Сходимость рядов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.

Найти область сходимости указанных рядов

9.3.1.

а)

По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

.

б)

Отсюда следует, что при ряд сходится, т. е. при. При ряд расходится.

Рассмотрим случай

Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд

При аналогично получим ряд, ряд сходится условно.

Ответ:

9.3.2.

а)

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .

Ряд будет сходится при

Первый случай или

В промежутке ряд сходится.

Второй случай

В промежутке 1

При x=1 получим ряд, т. е. ряд вида — -1+1−1+1−1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При получим ряд т. е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.

б)

Ряд будет сходиться при .

1)

в интервале ряд сходится.

2)

в интервале 3

Общий интервал сходимости -2

На концах интервала х=-2, имеем ряд:

— расходящийся гармонический ряд.

в п. 9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]

9.3.3.

а)

Ряд сходится при условии

1)

Решим неравенство:

корней нет, следовательно: — всегда.

Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1). Получаем ряд:. Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .

2)

б)

.

Ряд сходится при .

1) интервал сходимости .

2) интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.

1)

По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд — расходится.

2) .

Сравним с рядом по второму признаку сравнения

расходится, то расходится и ряд .

3.9.4.

а)

Ряд сходится при

1) тогда

корней нет, .

Решаем неравенство:

.

Решаем полученное неравенство:

В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)

Ряд расходится, т.к. .

2)

б)

Ряд сходится при условии или

Интервал сходимости .

На концах интервала.

1)

— ряд расходится, т.к. расходится ряд .

2)

Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.

9.3.5.

а)

Ряд сходится при условии .

1)

2)

Исследуем концы интервала:

1)

2)

б)

Ряд сходится при условии откуда

9.3.6.

а)

Ряд сходится при

и корней нет, следовательно, имеет условие

Интервал сходимости .

Исследуем концы интервалов:

1)

Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница

— выполняется

Ряд сходится при

Получим такой же ряд.

б)

Проверяем признак Даламбера:

Условие сходимости

На концах интервала имеем:

1)

Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.

Ряд сходится условно при .

Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.

.

9.3.7.

а)

Проверяем концы интервалов

1)

Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.

При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).

б)

9.3.8.

а)

Условие сходимости .

Найдем дискриминант знаменателя: D=64−72<0. Условие принимает вид

Интервал сходимости .

На концах интервала

Получаем один и тот же ряд

.

Члены этого ряда не меньше членов ряда, следовательно, ряд расходится.

б)

Условие сходимости

На краях интервалов:

1). Получается ряд:

Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.

2)

9.3.9.

а)

1. Если, т. е. и необходимо решить неравенство:. Получается интервал .

2.

Интервал с учетом .

На концах интервала:

1)

Ряд сходится. Аналогично при .

.

б)

Интервал сходимости определяется неравенством

9.3.10.

а)

Найдем дискриминант числителя

б)

1)

2)

1.

2.