Решение нелинейного уравнения методом касательных

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал) Кафедра информатики и вычислительной математики Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Информатика»

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ

1. Постановка задачи и исходные данные

2. Описание метода решения

2.1 Методы отделения корней

2.2 Численные методы уточнения корней

3. Блок схема алгоритма

4. Решение в системе MathCad

Выводы

1. Постановка задачи и исходные данные

Решить нелинейное уравнение

(1)

численным методом касательных. Найдем и исследуем четыре корня с точностью е = 0,1.

2. Описание метода решения

Численное решение нелинейных уравнений вида

(2)

заключается в нахождении значений x, удовлетворяющих (с заданной точностью) данному уравнению и состоит из следующих основных этапов:

1. Отделение (изоляция, локализация) корней уравнения.

2. Уточнение с помощью некоторого вычислительного алгоритма конкретного выделенного корня с заданной точностью.

Целью первого этапа является нахождение отрезков из области определения функции, внутри которых содержится только один корень решаемого уравнения. Иногда ограничиваются рассмотрением лишь какой-нибудь части области определения, вызывающей по тем или иным соображениям интерес. Для реализации данного этапа используются графические или аналитические способы.

При завершении первого этапа, должны быть определены промежутки, на каждом из которых содержится только один корень уравнения.

Для уточнения корня с требуемой точностью обычно применяется какой-либо итерационный метод, заключающийся в построении числовой последовательности x_k (k=0,1,2,…), сходящейся к искомому корню x уравнения.

2.1 Методы отделения корней

Аналитический способ отделения корней

Аналитический способ отделения корней основан на следующих теоремах:

Теорема 1.

Если функция F (x), определяющая уравнение F (x)=0, на концах отрезка [a;b] принимает значения разных знаков, т. е.

F (a)*F (b)<0,

то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения.

Теорема 2.

Если функция F (x) строго монотонна, то корень на [a;b] единственный

(F'(a)*F'(b)>0).

Для отделения корней аналитическим способом выбирается отрезок [A;B], рисунок 1, на котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на отрезке [A;B] функция F (x) должна быть определена, непрерывна и

F (a)*F (b)<0.

Далее находятся все частичные отрезки [a;b], содержащие по одному корню.

Вычисляются значение функции F (x), начиная с точки x=A, двигаясь вправо с некоторым шагом h. Если

F (x)*F (x+h)<0,

то на отрезке [x;x+h] существует корень, а если функция F (x) еще и строго монотонна, то корень единственный. Если F (x_k)=0, x_k-точный корень.

Рисунок 1. — Выбор отрезка

Графический способ отделения корней

Графический способ отделения корней основан, в основном, на визуальном восприятии. Отделение корней производится графически, учитывая, что действительные корни уравнения (1) — это есть точки пересечения графика функции y=F (x) с осью абсцисс y=0, нужно построить график функции y=F (x) и на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y=F (x) исходное уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением f₁(x)=f₂(x). Далее строятся графики функций y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков.

2.2 Численные методы уточнения корней

После того как искомый корень уравнения отделён, т. е. определён отрезок, на котором существует только один действительный корень уравнения, находится приближённое значение корня с заданной точностью.

Уточнение корня можно производить различными методами.

Метод касательных (Ньютона)

Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F (x) и найти значения функции на конце отрезка F (b). Затем провести касательную через точку М₁. Абсцисса точки пересечения касательной с осью OX это и есть приближенный корень x₁. Далее найти точку M₂(x₁;F (x₁)), построить следующую касательную и найти второй приближенный корень x₂ и т. д., рисунок 2.

Рисунок 2. — Выбор точек касания Формула для (n+1) приближения имеет вид:

(3)

Если F (a)*F" (a)>0, x₀=a, в противном случае x₀=b.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:

. (4)

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости. Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

3. Блок схема алгоритма

Рисунок 3. — Блок схема алгоритма

Сначала функция анализирует конец, а отрезка [a;b]. Если выполняется условие, то конец, а отрезка [a;b] и будет первым приближением х1 корня уравнения, иначе первым приближением корня уравнения будет конец b отрезка [a;b]. Далее начинается итерационный процесс, который продолжается до тех пор, пока. Как только итерационный процесс прекращается, и в x1содержится искомый корень с необходимым приближением.

4. Решение в системе MathCad

нелинейный уравнение корень касательный

Построим в программе Mathcad график функции

.

Предварительно перенесем все в левую часть и приведем к виду (1), тогда уравнение примет вид:

и график функции построенной в программе Mathcad, примет вид представленный на рисунке 4.

Рисунок 4. — График функции в системе Mathcad

По графику определяем количество и локализации корней уравнения.

Найдем корни уравнения

с заданной точностью е = 0,1

Выводы

В результате выполнения курсовой работы мы:

познакомились с методами отделения корней уравнения и численными методами их уточнения;

исследовали функцию и локализовали корни уравнения;

написали на языке Mathcad процедуру для уточнения корней методом касательных;

решили нелинейное уравнение и уточнили корни численным методом касательных с точностью до 0,1.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.

2. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Численные методы: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. — М.: Просвещение. 1990. — 176 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.

4. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика — М.: Просвещение. 1978.

5. Плис А. И. Сливина Н.А. MathCad: Математический практикум для экономистов и инженеров. — М.: финансы и статистика, 2000. 656с.

6. Лисица В. Д., Севодина Г. И., Расчеты в системе MathCad 14: лабораторный практикум по курсу информатики и вычислительной математики для студентов технологических и экономических специальностей. — Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2002. — 62с.