Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи

[Введите текст]

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р. Е. Алексеева Кафедра: «Прикладная математика»

Дисциплина: «Информатика»

Курсовая работа

Тема: «Численное моделирование и анализ переходных процессов

в электрической цепи"

г. Нижний Новгород

2010 г.

Существенным элементом высоких информационных технологий является моделирование и автоматизация обработки данных в различных сферах деятельности как авиации, космической промышленности и т. д. Модель — это подобие реальности, которая с разной точностью отображает картину происходящего. Эффективным средством моделирования является микропроцессорная техника, компьютер и соответствующее программное обеспечение. С помощью программных моделей, проектируемых объектов можно определить основные показатели, характеристики объектов с целью последующего анализа и генерации. Эффективность компьютерного моделирования на этапе проектирования электрической цепи является возможностью проанализировать характеристики для различных вариантов модификации проектируемого объекта. Задачи, возникающие при изменении различных параметров цепи, сводится к математическому расчету. Попытка учесть в физической модели различных особенности, нюансы, приводит к более сложным математическим моделям, решение которых аналитически невозможны или громоздко и поэтому используют численные методы.

Используя знания дисциплины «Информатика», предстоит рассчитать электрическую цепь и проанализировать все физические процессы, происходящие при замене элементов на другие.

Постановка задачи

Дана схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ.

[Введите текст]

Рис. 1

Параметры элементов цепи:

— гармонический источник тока; E0=15В — амплитуда колебаний; - циклическая частота; - линейная частота; - фаза; - текущее время; =30 Ом, =25 Ом, =50 Ом, =1,88 Ом, =15 Ом, =50 Ом — резисторы; L=5,57мГнкатушка индуктивности; С=20мкФ — конденсатор. Параметры задаются по вариантам.

В начальный момент времени t=t0=0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0,I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t=t1=0,01с ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t=t2=0,02с.

Условия задания

Численная реализация систем дифференциальных уравнений (2) и (3):

в пакете MathCAD, используя алгоритм модифицированного метода Эйлера и метод Рунге-Кутта;

анализ результатов. На выходе первого этапа должен быть файл данных содержащий дискретные зависимости от времени величин I, U. Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы обеспечить не менее 40 значений величин I и U.

Решение задачи аппроксимации зависимости тока от времени используя пакет Excel и его возможности (поиск решения, мастер диаграмм с выводом уравнения линии тренда);

в пакете MathCAD, используя алгоритм метода наименьших квадратов;

в Pascal, на основе методов наименьших квадратов анализ полученных результатов с точки зрения аналитической формулы для величины I (t).

Численное интегрирование. Необходимо определить количество теплоты, выделяемой на резисторе R4 за период времени Т1? t?T2. Это можно сделать взяв интеграл где зависимость I (t) берётся по результатам предыдущего этапа.

алгоритмически с построением блок-схемы и программы на базе методов интегрирования (два метода);

в MathCAD используя те же методы;

сравнение результатов с оценкой полученных ошибок.

Заключение

.

IV. Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии с рисунком запишем выражения для 1-го и 2-го законов Кирхгофа для положения ключа 1:

(1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I1 и I2. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(2)

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:

(3)

В интервале t0? t? t1 решается система (3) с начальными условиями I (t0)=0; U (t0)=0. В интервале t1? t? t2 решается система (2).В качестве начальных условий для системы (2) I (t1), U (t1) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

Описание методов численного решения задачи Коши и методов численного интегрирования. Решение задачи Коши

Метод Эйлера с усреднением.

Основная идея численных методов для задачи Коши состоит в поочередном вычислении ординат по мере нарастания аргумента искомой функции. Каждое последующее значение искомой функции вычисляется через предыдущее. В основе всех методов лежит метод Эйлера — простой. Возьмем точку x=x0 и разложим искомую функцию в ряд Тейлора:

Положим x=x1, чтобы найти y1:

Пренебрегая слагаемыми начиная со второго порядка малости, получаем итерационные формулы для метода Эйлера-простого:

Метод Эйлера с усреднением является модификацией данного метода и имеет следующие итерационные формулы:

Метод Рунге-Кутта.

Данный метод является обобщением методов Эйлера и Эйлера с центрированием Методы численного интегрирования.

Метод левых прямоугольников.

Метод основан на кусочно-постоянной интерполяции, такой, что на каждом i-ом частичном интервале значение подынтегральной функции заменяется константой равной значению функции на правой границе i-ого частичного интервала.

Составная формула для вычисления интеграла по методу правых прямоугольников имеет вид:

Метод парабол (Симпсона).

Метод основан на интерполяции подынтегральной функции y=f (x) парабол на паре соседних частичных интервалов [xi-1;xi],[xi;xi+1], т. е. интерполяционный полином второй степени .

Тогда оказывается, что частичный интеграл для интерполяционного полинома вычисляется по формуле:

.

Выбирая число частичных интервалов n четным, получим суммированием составную формулу для приближенного вычисления всего интервала методом парабол:

Моделирование переходных процессов в электрической цепи

Блок-схема алгоритма для создания программы в Turbo Pascal.

Рис. 2

Рис. 3

Программы на алгоритмическом языке Pascal (модифицированный метод Эйлера)

program Eiler;

const t0=0; t1=0.01; t2=0.02; R1=30; R2=25; R3=50; R4=1.88; R5=15; r6=50;

pi=3.14 159 265 359; L=0.557; C=0.2; E0=15; f=10; w=2*pi*f;

ф=pi/5;n=200;h=(t2-t0)/n;

var

t :array[0.n] of real;

I :array[0.n] of real;

U :array[0.n] of real;

b1:array[0.n] of real;

b2: array[0.n] of real;

j :integer;

FUNCTION e (t:real):real;

begin

if (t

else E:=0;

end;

FUNCTION fi (t, I, U:real) :real;

var

v1,v2,v3:real;

begin

v1:=E (t)*R2/(R1+R2);

v2:=I*(R3*(R5+R6)/(R3+R5+R6)+R4+R1*R2/(R1+R2));

v3:=U*(R5+R6)/(R3+R5+R6);

fi:=(v1-v2-v3)/L;

end;

FUNCTION fu (I, U: real):real;

var

vl, v2: real;

begin

vl:=I*(R5+R6)/(R3+R5+R6);

v2:=U/(R3+R5+R6);

fu:=(vl-v2)/c;

end;

BEGIN

I[0]: =0;

U[0]:=0;

t[0]:=0;

for j:=0 to n-1 do

begin

t[j+1]: =t[j]+h;

b1[j+1]:=I[j]+h/2*fi (t[j], I[j], U[j]);

b2[j+1]:=U[j]+h/2*fu (I[j], U[j]);

I[j+1]:=I[j]+h*(fi (t[j+1], b1[j+1], b2[j+1]));

U[j+1]:=U[j]+h*(fu (b1[j+1], b2[j+1]));

writeln (t[j] :10:4,' ', I[j]: 12:7,' ', U[j]: 12:7);

writeln (t[j] :10:4,' ', I[j]: 12:7,' ', U[j]: 12:7);

end;

end.

Печать результатов.

t I U

0.0000 0.0 0.0

0.0005 0.834 404 0.8 775 202

0.0010 0.789 162 1.7 418 728

0.0015 0.740 026 2.3 653 820

0.0020 0.712 673 2.8 197 427

0.0025 0.700 442 3.1 614 276

0.0030 0.697 949 3.4 278 588

0.0035 0.701 615 3.6 435 695

0.0040 0.709 081 3.8 246 197

0.0045 0.718 795 3.9 815 098

0.0050 0.729 736 4.1 210 926

0.0055 0.741 226 4.2 478 295

0.0060 0.752 817 4.3 646 131

0.0065 0.764 213 4.4 733 087

0.0070 0.775 213 4.5 751 086

0.0075 0.785 684 4.6 707 654

0.0080 0.795 534 4.7 607 443

0.0085 0.804 700 4.8 453 237

0.0090 0.813 138 4.9 246 613

0.0095 0.820 818 4.9 988 368

0.0100 0.827 716 5.678 810

0.0105 -0.508 286 3.7 351 459

0.0110 -0.354 366 2.4 595 202

0.0115 -0.233 439 1.6 143 848

0.0120 -0.153 229 1.594 329

0.0125 -0.100 556 0.6 952 388

0.0130 -0.65 989 0.4 562 408

0.0135 -0.43 304 0.2 994 017

0.0140 -0.28 418 0.1 964 782

0.0145 -0.18 649 0.1 289 361

0.0150 -0.12 238 0.846 125

0.0155 -0.8 031 0.555 258

0.0160 -0.5 270 0.364 380

0.0165 -0.3 459 0.239 119

0.0170 -0.2 270 0.156 919

0.0175 -0.1 489 0.102 976

0.0180 -0.977 0.67 576

0.0185 -0.641 0.44 346

0.0190 -0.421 0.29 101

0.0199 -0.197 0.13 634

Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (метод Рунге-Кутта). Численная реализация решения систем дифференциальных уравнений

Параметры элементов цепи:

вычислим шаг:

Зададим начальные условия:

Итерационные формулы:

График зависимости I (t)

График зависимости U (t)

Рис. 4

Рис. 5

Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (простой Эйлер).

Метод Эйлера (простой) Рис. 6

График зависимости I (t)

График зависимости U (t)

Рис. 7

Анализ полученных результатов.

Численно реализовали решение систем дифференциальных уравнений средствами Turbo Pascal и MathCAD. Результаты, полученные при решении системы дифференциальных уравнений представлены в виде таблиц значений тока и напряжения в интервале времени от 0 до 0.02 с. При решении данных уравнений в Turbo Pascal был использован модифицированный метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и модифицированный метод Эйлера при решении в MathCAD. Изменяя количество разбиений временного интервала, подбиралось такое соотношение, при котором результаты, полученные в Turbo Pascal, имели наименьшее отличие от результатов, полученных в MathCAD. Было выбрано следующее количество разбиений: n=200 в Turbo Pascal; n=200 в MathCAD.

Значение величин I (t) и U (t) и соответствующие им графики, полученные в MathCAD практически совпадают, что говорит о достаточной точности представленных методов численного решения дифференциальных уравнений. Небольшое несовпадение результатов программ, которые реализуют один и тот же метод, связаны с различиями в методах округления значений, с неодинаковыми «способами» накопления погрешностей.

Модифицированный метод Эйлера является методом второго порядка точности, метод Рунге-Кутта — четвертого, то есть метод Рунге-Кутта является более точным, поэтому для решения задачи аппроксимации зависимости I (t) возьмем дискретные значения тока, полученные из решения систем дифференциальных уравнений в MathCAD метод Рунге-Кутта.

Решение задачи аппроксимации зависимости I (t) на интервале 0,001? t? 0,006

Реализация в EXCEL.

Рис. 8

Коэффициенты для данного участка:

Реализация в MathCAD.

Квадратичная аппроксимация методом наименьших квадратов На отрезке 0,001−0,004

Рис. 9

На отрезке 0,0042−0,0054

Рис. 10

электрический цепь кош задача На отрезке 0,0056−0,006

Рис. 11

Анализ полученных результатов.

В ходе работы были выведены эмпирические формулы для функциональной зависимости силы тока от времени в интервале изменения времени от 0.001 до 0.006. Аппроксимацию проводили методом наименьших квадратов. Значения силы тока были взяты из результатов полученных с помощью метода Рунге-Кутта (в пакете MathCAD).

Для решения задачи аппроксимации зависимости I (t), была построена кусочная аппроксимация, методом наименьших квадратов, используя пакет MathCAD.

Были выведены полиномы второй, четвертой, шестой степени.

Аппроксимирующая функция в программах Excel и MathCAD ведут себя по-разному. В программе Excel аппроксимирующая функция очень точно отображает зависимость силы тока от времени (погрешность в квадрате равна единице). Тогда как в пакете MathCAD аппроксимирующая функция даёт значительные ошибки.

Это объясняется тем что, метод Рунге-Кутта является неустойчивым решением данной системы дифференциальных уравнений (небольшое изменение начальных данных ведёт к большому искажению результатов). Другими словами, получается огромный разброс точек (значений) на графике. Этот «разброс» увеличивается при приближении расчётного процесса к центру числового интервала (в данном случае временного интервала). Здесь действует процесс накопления ошибок. В результате этого, в середине временного интервала получаются большие погрешности. Ближе к концу отрезка мы снова наблюдаем уменьшение погрешности. Это связанно с тем, что разброс точек уменьшается, результаты полученные с помощью Рунге-Кутта приближаются к точным результатам, хотя разница результатов остаётся очень существенной.

Расчет количества теплоты, выделившейся на резисторе R4

Реализация в пакете MathCAD

Расчет количества теплоты, выделившейся на резисторе R4

Параметры, задаваемые по варианту:

Параметры элементов цепи:

задается произвольно шаг Метод трапеций Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников Метод центральных прямоугольников Метод Симпсона

,

Вычисление ошибок:

Блок-схема алгоритма для создания программы в Turbo Pascal.

[Введите текст]

Рис. 12

Программа на языке PASCAL.

Program Integral;

const

n=100;

t1=0.001;

t2=0.006;

r4=1.88;

var

S, x, y, hx, ICP, Q: real;

i:integer;

Begin

hx:=(t2-t1)/n;

x:=t1+hx/2;

S:=0;

For i:=1 to n do

begin

if (x<=0.01)

then y:=(-23.341 967*x+0.2 139 437)

else y:=(-2077.4033*sqr (x)-54.138 535*x-0.3 548 101);

x:=x+hx;

S:=S+y*y;

end;

ICP:=S*hx;

Q:=r4*ICP;

Writeln ('R4=', r4:2:2, ' Q=', Q:2:8);

readln;

end.

Печать результатов.

R4=1.88 Q=0.17 507

Анализ полученных результатов.

Рассчитали количества теплоты, выделившейся на резисторе R4 в пакете MathCAD, EXCEL и на алгоритмическом языке PASCAL методами численного интегрирования. Она составила Q=0.17 507. Из результатов рассчитанных ошибок, очевидно, что интеграл, вычисленный методом Симпсона, имеет наибольшую точность.

Заключение

Для анализа переходных процессов в электрической цепи выведена система дифференциальных уравнений. При решении данной системы были найдены зависимости силы тока и напряжения от времени. Система решалась с помощью мод. метода Эйлера и метода Рунге-Кутта. Хотя эти методы и являются неустойчивыми методами решения данной системы, но общий вид процесса они искажают незначительно.

Проведена аппроксимация функциональной зависимости силы тока от времени на временном интервале tЄ[0.001; 0.006] методом наименьших квадратов. Наиболее точной аппроксимацией является аппроксимация полиномом второй степени в пакете MathCAD и в пакете Excel.

Найдено количество теплоты, выделяемое на четвёртом резисторе за время tЄ[0.001; 0.006] Q=0.17 507 (точное значение). Для нахождения количества теплоты были использованы следующие методы: методы правых, левых и центральных прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Наибольшую точность показал метод Симпсона (ошибка вычисления равняется 4.234*10−7).

Совместное использование программ Excel, MathCAD и языка высокого уровня Pascal позволило достаточно точно решить поставленные в курсовой работе задачи.

1. Использование табличного процессора Excel для реализации численных методов в инженерных и экономических расчётах: Метод. Разработка по курсу «Информатика» для студентов всех форм обучения/НГТУ; Сост:. Билюба В. Ф., Ершов В. Н., Митяков С. Н., Митякова О. И., Никетенкова С. П., Николаев Н.Я. Н. Новгород, 2005. 36 с.

2. Основы алгоритмизации и программирования на языке ТУРБО ПАСКАЛЬ: Метод. Разработка по курсу «Информатика» НГТУ; Сост:. В. Ф. Билюба, Е. А. Маслова, С. П. Никитенкова, В. Е. Ольхов, 1998. 43 с.

3. Митяков С. Н. Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи: Методическая разработка по курсу «Информатика"/ Митяков C.H., Потапова М. Н., Факеева Т. А. Моругина Т.В. Н. Новгород: НГТУ, 2004. 3−11 с.