Решение задач комбинаторики

За последнее десятилетие подход к математическим расчетам изменился коренным образом. На смену счетчикам, арифмометрам и калькуляторам пришли компьютеры. Специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий на практике применять знания, производить математические вычисления с помощью компьютера, едва ли может считаться высококлассным.

И поэтому цель практики для студентов математических отделений: освоить основные приемы работы на компьютере. Данные задания направлены для решения математических задач со средствами MicrosoftExcel. Изучения MicrosoftExcel студентами во время практики, также будет полезна в будущем для решения подобных задач или для быстрой обработки математических данных.

Excel — это программный продукт, который относится к категории электронных таблиц, которые предназначены для выполнения разнообразных вычислений. Основное рабочее поле электронной таблицы состоит из набора строк и столбцов. Они отображаются на экране в специальном окне, которое можно прокручивать вверх и вниз, вправо и влево. Область, находящаяся на пересечении строки и столбца, называется ячейкой. В ячейке может находиться число, текст или формула. С помощью формул можно выполнять вычисления, в которых используются значения, содержащиеся в других ячейках. Вы можете копировать и перемещать ячейки, а также изменять содержащиеся в них формулы.

Наиболее важным преимуществом электронной таблицы является то, что при изменении содержимого какой-либо ячейки, используемой в формуле, результат будет автоматически пересчитываться. Это означает, что если вы создадите электронную таблицу с определенными формулами, то, внеся в нее небольшие изменения, сможете использовать ее и в других случаях. В настоящее время Excel — «бестселлер» среди программ электронных таблиц.

1. Аналитическая геометрия

Линии на плоскости.

Упражнение № 1.

Построить прямую заданную общим уравнением: l: 3x — 5y + 15 = 0 в диапазоне x[-1; 3] с шагом .

Решение:

Для того, чтобы получить нужный график, в ячейку А2 вводим аргумент -1, в ячейку А3 вставим = A2+0,25 и выделяем блок ячеек А2: А18, таким образом заполняем до А18. Затем в ячейке В2 вводим уравнение функции =(15+3*A2)/5, и также выделив блок ячеек В2: В18 заполняем остальные блоки В.

Далее заходим в пункт «Вставки» и разделе выбираем «Графы» «График с маркерами». Дальше вводим «Диапазон данных», то есть вводим ссылку ячеек B2: B18;

Результат:

Рис. 1

Упражнение № 2

Построить параболы:

1) y²=6x в диапазоне хc шагом

2) x²=8y в диапазоне х c шагом .

Решение:

1). Вводим в ячейку А1 слово — «Аргумент», а ячейке В1 слово ;

«Значения». В ячейке А2 вводим данные Х, то есть 0 и в ячейке А2 вставим =А2+0,25 и выделяем А2: А18 до ячейки А18. Заполняем ячейку В2 — вводим уравнение =КОРЕНЬ (6*А2) и выделив блоки А2: А18 заполняем оставшиеся блоки. Так как требуется построить параболу и с отрицательными значениями, вводим в ячейку C2 формулу = - КОРЕНЬ (6*А2) и растягиваем формулу в диапазоне С2: С18.

После построение таблицы заходим «Вставки» > «Графы"> выбираем «График с маркерами» > заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: C18.

Результат:

Рис. 2

Вводим в ячейку А21 слово — «Аргумент», а ячейке В21 слово — «Значения». В ячейке А22 вводим данные Х, то есть -2.25 и в ячейке А2 вставим =А22+0,25 и выделяем А22: А40 до ячейки А40. Заполняем ячейку В22 — вводим уравнение =A22²/8 и выделив блоки B22: B40 заполняем оставшиеся блоки.

После построение таблицы заходим «Вставки» > «Графы"> выбираем «График с маркерами"> заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В22: В40.

Результат:

Рис. 3

Упражнение № 3.

Графически решить систему Решение:

Для построения диаграмм, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Аргумент. Затем в ячейку А2 — первое значение аргумента — 0. Далее будем вводить приращение аргумента с шагом 0,2. Введем в ячейку А3 сумму левой границы диапазона плюс шаг (0,2). Затем выделив блок ячеек А2: А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А17).

Далее требуется ввести значения функции (первого уравнения). В ячейку B1 вводим искомое уравнение и устанавливаем табличный курсор в ячейку B2. Здесь должно оказаться значение. Для получения значения y введем в ячейку B2 формулу: =КОРЕНЬ (4 — А2²). Затем выделив блок ячеек B2: B12, автозаполнением получаем все значения функции.

Затем вводим значения функции (второго уравнения). В ячейку C1 вводим искомое уравнение и устанавливаем табличный курсор в ячейку C2. Здесь должно оказаться значение синуса воспользуемся специальной функцией. Для получения значения y введем в ячейку B2 формулу: =2*SIN (A2). Затем выделив блок ячеек C2: C17, автозаполнением получаем все значения функции.

Результат:

Рис. 4

Упражнение № 5.

Построить прямую с угловым коэффициентом а=3/5, и проходящая через точки К (-1; 2) в диапазоне х.

Решение: Выводим формулу y = kx+b>=k () где y1=2, x1=-1, > вместо kпоставляем а=3/5, тогда формула имеет вид y-2=3/5 (x+1), данное уравнение умножаем на (*5), чтобы сократились дроби > формула будет иметь вид 5y-10=3x-7 после этого переносим значения в левую часть, потом переносим «y» в левую сторону. И наша данная формула будет иметь вид y= .Теперь заполняем таблицу подобии предыдущих задач, А2 вводим -1 с шагом 0,25, в ячейку В2 вводим нашу формулу.

Затем строим график для этой таблицы, так как в ранних задачах заходим «Вставки» > «Графы"> выбираем «График с маркерами» > заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14.>Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» >затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Значения» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы». Результат (рис. 2).

Рис. 2

Упражнение: 10

Построить прямую, проходящую через точки, А (2; - 4), параллельно прямой L. 2x-3y+1=0 в диапазоне x

Решение: Выводим формулу прямой из заданного уравнения 3yпереносим в левую часть, затем переносим 3 в правую часть, тогда данная формула имеет вид y=.Разобьем на две дроби тогда наша формула имеет y=2/3*x+1/3. Теперь заполняем таблицу аргументов А2 вводим -1, затем в А3 вставим = А2+0,25, и заполняем остальные значения до А18. В ячейке В2 вводим нашу полученную уравнение, и также заполняем другие значения.

После построение таблицы заходим «Вставки» > «Графы"> выбираем «График с маркерами» > заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14.>Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» >затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Значения» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы». Результат (рис2)

Кривые второго порядка на плоскости

Упражнение: 13

Построить гиперболу y=½x в диапазоне [0.1; 5.1] c шагом .

Решение: Для начало мы заполняем ячейку А2 данными Х, то есть 0,1. Потом в ячейку А3 вводим =А2+0,25, и выделив блоки А2: А22 заполняем автоматически. Переходим в ячейку В2 вставим уравнение гиперболы =½х, и выделив В2: В22 заполняем автоматически. Затем заходим в меню «Вставки» > «Графы» > выбираем «График с маркерами» > Заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14. > Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» > Затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Значения» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы». Результат (рис) Упражнения: 15

Построить параболы а) х

b) .

Решение: а) из данной формулы выводим «y», тогда степень переносим в правую часть, и тогда функция будет иметь вид. Далее заполняем таблицу в ячейку А2 вводим 0,> в ячейку А3 вставим =А2+0,25. > выделяем блок А2: А18 и авто-заполняем до А18. В ячейку В2 вставляем уравнение =КОРЕНЬ (6*An).Также заполняем остальные значения. Затем заходим в меню «Вставки» > «Графы» > выбираем «График с маркерами» > Заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14. > Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» > Затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Значения» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы». Результат (рис1)

b) Уравнения после аналогичного преобразования будет иметь вид y=x²/8. Также заполняем таблично. Делаем все аналогична, как пример первой задачи. Результат (рис2).

Рис. 1

Рис2

Упражнение: 17

Построить окружность, имеющую центр в фокусе параболы и касающуюся уу директрисы, если р=2,5. Диапазон и шаг выбираем сами.

Решение: Возьмём диапазон значений х, cшагом. Тогда уравнение окружности будет равна, >, > теперь найдем фокус параболы, если р=2,5, то оно тогда равна F=2/2.5 и это будет = 1,25. Теперь полученное число вставляем в формулу окружности .

Начинаем заполнять таблицу диапазон будет от-4 до 4, и для этого в ячейку А2 вставляем -4, а дальше в ячейку А3 вводим значение с шагом =А2+0,5, потом выделяем А2: А18 и делаем авто-заполнение. Теперь переходим в ячейке В2, и вставляем нашу формулу окружности… и также выделив ячейки В2: В18 делаем авто-заполнение. Затем, заходим в меню «Вставки» > «Графы» > выбираем «График с маркерами» > Заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14. > Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» > Затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Окружность» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы». Результат (рис).

Упражнение: 18

Построить множество точек, одинаковых удаленных от F (0; 2) и от прямой y=4. Найти точки пересечения кривой с осями координат и построить ее. Диапазон выбираем сами.

Решения: Диапазон также выберем от -4 до 4. Из формулывыводим «y». .для этого степень переносим в правую часть и тогда данная формула имеет вид, теперь заполняем как обычно таблицу. В ячейке В2 вставим уравнение, и также выделяем остальные Вn до В18. Затем, заходим в меню «Вставки» > «Графы» > выбираем «График с маркерами» > Заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14. > Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» > Затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Пересечение» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название диаграммы».

Упражнение: 19

Построить множество точек одинаковых удаленных от начало координат и от прямой х=-4. Найти точки пересечения этой кривой с осями и построить ее. Диапазон выбираем сами.

Решение: Вставляем в ячейку B2 уравнение функции, в ячейку А2 вводим выбранные самим значения. Далее по аналогии строим график функции.

Графическое решение систем уравнений

Упражнение: 22

в диапазоне x

Решение: Заполняем 3 ячейки «A, B, C». В ячейке А2 записываем аргумент функции с шагом =0,2, в ячейку В2 вводим первую функцию, в ячейку С2 вводим вторую функцию. Затем, заходим в меню «Вставки» > «Графы» > выбираем «График с маркерами» > Заполняем «Диапазон данных», для этого вводим ссылку ячеек В2: В14 и С2: С14 > Затем вводим подписи по оси Х (горизонтальный) слово — «Аргумент» > Затем вводим подписи по оси Y (вертикальный) слово — «Пересечение» > Задаем название графика, для этого нажимаем «Название графика».

Упражнение: 24

в диапазоне от 0 до 3 с шагом =0,2

Решение:, строим график аналогично предыдущей.

Поверхности в трехмерном пространстве

Упражнения: 26

Построить плоскость, отсекающую на координатных осях отрезки а=3, b=2 и с=1 y

Решение: Из уравнения выводим «z»,> Сz = - Ax-Bx и вместо, А и В вставляем значения а, b, с. Тогда уравнения будет иметь вид z = -3x-2y.

Составим таблицу в ячейке А2 вводим значения «х» по вертикали, а по горизонтали начиная с ячейки В1 до F1вводим значения «у». Потом в ячейку В2 вставляем уравнение «z», и выделяем ее до F12 при этом авто-заполняя. Теперь заходим в «Вставки» > выбираем «Поверхность"> «Проволочная поверхность» > вводим «Данные графика» далее по аналогии других задач вводим оси X, Y, Zи название графика.

Упражнения: 27

Построить плоскость, проходящую через точки М1 (3,3,1) М2 (2,3,3) М3 (1,1,3). Диапазоны изменения переменных xи yx

Решение: Уравнение плоскости, проходящие 3 точки находим

>z =

Поверхности второго порядка в пространстве

Упражнение: 28

Построить верхнюю часть эллипсоида:

=1 при x

Решение:степень и знаменатель перенесем в правую сторону

вставляем эту формулу в ячейку B2, и также находим все значения, как и в других примерах.

Упражнение: 29

Построить верхнюю часть однополостного гиперболоида Упражнение: 30

Построить эллиптический параболоид:

при x

Решение:

Z = эту формулу вводим в ячейку В2, также заполняем оси «х и у».

Упражнение: 31

Построить верхнюю часть конуса При x

Решение:

z=также как и предыдущий.

2. Линейная алгебра

Матрицы

Упражнение: 4

Найти произведение матриц C=A*Eгде А= С=

Решение: Для того чтобы найти произведение двух матриц с начало проверяем количество столбцов и строк. В данном случае у нас должна получится матрица 3×3.

В ячейке А1 вводим букву А, потом в ячейке В1: D3 заполняем значение матрицы А.

В ячейке F1 вводим букву Е, потом в ячейке G1: I3 заполняем значение матрицы Е, В ячейке А7 вводим букву С, потом выделив ячейки B7: D9 вводим «=» и в мастере функций указываем категории «математическое» > а затем выбираем функцию «мумнож» и потом указываем массив1 значения матрицы А, то есть B1: D3, в массиве2 вводим значения матрицы Е, G1: I3, и нажимаем кнопку ОК.

Упражнение: 5

Найти обратную матрицу А=

Решение: В ячейке А2 вводим букву А, в ячейках В1: D3 заполняем значения матрицы А, В ячейке А6 вводим букву А^-1 (это обозначает обратная матрица). В ячейке В5: D7 вводим «=»

И в мастере функций выбираем категории «математическое» > а затем выбираем «мобр» и нажимаем ENTERили одновременно нажимая клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.и результате в ячейках В5: D7 выводится значения обратной матрицы.

Упражнение: 6

Воспользуйтесь определением обратной матрицы (А*А^-1=A^-1*A=E) и проверить, верно ли найдена обратная матрица в упражнениях 5: для этого найдите произведение матрицы, А в упражнениях 5 на обратную матрицу. Таким же способом проверьте, что А^-1 *А =Е.

Решение: В ячейке B1: D3 заполняем значение матрицы А, а ячейке G1: I3 заполняем значение обратной матрицы А^-1, для этого вызываем мастер функций и в категории «математическое» выбираем функцию «мобр» и вводим ячейку B1: D3, нажимая на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER получаем обратную матрицу. Затем в ячейке А6 вводим A*A^-1=, и в ячейках B6: D9 вызываем «мастер функций» выбирая категорию «математическое» находим «мумнож» и указываем значения матриц, А и A^-1, и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.И В данных ячейках выводится произведение матриц.

Упражнение: 10

Покажите вычисление, что для указанных матриц верно утверждение (А+В)*С=АС+ВС.

А=; В=; С=

Решение: В ячейке В1: С3 вводим значения матрицы А, > а затем

F1:G3 значения матрицы В,>потом

J1:M2 значения матрицы С >

В ячейке В6 вводим «=» и указываем =B1+F1, потом нажимая Enter находим сумму первых столбцов, потом выделяем ячейки В6: С8 для авто-заполнения. Затем выделяем ячейки F6: I8, и вставляем функцию «мумнож» (в мастере функций) и находим произведение (А+В)*С нажимая сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Дальше в ячейке В12 (выделив В12: Е14) вводим «=» и в мастере функций в категории «математическое» выбираем «мумнож» находим произведение матриц А*С, аналогично находим в ячейке I12 произведение В*С.

И в ячейке F16, вводим «=» и в мастере функций указываем =B12+H12, и также выделив ячейки F16: I18 авто-заполняем сумму матриц. Потом полученное значение матрицы сравниваем с (А+В)*С …если сходятся, то утверждение (А+В)*С=АС+ВС верно!

Решение систем линейных уравнений

Упражнение: 14

Решение: В ячейках В1: Е4 заполняем коэффициенты из уравнения (1) и пусть это будет матрица А. В ячейке H1: H4 заполняем свободные члены уравнения, и обозначим ее В. Выделив ячейки В7: Е10 вводим мастер функций и выбираем «мобр» для того чтобы найти обратную матрицу А^-1.

Нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, находим обратную матрицу. Теперь находим неизвестный Х, для этого выделим блок ячеек В12: В15 и вставляем функцию, и в меню «мастера функций» выбираем категорию «математическое» и в рабочем поле «функция» находим «мумнож» нажимаем, и указываем диапазон матриц В7: Е10 и H1: H4 и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, таким образом нашли неизвестную значение уравнения.

А потом проверяем на правильность выполнения наших действий для этого выделяем блок ячеек В18: В21 и вставляем функцию > мастер функций> категория «математическое» > выбираем «мумнож» > указываем диапазон В1: Е4 и В12: В15 и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER и получаем матрицу В.

Упражнение: 20

Решить систему уравнений.

Решение: Аналогично предыдущей задачи.

Система m линейных уравнений с n неизвестными

Упражнение: 22

Решить систему:

Решение: Заполняем ячейки В1: D4 коэффициентами уравненияи обозначим буквой А, свободные члены вводим в ячейку H1: H4 и обозначим буквой В. Потом находим транспортированную матрицу А, для этого выделяем блок ячеек В6: Е8 и вводим функцию> в «мастере функций» > категория выбираем «ссылки и массивы» > выбираем «трансп» > и появившийся в окне «массив» вводим диапазон значений В1: D4, далее находим произведение A'*B, где A' это транспортированная матрица, и для этого выделяем блок ячеек H6: H8 и вводим функцию> в «мастере функций» выбираем категории «математическое» и находим «мумнож» и появившимся окне указываем диапазон значения B6: E8 и H1: H4 и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER и получаем произведение. Теперь находим произведение A'*A, и для этого выделяем блок ячеек В10: D12 и вставляем функцию > в «мастере функций» выбираем категорию «математическое» > «мумнож» и указываем диапазон значений матриц, это будет =МУМНОЖ (B6:E8; B1: D4).А затем полученное значение преобразуем в обратную матрицу-тоже выделяем блок ячеек В14: D16 вставляем функцию > в «мастер функций» выбираем категорию «математическое» и находим функцию «мобр» указываем в появившимся окне диапазон значений B10: D12 и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER и получаем значение.

Далее находим неизвестный член уравнения, то есть Х, для этого выделяем блок ячеек G14: J16 и вводим функцию > в «мастере функций» в категории указываем «математическое» и находим «мумнож» после этого даем диапазон значений матриц B14: D16 и H6: H8 и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER и получаем Х.

После этого проверяем на правильность наших действий для этого-матрицу, А умножаем на Х: выделим блок ячеек В19: В22 и вводим функцию > в «мастере функций» в категории выбираем «математическое» > «мумнож» указываем в появившимся окне диапазон значений «массив1» (B1:D4), а «массив2» (G14:J16) и нажимаем на сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER получаем значения матрицы В.

Упражнение: 23

Решить систему:

Решение: решается аналогично предыдущей задачи.

3. Элементы математического анализа

Производная

Упражнение: 1

Зависимость спроса на товар от цены выражается формулой: d (p)= .

Построить график функций этой зависимости в диапазоне р, С какой скоростью изменяется спрос при цене р=2?

Решение: Для начало заполним таблицу: в ячейке А1 напишем «спрос», в ячейке В1 напишем «цена», а в ячейке С1 напишем «скорость».

Заполняем ячейку А2: вводим диапазон, затем в ячейку А3 вводим =А2+0,1, и выделяем до ячейки А22 для авто-заполнения.

Заполняем ячейку В2: здесь вводим уравнение =100/. И выделив ячейки В2: В12 автозаполняем.

Заполняем ячейку С2: так как нам надо найти только значение при р=2, установим в ячейке С12 и вводим функцию =(В11-В13) и делим на произведение 2*0,1. Получаем значение производной.

Затем строим график скорости: заходим в «вставки» > выбираем «график» затем указываем диапазон данных =A2:B22,> вводим название графики оси Х и Y.

Упражнение: 2

Зависимость полных издержек производства k от объема производства х выражается формулой k=, Изобразить графически изменение издержек с изменением объема производства в диапазоне хПостроить график скорости изменения издержек в диапазоне х.

Решение: Заполняем блок ячейку А2, вводим значение 1, далее заполняем ячейку А3 вставим = A2+0,2 и выделяем ячейки А2: А22 и делаем авто-заполнение. В блоке В2 вставим уравнение =(A2*A2*A2) — 4*(A2*A2)+9*A2 и нажав на Enterполучаем значение потом выделим ячейку В2 с правой крайней стороны до В22 чтобы автозаполнить.

Теперь построим график изменения скорости: Заходим в меню «вставки» > выбираем график > вводим диапазон данных В2: В22.>затем вводим название графика> вводим оси Xи Y.

Определенный интеграл

Упражнение: 3

Методом прямоугольника и методом трапеции найти интегралы:

1)

2)

Решение: 1) Заполняем блок ячейку А2, от 0 до 2 с шагом .

Потом в ячейке В2 вставим уравнение, в данном случае оно у нас равно х. Поэтому просто вводим =А2, и потом ячейку В2 протягиваем за правый нижний угол блока до блока В22 для автозаполнения. Теперь в блоке В23 вводим уравнение метода прямоугольника =0,1*, вызываем «мастера функции» и в категории «математическое» находим «сумм» и задаем диапазон значений В2: В22 и нажимаем OK.

Теперь находим методом трапеции: для этого в блока В24 вводим уравнение =0,1*((B2+B22)/2+, вызываем «мастера функции» и в категории «математическое» находим «сумм» и задаем диапазон значений (B3:B21)) и нажимаем OK.

2) Аналогично заполняем блок Е2, от 1 до 1,5 с шагом. Потом в блоке F2 вставим уравнение =, и находим первое значение. Потом ячейку Е2 протягиваем за правый нижний угол до F7 для автозаполнения. Теперь находим интеграл методом прямоугольника: в блоке F8 вставим уравнение =0,1*, вызываем «мастер функций» категория «математическое» находим «сумм» и заполняем диапазон данных (F2:F7) и нажимаем на OK.

Теперь найдем интеграл методом трапеций: в ячейке F8 вводим уравнение =0,1*((F2+F7)/2+ вызываем «мастер функций» категория «математическое» находим «сумм» и вводим диапазон данных (F3:F6)) и нажимаем OK.

Упражнение: 4

Найти объем продукции, произведенный за 4 года, если функция производительности труда имеет видf (x)=(1+t)*, методом трапеций с шагом

Решение: Заполняем блок А2 вводим 0 и А3 вводим=А2+0,2, и потом после получения результата протягиваем за правый нижний угол до блока А22 для автозаполнения. Теперь заполняем блок В2 для этого вставим уравнение =(1+A2)* вызываем «мастер функций» в категории «математическое» находи «EXP» и вводим диапазон значений (3*A2) и нажимаем ОК. Также для автозаполнения протягиваем за правый нижний угол до блока В22.

Теперь находим интеграл методом трапеции: для этого блок В23 вводим уравнение =0,2*((B2+B22)/2+ вызываем «мастер функций» в категории «математическое» выбираем «СУММ» и заполняем диапазон данных (B3:B21)) и нажимаем ОК.

Числовые последовательности

Упражнение: 5

Вычислить все члены арифметической прогрессии сu=4 и разностью прогрессии а=3, не превосходящие 17.

Решение: Выделим блок А2: А5 вводим первый член арифметической прогрессии 4 в блок А2, далее в меню «Правка» > «заполнить» выбираем «прогрессии» ставим по строкам и арифметическое, в окне «шаг» вводим разность прогрессии, в данном случае оно равна 3, далее в окне «предельное значение» вводим 17, так как это у нас и является предельным выражением. Далее нажимаем ОК.

Упражнение: 6

Вычислить сумму 10 членов геометрической прогрессии с первым членом u=3, и со знаменателем q=4.

Решение: Вводим в блок А2 значение 3, и выделим блок А2 до А10, затем в меню «правка"> «заполнить» > выбираем «прогрессии» ставим по столбцам и геометрическая, > в окне «шаг» ставим значение 4 и нажимаем ОК. Потом находим сумму для этого в блоке В12 вставим «мастер функций» в категории «математическое» выбираем «сумм» далее в появившимся окне указываем диапазон данных А2: А10 и нажимаем ОK.

Упражнение: 7

Вычислить все члены геометрической прогрессии с u=2 и знаменатель прогрессии g=2,5, не превосходящие 500.

Решение: В блоке А2 вводим первое значение прогрессии 2, а затем выделяем блоки А2:10 и заходим «правка"> «заполнение» > выбираем «прогрессии» ставим по столбцам и геометрическое,> в окне «шаг» вводим знаменатель прогрессии 2,5, на окне «предельное значение» вводим 500 и нажимаем ОК.

Комплексные числа

Упражнение: 22

Вычислить десятичный логарифм комплексного числа 4-i.

Решение: В ячейке А1 вводим «lg», а в ячейке А2 вводим 4-i.

В ячейке А3 вставим функцию, вызываем «мастер функций"> выбираем категорию «инженерные» >находим «мним.log10» и задаем диапазон данных (А2).И примерно должно выглядит так =МНИМ.LOG10 (A2).Нажимаем ОК.

Упражнение: 23

Найти ln (2−2i)/sin (3+2i)

Решение: вводим в блок А1 слово ln, в блок А2 задаем значения 2−2i, затем в блок А3 вводим =МНИМ.LN (A2), то есть (вызываем мастер функций> категория «инженерные"> «мним.ln» задаем диапазон данных А2) нажимаем ОК.

Заполняем блок В1 вводим слово sin, затем в блок В2 задаем 3+2i,> а затем в блоке В3 вводим =МНИМ.SIN (B2), то есть (вызываем мастер функций> категория «инженерные"> «мним.sin» задаем диапазон данных В2) нажимаем ОК.

В блоке А5 вызываем «мастер функций» > категория «инженерные» > «мним. дел» и вставляем диапазон значений А3: В3 нажимаем ОК.

Упражнение: 24

Вычислить sin (1+2i) cos (2−3i)

Решение: вводим в блок А1 слово sin, в блок А2 задаем значения 1+2i, затем в блок А3 вводим =МНИМ.SIN (A2), то есть (вызываем мастер функций> категория «инженерные"> «мним.sin» задаем диапазон данных А2) нажимаем ОК.

Заполняем блок В1 вводим слово cos, затем в блок В2 задаем 2−3i,> а затем в блоке В3 вводим =МНИМ.COS (B2), то есть (вызываем мастер функций> категория «инженерные"> «мним.cos» задаем диапазон данных В2) нажимаем ОК.

В блоке А5 вызываем «мастер функций» > категория «инженерные» > «мним. произвед» и вставляем диапазон значений А3: В3 нажимаем ОК.

excel программа математический вероятность

4. Теория вероятности

Основные понятия комбинаторики. Перестановки

Упражнение: 5

1) 2) 3)

Решение: устанавливаем курсор в ячейке А1 и вводим число 12!.Далее в ячейке В1 вводим число 13! > и в ячейку С1 тоже вводим букву П11. Далее устанавливаем курсор в ячейке А5 и вводим функцию > вызываем «мастер функций» > в категории указываем «математическое"> и находим «факт» в появившимся окне указываем диапазон значений, то есть вводим А1 и нажимаем ОК. Аналогично находим остальные число перестановок 13! и П11.

Далее в ячейке В9 нажимаем «=» и вводим (A5+B5)/C5 и нажимаем на Enter. И в результате мы нашли частное двух сумм чисел перестановок.

Примеры 2) и 3) аналогично выполняется также.

Сочетания

Упражнение: 7

Сколько различных букетов из 9 цветков можно составить из 15 полевых ромашек?

Решение: Устанавливаем курсор в ячейку А3 и вызываем «мастер функций» и в категории «математическое» выбираем функцию «числкомб» далее появившимся окне указываем в «число» 15, а вкладке «число_выбранных» указываем 9, и нажимаем ОК. И в результате мы нашли число различных сочетаний данного примера.

Бином Ньютон

Упражнение: 22

Сколько возможно маршрутов, если клиент пожелал первым посетить Рим?

Решение: Устанавливаем курсор в ячейку В3, и вызываем «мастер функций» > в категории «математическое» > находим «числкомб"> далее появившимся окне указываем в «число» 1, а вкладке «число_выбранных» указываем 1, и нажимаем ОК. И в результате мы нашли число различных сочетаний данного примера.