Решение задач исследования операций
Выбор в качестве разрешающей строки х2с обусловлен тем, что именно в этой строке отношение свободного члена к переменной х1с минимально. Выполним необходимые преобразования над элементами Симплекс таблицы: Имеем классическую транспортную задачу с числом базисных переменных, равным n+m-1, где m-число пунктов отправления, а n — пунктов назначения. В решаемой задаче число базисных переменных равно… Читать ещё >
Решение задач исследования операций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра Систем Управления Челябинск, 2005
Курсовая работа
по дисциплине
Исследование операций
Руководитель:
Плотникова Н. В.
«____» ___________ 2005 г.
Автор:
Студент группы ПС-346
Попов А. Е.
«____» ___________ 2005 г.
Работа защищена с оценкой
«____» ___________ 2005 г.
- Оглавление
- 1 Условия задач 3
- 2 Решение задач исследования операций 4
- 2.1 Решение задачи 1 4
- 2.2 Решение задачи 2 8
- 2.3 Решение задачи 3 12
- 2.4 Решение задачи 4 17
1 Условия задач
2 Решение задач исследования операций
2.1 Решение задачи 1
Для составления математической модели задачи введём переменные:
— количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 1
— количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 2
x3a — количество горючего, доставляемое со склада A на бензоколонку 3
x1b — количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 1
x2b — количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 2
x3b — количество горючего, доставляемое со склада B на бензоколонку 3
x1c — количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 1
x2c — количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 2
x3c — количество горючего, доставляемое со склада C на бензоколонку 3
На складах A, B, C находится 90, 60, 90 тонн горючего соответственно, следовательно, можно записать:
На каждую заправку нужно оправить одинаковое количество горючего, равное (90+60+90)/3:
В соответствии со стоимостями перевозок запишем целевую функцию, которую необходимо минимизировать:
Имеем классическую транспортную задачу с числом базисных переменных, равным n+m-1, где m-число пунктов отправления, а n — пунктов назначения. В решаемой задаче число базисных переменных равно 3+3−1=5.
Число свободных переменных соответственно 9−4=4.
Примем переменные x1a, x1b, x2a, x2с, x3с в качестве базисных, а переменные x1c, x2b, x3а, x3b в качестве свободных (данный выбор позволяет легко выразить базисные переменные через свободные).
Далее в соответствии с алгоритмом Симплекс метода необходимо выразить базисные переменные через свободные:
Следующий шаг решения — представление целевой функции через свободные переменные:
В задании требуется найти минимум функции L. Так как коэффициент при переменной x1c меньше нуля, значит найденное решение не является оптимальным.
Составим Симплекс таблицу:
bi | x3a | x2b | x3b | x1c | ||
L | — 10 | — 3 | — 1 | — 4 | — 1 | |
x1a | — 10 | — 1 | — 1 | — 1 | ||
x1b | ||||||
x2a | — 1 | — 1 | — 1 | |||
x2c | — 1 — 1 | — 1 — 1 | ||||
x3c | ||||||
Выбор в качестве разрешающей строки х2с обусловлен тем, что именно в этой строке отношение свободного члена к переменной х1с минимально. Выполним необходимые преобразования над элементами Симплекс таблицы:
bi | x3a | x2b | x3b | x2c | ||
L | — 2 | — 1 | — 1 | |||
x1a | — 1 | — 1 | ||||
x1b | ||||||
x2a | ||||||
x1c | — 1 | — 1 | ||||
x3c | ||||||
Все коэффициенты при свободных переменных неположительные, следовательно, найденное решение является оптимальным. Запишем его:
x1a=10; x1b=60; x1c=10;
x2a=80; x2b=0; x2c=0;
x3a=0; x3b=0; x3c=80;
L=620;
Для проверки правильности вычислений можно составить транспортную таблицу:
A | B | C | |||
После анализа таблицы можно сделать вывод, что вычислительных ошибок при расчетах сделано не было.
Ответ:
x1a=10 x1b=60 x1c=10
x2a=80 x2b=0 x2c=0
x3a=0 x3b=0 x3c=80
L=620
2.2 Решение задачи 2
Составим систему ограничений исходя из условия задачи
Целевая функция задачи имеет вид:
Пусть переменные x1 и x2 — свободные, а переменные x3, x4 и x5 — базисные.
Далее необходимо представить систему ограничений в стандартном виде. Для этого проведем ряд преобразований:
Подставим выражения для x3 и x4 в третье уравнение системы ограничений:
Упростим полученное выражение и выразим x5:
Теперь можно представить систему ограничений в стандартном виде:
Необходимо также выразить целевую функцию через свободные переменные:
Теперь можно заполнить Симплекс-таблицу
bi | x1 | x2 | ||
L | — 1 | — 3 | ||
x3 | — 1 | |||
x4 | ||||
x5 | — 1 | |||
Исходя из того, что все свободные члены положительны, можно сделать вывод о том принятое решение является опорным.
Далее нужно выбрать разрешающий элемент. В качестве разрешающего столбца целесообразно принять столбец x1, так как коэффициент при x1 в целевой функции меньше коэффициента при x2. Разрешающей строкой будет строка x5-, так как отношение свободного члена этой строки к коэффициенту при x1 минимально. Отметим найденный разрешающий элемент в таблице, а также заполним необходимые клетки:
bi | x1 | x2 | ||
L | — 1 | — 3 — 1 | ||
x3 | — 1 | — 1 | ||
x4 | — 1 | — 1 | ||
x5 | — 1 — 1 | |||
Перерисуем таблицу с учётом замены x2 на x3:
bi | x5 | x2 | ||
L | — 4 | |||
x3 | ||||
x4 | — 1 | |||
x1 | — 1 | |||
Коэффициент при х2 в целевой функции отрицателен, значит необходимо произвести ещё одну замену. В качестве разрешающей строки примем x3. Таким образом, разрешающим будет элемент, стоящий на пересечении строки x3 и столбца x2.
bi | x5 | x2 | ||
L | — 4 | |||
x3 | ||||
x4 | — 6 | — 1 — 2 | — 2 | |
x1 | — 1 | |||
В итоге получим:
bi | x5 | x3 | ||
L | ||||
x2 | ||||
x4 | — 5 | — 1 | ||
x1 | ||||
Коэффициенты при свободных переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение является оптимальным.
Ответ:
x1=4
x2=3
x3=0
x4=-5
x5=0
L=14
2.3 Решение задачи 3
Условие задачи задано в виде транспортной таблицы:
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
Применим к задаче метод «Северо-Западного угла». Для этого заполним таблицу начиная с левого верхнего угла без учёта стоимости перевозок:
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
В таблице заполнено n+m-1=7 клеток, значит найденное решение является опорным. Далее необходимо улучшить план перевозок в соответствии со стоимостями доставки грузов. Для этого используем циклические перестановки в тех циклах, где цена отрицательна.
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
В данной таблице в верхней части ячейки указана стоимость перевозки, а в нижней количество перевозимого груза. Прямоугольником выделен отрицательный цикл г1=25+22−40−12=-5. Минимальное значение перевозок, стоящих в отрицательных вершинах равно k1=100. В итоге получим уменьшение стоимости перевозки:
ДL1=-5*100=-500
Транспортная таблица примет следующий вид:
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
г2=12+32−45−22=-23 k2=200 ДL2=-23*200=-4600
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
г3=10+18−50−25=-47 k3=100 ДL3=-47*100=-4700
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
г4=10+23−12−50=-29 k4=200 ДL4=-29*200=-6800
ПН ПО | B1 | B2 | B3 | запасы | |
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
A4 | |||||
A5 | |||||
заявки | |||||
Отрицательных циклов в транспортной таблице больше нет. Следовательно, можно предположить, что найденное решение является оптимальным. Для проверки применим метод потенциалов.
Составим систему:
Положим в2=0, тогда б4=-22
в1=1, б2=-20
в3=-10, б2=-22
б1=-20, б5=-32
Все коэффициенты б отрицательны, значит, найденный план перевозок является оптимальным.
Ответ:
x21=100;
x31=200;
x41=200;
x42=100;
x52=200;
x13=300;
x43=500.
2.4 Решение задачи 4
Составим математическую модель поставленной задачи.
Найти минимум функции f (x1,x2)
При ограничениях
Заменив знак функции f (x1,x2) на противоположный, перейдем к поиску максимума функции:
Теперь задача приведена к стандартному виду задачи квадратичного программирования. Приступим к решению.
1) Определим стационарную точку
Решив систему, получим:
x1=10
x2=7
Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений. Поэтому проверять стационарную точку на относительный максимум нет необходимости.
2) Составим функцию Лагранжа:
Применив к функции Лагранжа теорему Куна-Таккера, будем иметь систему:
3) Преобразуем полученную систему:
Из уравнения 3 системы следует, что x2=6-x1:
Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:
4) Запишем условия дополняющей нежесткости:
5) Введем в систему уравнений искусственные переменные z1, z2:
Поставим задачу максимизации функции .
Для решения этой задачи воспользуемся Симплекс-методом. Примем переменные z1 и z2 в качестве базисных:
Составим Симплекс таблицу:
bi | x1 | U1 | U2 | V1 | V2 | ||
ц | — 17M | — 5M | M | M | — M | ||
z1 | — 1 | — 3 | — 1 | ||||
z2 | — 3 — 3 | ||||||
W | — 1 | ||||||
bi | x1 | z2 | U2 | V1 | V2 | ||
ц | — 17M 17M | — 5M M | M | M — M | M — M | — M M | |
z1 | 17/5 | 1/5 | 1/5 | — 1 — 1/5 | — 1 — 1/5 | 1/5 | |
U1 | — 51/5 | — 3/5 | — 3/5 | — 3 3/5 | 3/5 | — 3/5 | |
W | 17/5 | — 1 1/5 | 1/5 | — 1/5 | — 1/5 | 1/5 | |
bi | z1 | z2 | U2 | V1 | V2 | ||
ц | M | M | |||||
x1 | 17/5 | 1/5 | 1/5 | — 1/5 | — 1/5 | 1/5 | |
U1 | — 11/5 | — 3/5 | — 2/5 | ½ | 3/5 | — 2/5 | |
W | 17/5 | 1/5 | 1/5 | — 1/5 | — 1/5 | 1/5 | |
В итоге получим
x1=17/5
x2=6-x1=13/5
Как видно, координаты стационарной точки сильно отличаются от координат, полученных в качестве ответа. Это можно объяснить тем, что стационарная точка не удовлетворяет условиям ограничений.
Условия дополняющей нежесткости
выполняются.
Следовательно, найденное решение является оптимальным.
Найдем значения целевой функции:
=- 51/5 — 52/5 + 289/50 — 221/25 + 169/25 =
= -16.9
Ответ:
x1 = 17/5
x2 = 13/5
f (x1,x2) = -16.9