_e / Q = 1 — 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R², очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).

2.2 Контрольная задача № 2

2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х₁ — количество удобрений, расходуемых на гектар (тга);

Х₂ — количество химических средств защиты растений на гектар (цга) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ (1), где А^ - вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1}, х_{i 2} — предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

(1 0,32 0,14) (9,7)

(1 0,59 0,66) (8,4

X = (1 0,3 0,31) Y = (9,3)

(1 0,43 0,59) (9,6)

(1 0,39 0,16) (9,6)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂) ^T и ² — нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1

A^{^} = (X^T * X) ^-1 * X^T * (3),

где (X^T * X) ^-1 — обратная матрица.

2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(1 1 1 1 1)

X^T = (0,32 0,59 0,38 0,43 0,39)

(0,14 0,66 0,53 0,59 0,13).

в) Находим произведение матриц X^T *X :

(5 2,11 2,05)

X^T * X = (2,11 0,932 0,94)

(2,05 0,94 1,101).

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

(46,6)

X^T * Y = (19,456)

(18,731).

д) Вычисляем обратную матрицу (X^T * X) —¹ :

(5,482 — 15,244 2,808)

(X^T * X) —¹ = (-15,244 50,118 -14,805)

(2,808 -14,805 7, 977).

е) Умножаем обратную матрицу (X^T * X) —¹ на произведение

матриц X^T * Y и получаем векторстолбец A^ = (a ₀, a ₁, a ₂)^T :

(11, 556)

A^ = (X^T * X) —¹ * (X^T * Y) = (-5, 08)

(0, 0219)

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

y_i^{^} = 11,456 — 5,08 * x_i1 — 0,0219 * x_i2 (4) .

2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^₀, a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле

^² = —————— (Y — X * A^)^T * (Y — X * A^),

k — n — 1

после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = ^vh_ii, где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T * X) —¹ .

А. Произведение матриц X * A^:

(9,833)

(8,472)

Y^{^} =X * A^ = (9,536)

(9,283)

(9,476).

Б. Разность матриц (Y — X * A^) :

(-0,132)

(- 0,072)

(Y — X * A^) =(-0,036)

(0,116)

(0,0835).

В. (Y — X * A^)^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835)

Г. Произведение (Y — X * A^)^T * (Y — X * A^) = 0,4 458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

1 1

^² = —————— (Y — X * A^)^T *(Y — X * A^) =———* 0,4 458 = 0,0223.

k — n — 1 2

^ = 0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:

S ₀ = 0,0223 * 5,482 = 0,3496 ;

S ₁ = 0,0223 * 50,118 = 1,057 ;

S ₂ = 0,0223 * 7,977 = 0,4217 .

Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3

Оценки параметров трендовой модели.

3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

Таблица 3

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀, а₁, а₂, а₃, так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .

Матрица Х размерами 5?4 и вектор-столбец Y размерами 5?1, будут иметь следующий вид:

(1 1 1 1) (1,84E+10)

(1 2 4 8) (1,89E+10)

X = (1 3 9 27) Y = (1, 98E+10)

(1 4 16 64) (2, 03E+10)

(1 5 25 125) (2,11E+10)

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров A и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

(а₀) (1,79E+10) (1, 838E+10)

(а₁) (3,976E+08) (1,899E+10)

A = (а₂) = (8,929E+07) Y^ = (1, 967E+10)

(а₃) (- 8,333E+06) (2, 039E+10)

(2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а₃ = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.

3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R² .

Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели

y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,8 929*t² — 0,8 333*t³ .