Численные методы решения инженерных задач на электронных вычислительных машинах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Физико-технологический институт Кафедра «Вычислительной техники»

Контрольная работа

«Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ»

Студент Маньшина А.С.

Преподаватель Токмаков В.Н.

Екатеринбург 2014

• Задание
• Построение графика заданной функции
• Поиск корней уравнения методом половинного деления
• Определение минимума функции методом перебора
• Вычисление определенного интеграла на заданном отрезке с использованием метода правых прямоугольников
• Список использованной литературы
• Задание

Дана функция вида .

Используя численные методы, необходимо:

1) Построить график функции.

2) Определить корни данного уравнения методом половинного деления.

3) Определить минимальное значение функции и соответствующее значение аргумента.

4) Вычислить значение определенного интеграла методом правых прямоугольников.

Построение графика заданной функции

Построим график функции в программе Microsoft Excel ®. Для этого зададим в табличном виде значения аргумента на отрезке [-2; 4] и соответствующие им значения функции

Построим на основании полученных табличных данных график исследуемой функции.

Из полученного графика видно, что уравнение имеет 2 корня: один отрицательный со значением около -0,8, второй — положительный, со значением около 2,2. Минимальное значение функция принимает при .

Поиск корней уравнения методом половинного деления

Зададимся интервалом, на котором будем искать корень уравнения. Очевидно, что признаком наличия на данном интервале корня уравнения есть смена знака значения функции на границах отрезка, или. Требуется найти с заданной точностью eps корень этой функции. Выберем середину отрезка. Если в середине функция имеет тот же знак, что и слева, то примем середину отрезка за новую левую границу, в противном случае — за правую. Повторяем так до тех пор, пока отрезок не станет меньше eps.

Program Dihotomy;

UsesCRT;

ConstMaxStep=300;

Vara, b, c, eps: Real;

st:Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr (x)+2*exp (-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Нахождение корней функции методом половинного деления');

Repeat

Begin

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a, b);

If fx (a)*fx (b)>0 Then

Writeln ('На данном отрезке корней нет или их несколько. Попробуйте другие значения')

End

Until fx (a)*fx (b)<0;

Write ('Введите требуемую точность eps: ');

Readln (eps);

st:=0;

While (abs (b-a)>eps) and (st

Begin

st:=st+1;

c:=(a+b)/2;

If fx (a)*fx (c)<0

Then b:=c

Else a:=c;

End;

If st>MaxStep

Then Writeln ('Отсутствие сходимости. Уточните промежуток')

Else Writeln ('Корень уравнения = ', c:10:6);

END.

Входные данные a = 0, b =3, eps = 0.1

Выходные данные Корень уравнения = 2.185 197

Определение минимума функции методом перебора

Разобьем отрезок на отрезков длиной и вычислим значение функции на границах получившихся отрезков. Минимальное среди вычисленных значений и есть искомый минимум функции на данном отрезке.

Программный код на Turbo Pascal имеет вид

Program Perebor;

Uses CRT;

Vara, b, h, min, f, xm: Real;

n, i: Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr (x)+2*exp (-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Поиск минимума методом перебора');

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a, b);

Write ('Введите количество участков разбиения: ');

Readln (n);

h:=(b-a)/n;

xm:=a; min:=fx (a);

i:=1;

While i<=n Do

Begin

f:=fx (a+i*h);

If f

Then

Begin

xm:=a+i*h;

min:=f;

End;

i:=i+1

End;

Writeln ('Минимальное значение при x = ', xm:5:2,' равно = ', min:10:5);

Readln;

END.

Пример Входные данные

a = -1, b =3, n = 10 000

Выходные данные

Минимальное значение при x = 0.5672 равно = -3.54 406

Вычисление определенного интеграла на заданном отрезке с использованием метода правых прямоугольников

В случае если функция положительна на некотором отрезке, то значение определенного интеграла этой функции на данном отрезке численно равно площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции, а снизу — осью координат. Разбив отрезок на отрезков длиной, вычислим площадь фигуры как сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой, равной значению функции в правой границе прямоугольника.

функция интеграл половинный деление

Программа на языке программирования Turbo Pascal имеет вид:

Program RightSquares;

UsesCRT;

Vara, b, h, s: Real;

n, i: Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr (x)+2*exp (-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Вычисление интеграла методом правых прямоугольников');

Repeat

Begin

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a, b);

If fx (a)*fx (b)<0 Then

Writeln ('На данном отрезке вычислить интеграл данным методом невозможно')

End

Until fx (a)*fx (b)>0;

Write ('Введите количество участков разбиения: ');

Readln (n);

h:=(b-a)/n;

i:=1;

s:=0;

While i<=n Do

Begin

s:=s+h*fx (a+i*h);

i:=i+1

End;

Writeln ('Значение интеграла на отрезке [', a:5:2,',', b:5:2,'] = ', s:10:5);

Readln;

END.

Пример Входные данные

a = 2.4, b =4, n = 100

Выходные данные

Значение интеграла на отрезке [ 2.40, 4.00] = 8.95 097

1. Учимся программировать: Pascal 7.0, 2-е издание. А. И. Гусева, 1998

2. Основы программирования. И. Г. Семакин, А. П. Шестаков, 2001

3.

Введение

в язык ПАСКАЛЬ. В. Г. Абрамов, Н. П. Трифонов, Г. Н. Трифонова, 1998