Решение линейных уравнений различными методами

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной информатики Курсовая работа по вычислительной математике Казань-2012

Решение СЛАУ итерационными методами Задание: решить систему линейных уравнений методам Якоби вручную, на Бейсике с точностью 0,1

3 х ₁ +0,7 х ₂ +0,2 х ₃ +0,2 х ₄ =4

0,06 х ₁ +5 х ₂ +0,5 х ₃ +0,5 х ₄ =5

1,3 х ₁ +0,3 х ₂ +3,5 х ₃ +0,4 х ₄ =-5

0,3 х ₁ +0,3 х ₂ +0,4 х ₃ +4 х ₄ =5

Ручной счет по методу Якоби:

х ₁ =(4 -0,7 х ₂ — 0,2 х ₃ — 0,2 х ₄)/ 3

х ₂ =(5−0,06 х ₁ -0,5 х ₃ — 0,5 х ₄)/5

х ₃ =(-5−1,3 х ₁ -0,3 х ₂ -0,4 х ₄)/3,5

х ₄ =(5−0,3 х ₁ -0,3 х ₂ -0,4 х ₃)/4

Первая итерация:

X₁⁽¹⁾ =(4 -0,7 *0 — 0,2*0 — 0,2*0)/ 3=1,333 333 333

X₂⁽¹⁾ =(5−0,06*0 -0,5 *0 — 0,5*0)/5=1

X₃⁽¹⁾ =(-5−1,3 *0 -0,3*0−0,4*0)/3,5=-1,428 571 429

X₄⁽¹⁾ =(5−0,3*0 -0,3*0−0,4*0)/4=1,25

Вторая итерация:

X₁⁽²⁾ =(4 -0,7 *1 — 0,2*(-1,428 571) — 0,2*1,25)/ 3=1,1119

X₂⁽²⁾ =(5−0,06*1,3333 -0,5 *(-1,428 571) — 0,5*1,25)/5=1,1 857

X₃⁽²⁾ = (-5−1,3 *1,3333 -0,3*1 -0,4*1,25)/3,5=-2,15 238

X₄⁽²⁾ =(5−0,3*1,3333 -0,3*1 -0,4*(-1,428 571))/4=1,217 857

Третья итерация:

X₁⁽³⁾ =(4 -0,7 *1,1 857 — 0,2*(-2,15 238) — 0,2*1,217 857)/ 3=1,161 868

X₂⁽³⁾ =(5−0,06*1,1119 -0,5 *(-2,15 238) — 0,5*1,217 857)/5=1,0801

X₃⁽³⁾ =(-5−1,3 *1,1119 -0,3*1,1 857 -0,4*1,217 857/3,5=-2,0666

X₄⁽³⁾ = (5−0,3*1,1119 -0,3*1,1 857−0,4*(-2,15 238))/4=1,3067

Четвертая итерация:

X₁⁽⁴⁾ =(4 -0,7 *1,0801 — 0,2*(-2,0666) — 0,2*1,3067)/ 3=1,13 196

X₂⁽⁴⁾ =(5−0,06*1,161 868 -0,5 *(-2,0666) — 0,5*1,3067)/5=1,6 204

X₃⁽⁴⁾ =(-5−1,3 *1,161 868−0,3*1,0801 -0,4*1,3067)/3,5=—2,10 204

X₄⁽⁴⁾ =(5−0,3*1,161 868 -0,3*1,0801−0,4*(-2,0666))/4=1,28 851

Пятая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,6 204 — 0,2*(-2,10 204) — 0,2*1,28 851)/ 3=1,13 975

X₂⁽⁵⁾ =(5−0,06*1,13 196 -0,5 *(-2,10 204) — 0,5*1,28 851)/5=1,0677

X₃⁽⁵⁾ =(-5−1,3 *1,13 196−0,3*1,6 204 -0,4*1,2885)/3,5=—2,0873

X₄⁽⁵⁾ =(5−0,3*1,13 196 -0,3*1,6 204−0,4*(-2,10 204))/4=1,29 565

Шестая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,0677 — 0,2*(-2,0873) — 0,2*1,29 565)/ 3=1,1369

X₂⁽⁵⁾ =(5−0,06*1,13 975 -0,5 *(-2,0873) — 0,5*1,29 565)/5=1,0654

X₃⁽⁵⁾ =(-5−1,3 *1,13 975−0,3*1,0677 -0,4*1,29 565)/3,5=—2,0915

X₄⁽⁵⁾ =(5−0,3*1,29 565 -0,3*1,0677−0,4*(-2,0873))/4=1,29 316

Седьмая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,0654 — 0,2*(-2,0915) — 0,2*1,29 316)/ 3=1,13 794

X₂⁽⁵⁾ =(5−0,06*1,1369 -0,5 *(-2,0915) — 0,5*1,29 316)/5=1,0661

X₃⁽⁵⁾ =(-5−1,3 *1,1369−0,3*1,0654 -0,4*1,29 316)/3,5=—2,0899

X₄⁽⁵⁾ =(5−0,3*1,1369 -0,3*1,0654−0,4*(-2,0915))/4=1,29 316

Проверка точности:

| X₁⁽⁵⁾ — X₁⁽⁴⁾|=0.0009 <0.001

|X₂⁽⁵⁾ — X₂⁽⁴⁾|=0.0007 <0.001

|X₃⁽⁵⁾ — X₃⁽⁴⁾|=0.0015 <0.001

|X₄⁽⁵⁾ — X₄⁽⁴⁾|=0.0008 <0.001

Точность достигнута.

Программа на Бейсике:

ClS

a=0

b=0

c=0

d=0

1 X1=(4−0.7*b-0.2*c-0.2*d)/3

X2= (5−0.06*a-0.5*c-0.5*d)/5

X3=(-5−1.3*a-0.3*b-0.4*d)/3.5

X4=(5−0.3*a-0.3*b-0.4*c)/4

Print x1, x2, x3, x4

Input t

a=x1

b=x2

c=x3

d=x4

Goto 1

end

Результаты выполнения программы:

Интерполяционный многочлен Ньютона Задача: построить интерполяционный многочлен Ньютона вручную использую Excel.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Ручной счет Многочлен Ньютона находится по формуле:

В Excel вычислим коэффициенты

В столбце, А находятся X_i, в столбце B находятся Y_i.

Расположение вычисленных коэффициентов:

Формулы вычисления коэффициентов:

линейный уравнение интерполяционный аппроксимирующий сплайн

и т. д. ,

и т.д. ,

и т.д.

Формулы в программе Excel:

Таблица значений:

Нужные коэффициенты выделены жирным. Подставим их в многочлен Ньютона:

N (x)=1+5,5(х-1)-3,75(х-1)(х-1,2)+8,3333(х-1)(х-1,2)(х-1,4)+0(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)-41,667(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)(х-1,8)=1+(x-1)(5,5−3,75(x-1,2))+(x-1)(x-1,2)(x-1,4)(8,3333−41,6667(x-1,6)(x-1,8))

В результате получим:

N (х)=-41,6667*x⁵+291,6668*x⁴-799,997*x³+1074,585*x²-02,183*x+178,6

Проверим значения полученной функции в заданных точках:

N (1)=-41,6667*1⁵+291,6668*1⁴-799,997*1³+1074,585*1²-702,183*1+178,6=1,0051

N (1,2)= - 41,6667*(1,2)⁵+291,6668*(1,2)⁴-799,997*(1,2)³+1074,585*(1,2)²-702,183*1,2+178,6=2,1081

N (1,4)= - 41,6667*(1,4)⁵+291,6668*(1,4)⁴-799,997*(1,4)³+1074,585*(1,4)²-702,183*1,4+178,6=2,9122

N (1,6)= - 41,6667*(1,6)⁵+291,6668*(1,6)⁴-799,997*(1,6)³+1074,585*(1,6)²-702,183*1,6+178,6=3,8176

N (1,8)= - 41,6667*(1,8)⁵+291,6668*(1,8)⁴-799,997*(1,8)³+1074,585*(1,8)²-702,183*1,8+178,6=5,2242

N (2)=-41,6667*2⁵+291,6668*2⁴-799,997*2³+1074,585*2²-702,183*2+178,6=5,9324

Полученные значения функции c учетом погрешности вычисления совпадают с табличными значениями. Соответственно делаем вывод, что многочлен Ньютона вычислен верно.

Формула в Excel для проверки найденного многочлена Ньютона:

=B1+C2*(A1-A1)+D3*(A1-A1)*(A1-A3)+E4*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)+F5*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)+G6*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)*(A1-A9)

В ячейку А1 подставляем первое значение Х, для которого требуется узнать значение многочлена, растягиваем формулу до последнего значения.

Таблица результатов в Excel для табличных значений Х:

Вычисления произведены верно.

Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов Задача: методом наименьших квадратов получить аппроксимирующую функцию и построить график.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Ручной счет:

Наша задача получить функцию вида:

Находя частные производные, получим систему уравнений:

Найдем коэффициенты: (n+1)=6

Получим систему:

6a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

9 a ₀+14,2 a ₁ +23,4 a ₂ =34,82

14,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884

Решим её методом Гаусса.

6a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9 /*9

9 a ₀+14,2 a ₁ +23,4 a ₂ =34,82 / *6, вычтем из 1 строки вторую

14,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884

6a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9 /*14,2

— 4,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82

14,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884 /*6, вычтем из 1 строки третью

6a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

— 4,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82 /*(-12,6)

— 12,6 a ₁ -38,1584 a ₂ =-62,524 /*(-4,2)

6a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

— 4,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82

— 1,5052a ₂ =-0,3108

В результате получаем:

a ₂ = 0,2064

a ₁ =4,3376

a ₀ =-3,5415

Коэффициенты вычислены, подставим их в уравнение:

6*(-3,5415)+9 *4,3376+14,2 *0,2064=20,90 028

9 *(-3,5415)+14,2*4,3376+23,4*0,2064=34,82 018

14,2*(-3,5415)+23,4 *4,3376+39,9664*0,2064=59,8856

Вычисление произведено верно.

Построим график полученной функции y=-3,5415+4,3376*x+0,2064*x² в Excel:

Подставляя в полученную функцию табличные значение x, посмотрим на отклонения значений функции от табличных:

Исходные точки.

Отличие графика полученной функции от исходного графика Построение кубического сплайна Задача: построить кубический сплайн по 6 точкам.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Вычисления:

Некоторая функция f (x) задана на отрезке [a, b], разбитом на части [x_i-1, x_i]. На каждом таком отрезке функция S (x) есть полином третьей степени S_i(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства S_i(x) в виде:

S _i (x)= p _i + k _i (xx _i-1)+ g _i (xx _i-1) ²+ l _i (xx _i-1) ³

Шаг: h_i= h_i-1=x_i-x_i-1

Формулы для вычисления коэффициентов:

Для нахождения g_i составим систему, состоящую из уравнений:

h_i-1*g_i-1 +2(h _i +h _i+1) *g _i+ h _i *g _i+1 =3((y _i — y _i-1) /h _i — (y _i-1 — y _i-2)/h _i-1)

где i=2.n

Коэффициенты можно вычислить методом прогонки, используя формулу:

g _i= g_i+1*U_i+V_i

После нахождения необходимо вычислить

Далее вычисляем

k _i=(y _i — y _i-1)/h _i -h _i /3 *(g _i+1 +2*g _i)

Коэффициенты нам известны из таблицы значений функции:

p_i=y _i-1 где i=1.n

Таким образом, мы найдем все коэффициенты и сможем составить уравнения кусков сплайна для каждого отрезка [x_i-1, x_i].

Составим систему уравнений для вычисления, она будет состоять из 6 уравнений

0,8 g ₂ +0,2 g ₃= - 4,5

0,2 g ₂ +0,8 g ₃+0,2 g ₄ =1,5

0,2 g ₃ +0,8 g ₄+0,2 g ₅ =7,5

0,2 g ₄ +0,8 g ₅= -10,5

Записываем коэффициенты:

Решаем:

U ₁=- c₁ / b ₁ =-0,25

V₁=d₁ / b ₁ =-5,625

А ₂=- c₂ / (a ₂*A₁ + b ₂)=-0,26 667

V ₂= (d₂ — a ₂*A₁)/((a ₂*A₁ + b ₂)=3,5

U ₃=- c₃ / (a ₃*A₂ + b ₃)=-0,26 786

V ₃= (d₃ — a ₃*A₂)/((a ₃*A₂ + b ₃)= 9,107 143

U ₄=0, т.к. с₄ =0

V ₄= (d₄ — a ₄*A₃)/((a ₄*A₃ + b ₄)= -16,5072

Обратный ход:

g₅ = V₄ = -16,5072

g₄ =U₃* g₃+ V₃ =13,52 871

g3=U₂* g₂+ V₂ =-0,10 766

g₂=U₁* g₁ + V₁ =-5,59 809

g ₁= g ₆=0

Невязки:

r ₀=0.1

r ₁=0.0

r ₂=-0.0

r ₃=-0.0

r ₄=0.1

r ₅=0.0

Коэффициенты:

p ₁=1 k ₁=5,873 205 l ₁= -9,330 131 g ₁=0

p ₂=2,1 k ₂=4,753 589 l ₂= 9,150 691 g₂ = -5,598 079

p₃=2,9 k ₃=3,612 441 l ₃= 22,72 728 g₃ =0,1 076 636

p ₄=3,8 k ₄=6,296 649 l ₄=-50,5 979 g₄ =13,52 871

p ₅=5,2 k ₅=5,700 957 l ₅=27,51 195 g₅ = -16,50 717

p ₆=5,9 k₆=0 l₆= 0 g ₆=0

Находим полином третьей степени:

S ₁(x)=1+5,873 205*(x-1) +0*(x-1) ² +(-9,330 131)*(x-1) ³=

= 4,45 693−22.1172x+27,9904x² -9,33013x³

S ₂(x)=2,1+4,753 589*(x-1,2) +(-5,598 079)*(x-1,2) ² +9,150 691*(x-1,2) ³=

= -27,4779+57,72 x-38,5406x² +9,15069x³

S ₃(x)=2,9+3,612 441*(x-1,4) +0,1 076 635*(x-1,4) ²+22,72 728*(x-1,4) ³ =

= -64,3101+136,947 x-95,3469x² +22,7273x³

S ₄(x)=3,8+6,296 649*(x-1,6) +13,52 871*(x-1,6)²+(-50,5 979)*(x-1,6) ³=

= 233,404−421,454 x+253,816x² -50,0598x³

S ₅(x)=5,2+5,700 957*(x-1,8) -16,50 717*(x-1,8) ² +27,51 195*(x-1,8) ³=

=-218,995+332,543 x- 165,072x²+27,512x ³

По этим многочленам построим график в Excel

Программа для вывода коэффициентов каждого куска сплайна

Cls

Input n

Dim x (n), y (n), a (n), b (n), c (n), d (n)

Data 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2 [вводим значения X (i)]

Data 1, 2.1, 2.9, 3.8, 5.2, 5.9 [вводим значения Y (i)]

Data 0, 0.2, 0.2, 0.2 [вводим значения коэффициентов a (i) из системы уравнений для вычисления ]

Data 0.8, 0.8, 0.8, 0.8 [ вводим значения коэффициентов b (i) из системы уравнений для вычисления ]

Data 0.2, 0.2, 0.2, 0 [вводим значения коэффициентов c (i) из системы уравнений для вычисления ]

For i=1 to n

Read x (i)

Next i

For i=1 to n

Read y (i)

Next i

For i=1 to n-2

d (i)=3*((y (i+2)-y (i+1))/0.2-(y (i+1)-y (i))/0.2) [вычисление коэффициента d (i) из системы уравнений для вычисления ]

Next i

For i=1 to n-2

Read a (i)

Next i

For i=1 to n-2

Read b (i)

Next i

For i=1 to n-2

Read c (i)

Next i

For i=1 to n-2

u (i)=-c (i)/(a (i)*u (i-1)+b (i)) [прогоночный коэффициент ]

v (i)=(d (i)-a (i)*v (i-1))/(a (i)*u (i-1)+b (i)) [прогоночный коэффициент ]

next i

for i=n to 1 step-1

g (i)=u (i)*g (i+1)+v (i) [вычисляется g_i из уравнения]

next i

for i=1 to n

k (i)=(y (i+1)-y (i))/0.2−0.2/3*(g (i)+2*g (i-1)) [вычисляется коэффициент сплайна]

next i

for i=1 to n-1

l (i)=(g (i)-g (i-1))/0.6)) [вычисляется коэффициент сплайна]

next i

for i=1 to n

p (i)=y (i)

next i

for i=1 to n-1

print p (i), k (i), l (i), g (i)

next i

end.

Ответ:

p ₁=1 k ₁=5.873 205 l ₁= -9.330 131 g ₁=0

p ₂=2.1 k ₂=4.753 589 l ₂= 9.150 691 g₂ = -5.598 079

p ₃=2.9 k ₃=3.612 441 l ₃= 22.72 728 g₃ =0.1 076 636

p ₄=3.8 k ₄=6.296 649 l ₄=-50.5 979 g₄ =13.52 871

p ₅=5.2 k ₅=5.700 957 l ₅=27.51 195 g₅ = -16.50 717

p ₆=5.9 k ₆=0 l ₆= 0 g₆=0

Вычислить значение функции х₀=1,75

Задача: Вычислить значение функции х₀=1,75 использую полученную аппроксимирующую функции:

N (1,75)=-41,6667*(1,75)⁵+291,6668*(1,75)⁴-799,997*(1,75)³+1074,585(1,75)x²-702,183*(1,75)+178,6=4,849

Вычисляем значение функции х₀=1,5 использую полученную аппроксимирующую функцию методом наименьших квадратов:

y=-3,5115+4,3376*х+0,2064*х²=- 3,5115+4,3376*1,75+0,2064*1,75²=4,7114

Вычисляем значение функции х₀=1,75 использую полученную полином третьей степени S (x):

S (1,75)= 232,757−50,0598*1,75³+253,816*1,75²−421,05*1,75=4,941 759