Теоретические законы распределения отказов

Содержание Задача № 1. Решение задачи матричным методом Задача № 2. Решение задачи по оптимальному резервированию Теоретические законы распределения отказов надежность отказ случайная величина

Задача № 1

Узел аппаратуры состоит из двух параллельно включенных блоков, имеющих интенсивность отказов равных:

(1/ч);

(1/ч).

При отказе одного из блоков узел еще продолжает функционировать, но коэффициент электрической нагрузки второго элемента увеличится, вследствие чего интенсивность отказов возрастает до величины

(1/ч).

Требуется рассчитать вероятность безотказной работы звена на этих условиях за время t=44 000 ч.

Решение:

Из общего числа состояний узла выбираем следующие три благоприятные гипотезы:

1 оба элемента исправны (Н0),

2 отказал первый элемент (Н1),

3 отказал второй элемент (Н2).

Остальные состояния, когда отказали оба элемента в различной последовательности, соответствуют неблагоприятным гипотезам (отказ узла).

1 Вероятность первого состояния

2 Вероятность второго состояния

=-1,45*=0,0996

3 Вероятность третьего состояния

= - 0,82*=0,056,

Вероятность безотказной работы узла Р1(t)==0,7125+0.0996+0.056=0.868,

Ответ:

Вероятность безотказной работы на данных условиях равна 0,868

Задача № 2

Имеется нерезервированная система, состоящая из пяти блоков.

Вероятность отказа блоков и их веса будут следующими:

q1=0.51; q2=0.33; q3=0.20; q4=0.37; q5=0.24.

G1=4; G2=1; G3=1; G4=5; G5=1.

Требуется резервировать систему так, чтобы вес ее не превышал Gдоп.=60кг, а вероятность безотказной работы была бы максимальной.

Решение

Задача будет решатся таким, образом

1 По формуле :

аj=,

определим для каждого блока:

а1==5,94;

а2==0,902;

а3==0,621;

а4==5,029;

а5==0,701.

2 находим у0 — корень уравнения

;

Это трудоемкая задача, поэтому можно использовать следующий прием:

где В=Gдоп+,

Вычисление дает значение В=60+18.69=78.69

=389.29,

Данное приближение можно уточнить, используя, например, метод Ньютона:

=389,29−1=388,29

Получаем =388,29 линейная интерполяция значений и

Дает корень =387,29

Вычисляем ,

которые могут иметь любые значения. Но нужно значения, которые дают максимум функции Рр (s) и удовлетворяют условию

;

Вычисляем по данной формуле обобщенный вес, смотри таблицу.

Принимаем целочисленные значения, смотри таблицу Находим ;

и =min

Наилучшее приближение получаем в варианте «б».

По формуле

определяем вероятность безотказной работы резервируемой системы Рр=0,957

Для сравнения при дробных sj вычислим Рмах= 0,967

Ответ:

Вероятность безотказной работы резервируемой системы Рр=0,957

В выбранных условиях мы получили максимальную вероятность безотказной работы.

Теоретические законы распределения отказов

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов — к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т. е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний. При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие

Случайное событие — событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий — последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс.

Случайная величина

Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т. д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины — соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) — функция вида F (x) = p (X

Плотность распределения непрерывной случайной величины X (дифференциальный закон распределения) — производная от функции распределения:

(1)

В теории надежности за случайную величину обычно принимают время работы изделия (время до возникновения отказа). В этом случае функция плотности распределения f (t) будет служить полной характеристикой рассеивания сроков службы элементов (1). Вид этой функции зависит от закономерностей процесса потери элементом работоспособности.

Список используемой литературы.

1. Атовмян И. О., Вайрадян А. С. и др. «Надежность автоматизированных систем управления» М.:Высш.шк., 1979.-287с., ил

2. Александровская Л. Н., Афанасьев А. П., Лисов А. А. «Современные методы обеспечения безотказности сложных технических систем: Учебник" — М.: Логос, 2003 -208с.

3. Дружинин Г. В. «Надежность автоматизированных производственных систем» — 4-е изд., перераб. И доп.-М.: Энергоатомиздат, 1986.-480с.

4. Каган Б. М., Макртумян И. Б. «Основы эксплуатации ЭВМ"-М.: Энергоатомиздат, 1988.-432с.

5. Мозгалевский А. В., Койда А. Н. Вопросы проектирования систем диагностирования, Ленингр. Отд-ние, 1985.-112с.

6. Орлов И. А. и др. «Эксплуатация и ремонт ЭВМ, организация работы вычислительного центра"-М.: Энергоатомиздат, 1989.-400с.

7. Острейковский В. А. «Теория надежности» М.: Высшая школа., 2003.-463с.