Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса

Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»

Брест 2009

• СОДЕРЖАНИЕ
• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
• 2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
• 3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений — температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве, где, , — некоторое параметрическое множество.

Если, или — подмножество из, то говорят, что , — случайный процесс с дискретным временем.

Если, или подмножество из, то говорят, что , — случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса, , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса, , называется функция вида

где .

Дисперсией случайного процесса, , называется функция вида

где .

Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида

=,

при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида где, если и, если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса, , называется функция вида

.

Смешанным моментом го порядка,, случайного процесса, , называется функция вида

, .

Заметим, что

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

Доказательство. Если, то доказательство очевидно. Рассмотрим случай. Воспользуемся формулой Эйлера тогда Лемма доказана.

Пусть — значения случайного процесса в точках. Введем функцию

которую будем называть характеристической функцией, где — ненулевой действительный вектор,, .

Смешанный момент го порядка,, можно также определить как

, .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка,, случайного процесса, , называется функция вида

, ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка,, существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

, ,, .

При

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида

=, ,

при условии, что Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка,, случайного процесса, , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка,, случайного процесса справедливы представления

.

Пусть — случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве, и

— мерная функция распределения, где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального, любых и любого, такого что выполняется соотношение где

Возьмем произвольное. Пусть, тогда В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать Используя определение стационарного в узком смысле СП, смешанный момент го порядка,, будем обозначать Смешанный семиинвариант го порядка,, стационарного в узком смысле СП будем обозначать Случайный процесс, называется стационарным в широком смысле, если и

Замечание 1. Если, является стационарным в узком смысле СП и то, является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса, называется функция вида

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью — го порядка,, стационарного СП, называется функция вида при условии, что

Для смешанного семиинвариантаго порядка,, стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для эти соотношения примут вид

.

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс, с математическим ожиданием, , взаимной ковариационной функцией, и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей, рассматриваемого процесса. Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где , — произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для, а

(2.2)

s — целое число, — целая часть числа .

Статистика, называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности, построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

(2.4)

где некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где Поскольку

следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при, то, рассматривая оценку

где

то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на. Далее рассмотрим оценку

(2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса, задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению

,

при условии, что справедливо соотношение (2.4) для

При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида

(2.6)

где задаются соотношением

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

В соотношении (2.3) введена функция, называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

(3.1)

называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1. 1 — окно Дирихле;

2. 1- - окно Фейера;

3. ;

4. — окно Хэннинга;

5. — окно Хэмминга;

6. — окно Хэмминга;

7., где — окно Хэмминга;

8. 1- - окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида где, а периодограмма задана следующим соотношением

Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений — температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. — 755 с.

2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: Мир, 1980. — 536 с.

3. Журбенко И. Г. Спектральный анализ временных рядов. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 168 с.

4. Труш Н. Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. — Мн.: БГУ, 1999. — 218 с.

5. Труш Н. Н., Мирская Е. И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. — Мн.: БГУ, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Рис. 1 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле Рис. 2 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса Рис. 3 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера Рис. 4 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса Рис. 5 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3

Рис. 6 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса Рис. 7 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга Рис. 8 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса Рис. 9 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5

Рис. 10 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса Рис. 11 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6

Рис. 12 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса Рис. 13 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7

Рис. 14 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса Рис. 15 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса Рис. 16 — График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса