Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

свободный колебание геометрический координата

Прежде чем перейти к строгому математическому описанию поведения различных систем при свободных колебаниях, остановимся подробно на природе их возникновения. Известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое начальное возмущение, после удаления причины этого возмущения продолжает совершать колебания. Эти свободные колебания играют важнейшую роль не только в плане проверки системы на резонанс, т. е. на выявление совпадения одной из собственных частот колебаний с частотой действующих на систему постоянно вибрационных нагрузок. Дело в том, что поведение системы при свободных колебаниях характеризует её «динамическую индивидуальность», которая определяет поведение системы при всех других условиях.

Рассмотрим некоторые примеры возникновения свободных колебаний. После того как по струне рояля ударяет один из молоточков, струна некоторое время продолжает самостоятельно совершать колебания — свободные колебания. Это становится возможным, во-первых, потому, что струна имеет массу и при движении накапливает кинетическую энергию, а во-вторых, потому, что при отклонении от положения равновесия струна накапливает потенциальную энергию .

Точно так же обычный маятник может совершать колебания благодаря тому, что, во-первых, его гиря обладает массой и, во-вторых, при подъёме гири относительно своего низшего положения она накапливает потенциальную энергию. Аналогично приведенным примерам корабли, летательные аппараты, здания, машины, люди и вообще все тела могут накапливать энергию за счёт изменения формы. Так как все тела обладают ещё и массой, то после тех или иных начальных толчков они могут совершать свободные колебания. Идеальным объектом исследования свободных колебаний может служить подвешенная за один конец велосипедная цепь. Пусть свободно висящая цепь первоначально находится в состоянии покоя. Свободные колебания можно вызвать, если отклонить цепь каким-либо образом, а затем отпустить или резко её ударить (но так, чтобы боковое перемещение любой точки цепи было малым по сравнению с длиной цепи). При этом можно наблюдать следующее:

1. Развитие движения во времени зависит от того, как оно началось.

2. Движение постепенно затухает.

3. При своем движении цепь не имеет какой-либо определённой формы; с течением времени форма цепи изменяется, однако в конце движения колебания часто характеризуются более или менее отчетливой формой.

4. Невозможно указать «частоту» колебаний, но с течением времени движение может принять определённую частоту.

1.Решение задачи

1.1 Постановка задачи

Стержень подвешен на двух пружинах, жёсткости которых равны С1 и С2. Масса стержня М, момент инерции стержня J. Выбрав в качестве независимых координат угол поворота ц, положение его центра масс Z (стержень однородный) и считая, что колебания системы происходят в вертикальной плоскости, определить: собственные частоты колебаний, коэффициенты распределения, нормальные (главные) координаты. Найти условие, при котором координаты ц и Z являются главными. Дать геометрическую интерпретацию главных координат. Расстояние от центра массы стержня до точек закрепления пружин l1 и l2. Массой пружин и сопротивлением пренебречь.

1.2 Нахождение собственных колебаний

Для такой системы кинетическая и потенциальня энергия будут в таком виде:

или

Уравнения движения системы проще всего составить с помощью уравнения Лагранжа, которые для каждой координаты записываются следующим образом:

Где — обобщенная сила координаты x, она в нашем случае равна:

Тогда получим уравнения нашей системы:

Предполагаем, что существует частное решение системы уравнений (1) :

Подставляем его в (1) и получаем уравнения для определения A, B, щ :

Системы двух однородных уравнений относительно A и B имеет решение, если:

(2) — это и есть уравнение для определения собственных частот :

После раскрытия определителя (2) получим уравнение :

Делая замену решаем уравнение :

Переходим обратно к

Получили собственные частоты колебаний и. Мы имеем четыре решения и и. Нашему решению удовлетворяют только положительные корни и, потому что если корень решения уравнения будет отрицательным, то так как система не содержит трения (она консервативна), то есть U+T=const, получим что T и U 0 .

1.3 Нахождение главных (нормальных) координат

Где — это определитель, получающийся из определителя частот (2), вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Ks — это константа неопределенности.

Подставляя, получим:

Вводим переменные:

Тогда координаты Z и будут выражены через главные (нормальные) координаты в таком виде:

1.4 Нахождение коэффициентов распределения

Выпишем амплитуды из (5) с которыми 1-ое главное колебание осуществляет вклад последовательно в 1-ую и 2-ую колебательные компоненты:

Выберем 1-ую амплитуду в качестве реперной и составим коэффициенты распределения 1-го главного колебания по степеням свободы колебательной системы:

Выпишем амплитуды из (5) с которыми 2-ое главное колебание осуществляет вклад последовательно в 1-ую и 2-ую колебательные компоненты:

Выберем 1-ую амплитуду в качестве реперной и составим коэффициенты распределения 2-го главного колебания по степеням свободы колебательной системы:

1.5 Условие становления координат Z и ц главными

Каждая координата и колеблется только на одной собственной частоте. Такие координаты называются главными, а колебания которые они совершают — главными колебаниями.

Чтобы координаты Z и были главными, нужно чтобы совершали колебания только на одной собственной частоте. В данном случаем таким условием является. При выполнении этого условия, координаты Z и будут главными :

1.6 Геометрическая интерпретация главных координат

Главные координаты в общем случае записаны так:

Для нашего примера, если система совершает только первое главное колебание (q2 = 0), тогда И стержень совершает угловое колебание вокруг некоторой точки Р (рис. а)), главная координата q1 есть угол поворота относительно этой точки, а µ1 — это расстояние проекции С на горизонталь от Р.

Второе главное колебание интерпретируется аналогично (рис. б)): как вращение вокруг точки Q.

Список использованной литературы

1.Обморшев А. Н.

Введение

в теорию колебаний;

2.Стрелков С. П.

Введение

в теорию колебаний. 1964;

3.Светлицкий В. А. -Механика стержней. Статика;