Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ»Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Π²Π΅Π΄ΡΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ°Π½Π°Ρ ΠΌΠΈΡΠ°. Π ΠΎΡΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ»Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠ² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ ΡΠ°Π½Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π° ΠΈ ΠΠ°Π»ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Ρ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠΌ Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ, ΠΎΠ·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΠΎΡΡΠ° ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ — ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ Π½Π΅Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΠ»ΠΎΡΡ — ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΈ ΠΈΠ΄ΡΡ ΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ΄ΡΡ ΡΠ΅ΡΡ ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ (Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ) ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ -Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΉ.
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ
Π ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ. Π‘ΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π³ΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Π½Π° Π½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²: «ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π·Π°Π½ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π°?». ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² Π±ΠΈΡΠ°Ρ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠΈΠ²ΠΎΡΠΆΠ΅ΡΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ Π³ΠΎΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΎΡΠΎΠ³ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ), Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΡΡΡΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠΈΠ²ΠΎΡΠΆΠ΅ΡΠ°).
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ NP-ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π° Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π·Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΠΈΠ²ΠΎΡΠΆΠ΅ΡΠ°.
ΠΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ Π±ΡΡΡΡΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΡΡΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π°.
ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π·Π°ΡΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π²ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π² Ρ ΡΠ΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅.
ΠΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° (Π² Ρ ΡΠ΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅) — ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°. Π Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ , Π³Π΄Π΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ .
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π² Ρ ΡΠ΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π² Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ: «ΠΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°», ΠΈΠΌΠ΅Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π² Ρ ΡΠ΄ΡΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ (Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°).
ΠΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π° ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅ΡΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΅Π»ΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π±ΠΈΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π΅ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π°), Π° Π²ΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½ΠΈΠ·ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ², ΡΠΈΠ³ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΡ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ Π½Π΅Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΡΡΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ , Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΡΡ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°. ΠΠ»Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ P1 Π² ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ P2, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ (Π΄Π°/Π½Π΅Ρ), ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ P1 ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ P2. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ — ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ»Π°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΠ»Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΠ»Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ — ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Π½ΠΈΡ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ, ΡΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ²Π° Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΠ»Π°ΡΡ P
ΠΠ»Π°ΡΡ P Π²ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ «Π±ΡΡΡΡΡΠΌ», ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π°. Π‘ΡΠ΄Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅, Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅.
ΠΠ»Π°ΡΡ NP
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ·ΠΊΠΎ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ — ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΠ² (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π½Π° Π²Ρ ΠΎΠ΄ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ 0 ΠΈΠ»ΠΈ 1), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΎΠ².
ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ «ΡΠ°ΠΌΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ». ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅, ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΌΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ NP-ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ.
ΠΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ — Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ². ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ, ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π΅Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ, ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
ΠΠ»Π°ΡΡ NP ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π° Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π·Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π° Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΡ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π΅ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ»Π°ΡΡ NP Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡ P, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π»ΠΈΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ²). Π ΠΊΠ»Π°ΡΡ NP Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΌΠΈΠ²ΠΎΡΠΆΡΡΠ°, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ», ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΈ Π΄Ρ.
ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² P ΠΈ NP
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΠ»ΡΡ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΠ» ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π² ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΡΡΡΡΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π°Π³ΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² Π‘Π¨Π Π·Π° Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ (Π² ΡΠ·ΠΊΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΠ², ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ. Π’ΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ»Π°ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ X Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΠ² P (x), Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ O (f (n)) ΡΠ΅ΡΡΡΡΠ°, Π³Π΄Π΅ n — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ»ΠΎΠ²Π° x.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π°) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ Π·ΠΎΠ½Π° (ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅Π΅ΠΊ Π½Π° Π»Π΅Π½ΡΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ). Π―Π·ΡΠΊΠΈ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ»ΠΎΠ², Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΈΠΊΠ°Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ 1), ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ³Ρ.
ΠΠ»Π°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ C (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΡΠ·ΡΠΊΠΎΠ², Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ C) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ co-C.
ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² ΠΈΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ: ΠΎΠ΄Π½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠ΅Π±Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ. ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ — ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² P ΠΈ NP. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ (Π² ΡΡΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ), ΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΈΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡ. ΠΠ° Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π° ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΈΠΈ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Ρ). ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ EXPSPACE Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ PSPACE.
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π’ΡΡΡΠΈΠ½Π³Π° (1936), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½ Π²Π²Π΅Π» ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠΌΡ, ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΎ Π΅Ρ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Π²Π΅Π΄ΡΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠ°Π½Π°Ρ ΠΌΠΈΡΠ°. Π ΠΎΡΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ»Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠ² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ ΡΠ°Π½Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π° ΠΈ ΠΠ°Π»ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Ρ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠΌ Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ, ΠΎΠ·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΠΎΡΡΠ° ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Ρ Π ΠΎΡΡΠΈΠΈ (ΡΠΊΠΎΠ»Π° ΠΡΡΠΎΠ²Π° Π² ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΠΊΠ΅, ΡΠΊΠΎΠ»Π° ΠΡΡΠ»Π°Π½ΠΎΠ²Π° Π² ΠΠ°Π·Π°Π½ΠΈ) ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΡΠ°Π½ Π±ΡΠ²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π‘ΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π‘ΠΎΡΠ·Π° (ΠΠ»ΠΌΠ°-ΠΡΠ°, ΠΠ°Π·Π°Ρ ΡΡΠ°Π½).
1. ΠΠΈΡ Π΅Π΅Π²Π° Π. Π. ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ: Π£ΡΠ΅Π±. ΠΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Π΄. ΠΏΡΠΎΡ. ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ — Π.: ΠΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡ «ΠΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΡ», 2005.
2. Π£Π³ΡΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ Π. Π. ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ 10−11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ². — Π.: ΠΠΠΠΠ. ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, 2005.
3. Π£Π³ΡΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ Π. Π. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΌ: Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ / Π. Π. Π£Π³ΡΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ, Π. Π. ΠΠΎΡΠΎΠ²Π°, Π. Π. ΠΠΈΡ Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²Π°. — 4-Π΅ ΠΈΠ·Π΄. — Π.: ΠΠΠΠΠ. ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, 2006. — 394 Ρ.
4. ΠΡΠΊΠΎΠ²Π° Π. Π., ΠΡΡΠ΄Π° Π. Π. ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°: Π£ΡΠ΅Π±. ΠΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. — Π.: ΠΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎ-ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΏΠΎΡΠ°ΡΠΈΡ «ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π»; Π ΠΎΡΡΠΎΠ² Π½/Π: ΠΠ°ΡΠΊΠ°-ΠΡΠ΅ΡΡ, 2007. 272 Ρ.