Эконометрические модели

Контрольная работа Эконометрика вариант 7.

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ.

2. ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

3. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИХ ПАРАМЕТРОВ ЛИТЕРАТУРА.

1. Методологические основы эконометрики Эконометрика — это наука, изучающая количественные закономерности и связи в экономике методами математической статистики. Термин «эконометрика» («эконометрия») введен в научную литературу в 1930 году норвежским статистиком Рагнаром Фришем для обозначения нового направления научных исследований, возникшего из необходимости научно-обоснованного подтверждения и доказательства концепций и выводов экономической теории результатами количественного анализа рассматриваемых процессов.

Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических закономерностей. Задачи эконометрики — построение моделей, выражающих эти закономерности, оценка их параметров, проверка гипотез о закономерностях изменения и связях экономических показателей. Предмет исследования эконометрики — это массовые экономические процессы и явления. Предметы исследования эконометрики и статистики очень схожи, т.к. большинство эконометрических методов изучения социально-экономических закономерностей позаимствованы из статистики, однако в эконометрике применяются специально разработанные некоторые дополнения методов, не применяемые в статистике.

Эконометрика как наука является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики и представляет на современном этапе своего развития сочетание экономической теории, математики, математической и экономической статистики. Эконометрика с помощью статистических и математических методов анализирует экономические закономерности, доказанные экономической теорией. Помимо вышеназванных дисциплин, одним из основных факторов развития эконометрики является развитие компьютерных технологий и специализированных пакетов прикладных программ. Простейшие задачи эконометрики могут быть решены с помощью функций анализа данных в среде электронных таблиц (например, Microsoft Excel).

Задачи, решаемые с помощью эконометрики, можно классифицировать следующим образом:

— по конечным прикладным целям:

— задачи прогноза социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие изучаемой системы;

— задачи моделирования возможных вариантов социально-экономического развития системы для определения параметров, оказывающих наиболее сильное влияние на состояние системы в целом;

— по уровню иерархии:

— задачи макроуровня (страна в целом);

— задачи мезоуровня (уровень отраслей, регионов);

— задачи микроуровня (уровень организации, предприятия, фирмы, семьи);

— по области решения проблем изучаемой экономической системы:

— задачи изучения рынка;

— задачи изучения инвестиционной, социальной, финансовой политики;

— задачи изучения ценообразования;

— задачи изучения распределительных отношений;

— задачи изучения спроса и потребления;

— задачи изучения отдельно выделенного комплекса проблем.

Решение задач эконометрики осуществляется с использованием математических моделей, построенных на основе эмпирических данных.

Существует три основных класса эконометрических моделей:

1) модели временных рядов:

— модели временных рядов, в которых переменная зависит от времени: модель тренда, модель сезонности, модель тренда и сезонности;

— модели временных рядов, в которых результативная переменная зависит от переменных датированных другими моментами времени: модели с распределенным лагом, модели авторегрессии, модели ожидания.

Модели временных рядов могут быть построены на основе стационарных и нестационарных временных рядов. Для стационарного временного ряда характерны постоянные во времени средняя, дисперсия и автокорреляция.

2) регрессионные модели с одним уравнением. По количеству факторных переменных регрессионные модели делятся на модели парной (с одной переменной) и множественной регрессии. По виду функции регрессионные модели делятся на линейные и нелинейные;

3) системы одновременных уравнений. Системы состоят из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя как факторные переменные, так и результативные переменные из других уравнений системы. Отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны. Регрессионные уравнения, входящие в состав системы, называются поведенческими уравнениями. Значения параметров этих уравнений являются неизвестными и подлежат оцениванию. Примером системы одновременных уравнений служит модель спроса и предложения.

В эконометрическом моделировании наиболее распространенными являются следующие эконометрические модели: а) модели потребительского и сберегательного поведения; б) модели взаимосвязи риска и доходности ценных бумаг; в) модели предложения труда; г) макроэкономические модели; д) модели инвестиций.

В эконометрике применяются два основных типа выборочных данных: пространственные данные и временные данные.

Существуют определенные отличия временного ряда (или ряда динамики) от пространственной выборки: 1) элементы ряда динамики естественным образом упорядочены во времени в отличие от пространственных данных; 2) элементы ряда динамики не являются статистически независимыми в отличие от элементов случайной пространственной выборки, т. е. они подвержены зависимости между прошлыми и настоящими наблюдениями временного ряда (автокорреляции); 3) элементы ряда динамики не являются одинаково распределенными величинами.

Набор переменных — это совокупность экономической информации, характеризующей изучаемый процесс или объект. В эконометрической модели используются:

1) результативные (зависимые) переменные, которые в эконометрике называются объясняемыми переменными;

2) факторные (независимые) переменные, которые в эконометрике называются объясняющими переменными.

Среди переменных, характеризующих сущность изучаемых экономических явлений или процессов, включаемых в эконометрическую модель, выделяют: экзогенные (независимые) переменные, эндогенные (зависимые или взаимозависимые) переменные, лаговые (экзогенные или эндогенные) переменные, предопределенные (объясняющие) переменные.

Основная цель эконометрического моделирования — охарактеризовать значения одной или нескольких текущих эндогенных переменных в зависимости от значений предопределенных (объясняющих) переменных.

2. Проблемы построения эконометрических моделей.

Построение эконометрической модели является центральной проблемой любого эконометрического исследования, поскольку ее качество определяет достоверность и обоснованность результатов анализа тенденций развития, прогнозов рассматриваемых социально-экономических явлений и процессов, а также вытекающих из них выводов, в том числе и по вопросам разработки необходимых управленческих мероприятий. В эконометрических исследованиях обычно предполагается, что закономерности моделируемого процесса складываются под влиянием других явлений, факторов..

Обобщенная форма эконометрической модели, описывающей закономерности развития какого-либо социально-экономического процесса или явления, обозначенного переменной, в зависимости от уровней воздействующих на него внешних процессов или явлений, факторов, , можно представить следующим уравнением:

.

где — функция, выражающая вид и структуру взаимосвязей между уровнями переменных и в моменты времени, Т (или на интервалах);

— вектор значений независимых переменных (факторов) в момент времени ;

— вектор параметров модели; параметр выражает степень влияния фактора на переменную у на всем рассматриваемом интервале (1, Т); - постоянная модели;

— случайная ошибка модели в момент, в отношении свойств и характеристик которой обычно выдвигаются некоторые дополнительные предположения.

Основные этапы эконометрического моделирования:

1. Постановочный этап, на котором определяются конечные цели и задачи исследования, а также число включенных в модель факторных и результативных переменных.

2. Априорный этап, на котором осуществляется теоретический анализ сущности изучаемого процесса, а также формализуется априорная информация.

3. Этап параметризации, на котором происходит выбор общего вида модели, а также определяется состав и формы формирующих ее связей.

Задачи, решаемые на этапе параметризации:

1) задача выбора наиболее подходящего вида функциональной зависимости результативной переменной от факторных переменных. При возникновении ситуации выбора между линейной и нелинейной формами зависимости предпочтение всегда отдается линейной форме как более простой;

2) задача спецификации модели:

а) аппроксимация математической формой обнаруженных связей и соотношений между параметрами модели;

б) определение зависимых и независимых переменных;

в) выражение исходных предпосылок и ограничений модели.

4. Информационный этап, на котором собирается требуемая статистическая информация и осуществляется анализ качества собранных данных.

5. Этап идентификации модели, на котором реализуется статистический анализ модели и происходит оценивание ее параметров.

6. Этап оценки качества модели, на котором проверяются достоверность и адекватность модели. Созданная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. При неудовлетворительном качестве модели возвращаются ко второму этапу моделирования.

7. Этап интерпретации результатов моделирования.

Цели эконометрического исследования:

1) анализ изучаемого экономического процесса (явления, объекта);

2) прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс (явление, объект);

3) моделирование поведения процесса (явления, объекта) при различных значениях факторных переменных;

4) формирование управленческих решений.

Количество переменных, включенных в эконометрическую модель, не должно быть слишком большим и должно быть теоретически обоснованным. В модели должна отсутствовать функциональная или тесная корреляционная связь между факторными переменными, т.к. это может привести к явлению мультиколлинеарности.

При формировании исходной информации для эконометрической модели чрезвычайно важной проблемой является выбор показателей, адекватных сущности исследуемых явлений. Часто эконометрическая модель строится именно для выражения закономерности, существующей между явлениями. Следует обратить внимание на определенную подмену понятий, которая обычно происходит на первом этапе построения модели при переходе от содержательного анализа явлений к формированию отражающих их уровни количественных характеристик (показателей). В ходе содержательного анализа явление часто рассматривается на качественном уровне. Однако при построении модели используется исходная информация, наборы показателей, которые выражают эти явления, их свойства, тенденции в виде количественных характеристик.

Для традиционных направлений исследований проблема обоснования состава показателей обычно считается решенной. Например, в исследованиях производительности труда, макроэкономическом анализе обычно рассматриваются уже устоявшиеся наборы показателей, значения которых публикуются в статистических сборниках, научных отчетах и т. п. Их примером являются выработка на одного работающего как показатель, выражающий явление «производительность труда», объемы ВВП (показатель результативности экономики), объем основных фондов (показатель уровня материальной обеспеченности производственного процесса, экономики) и т. д. Вместе с тем в ряде областей эконометрических исследований такие системы показателей не могут быть сформированы столь однозначно. Часто одно и то же явление может быть выражено альтернативными вариантами показателей. В отсутствие объективных данных в эконометрических исследованиях допускается замена одного показателя другим, косвенно отражающим то же явление. Например, среднедушевой доход как показатель материального уровня жизни может быть заменен на среднегодовой товарооборот на одного жителя региона и т. п. Неправильный выбор показателя, представляющего рассматриваемое явление в модели, может существенно повлиять на ее качество, в связи с чем к проблеме обоснования состава показателей (переменных) эконометрической модели на практике следует относиться с предельным вниманием.

Рассматривая проблему выбора конкретного вида функции, следует отметить, что в практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными, наиболее часто используются: линейная, правая полулогарифмическая, степенная, гиперболическая, логарифмическая гиперболическая, обратная линейная (функция Торнквиста), функция с постоянной эластичностью замены, экспоненциальная функция. На практике могут встретиться и комбинации рассмотренных выше зависимостей, например, эконометрика моделирование линейный регрессия.

.

Большинство функций с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме. Например, если и связаны зависимостью, то введя переменные, получим выражение с точностью до преобразования исходных факторов.

В практических исследованиях часто, используя преобразование и, степенную модель преобразуют к линейному виду, связывающему логарифмы переменных и. Однако следует заметить, что в данном случае, с точки зрения математики, такое преобразование не совсем корректно из-за аддитивности ошибки в выражении, поэтому значения коэффициентов линейной (относительно логарифмов переменных) модели нельзя в общем случае полагать равными соответствующим значениям степенного аналога.

На примере линейной эконометрической модели можно представить еще одну форму моделей такого типа — моделей, в которых отсутствует свободный коэффициент :

.

Во многих практических исследованиях строгие теоретические концепции, предварительные допущения о содержательных сторонах взаимодействия между явлениями отступают на второй план. Для них главное — построение уравнения, достаточно точно выражающего взаимосвязи, адекватные тенденциям изменения переменных и на временном интервале (1,Т). Более того, часто именно удачная форма уравнения эконометрической модели кладется в основу разрабатываемой теоретической концепции, которая затем находит свое применение в последующем анализе. Очевидно, что наиболее «подходящая» форма обеспечивает наилучшее приближение теоретических (расчетных) частот значений к действительным значениям .

Обычно выбор формы зависимости осуществляется на основе графического анализа тенденций развития соответствующих процессов. Например, если переменная и переменная изменялись во времени согласно графикам, представленным на рис. 2.1, то логично предположить, что зависимость гиперболическая. Для графиков, представленных на рис. 2.2, характерна логарифмическая зависимость .

Оптимальный состав факторов, включаемых в эконометрическую модель, — одно из основных условий ее хорошего качества, понимаемого и как соответствие формы модели теоретической концепции, выражающей содержание взаимосвязей между рассматриваемыми переменными и как точность предсказания на рассматриваемом интервале времени (1, Т) наблюдаемых значений переменной уравнением. В общем случае на этапе обоснования эконометрической модели исследователи могут столкнуться с проблемой выбора наиболее предпочтительного состава независимых факторов среди ряда альтернативных вариантов.

Можно выделить два основных подхода к решению этой проблемы:

первый предполагает априорное (до построения модели) исследование характера и силы взаимосвязей между рассматриваемыми переменными, по результатам которого в модель включаются факторы, наиболее значимые по своему непосредственному влиянию на зависимую переменную. И, наоборот, из модели исключаются факторы, которые либо малозначимы, с точки зрения силы своего влияния на переменную, либо их сильное влияние на нее можно трактовать как индуцированное взаимосвязями с другими экзогенными переменными;

Рис. 2.1. Гиперболическая зависимость Рис. 2.2. Логарифмическая зависимость второй подход к отбору независимых факторов — можно назвать апостериорным — предполагает первоначально включить в модель все отобранные на основе содержательного анализа факторы. Уточнение их состава в этом случае производится на основе анализа характеристик качества построенной модели, одной из групп которых являются и показатели, выражающие силу влияния каждого фактора на зависимую переменную .

В основе «априорного» подхода лежат следующие предположения: 1) сильное влияние фактора на зависимую переменную должно подтверждаться и определенными количественными характеристиками, важнейшей из которых является их парный линейный коэффициент корреляции. Логика использования коэффициента парной корреляции при отборе значимых факторов на практике состоит в следующем. Если его значение достаточно велико (?0,5ч0,6), то можно говорить о наличии существенной линейной связи между переменными и или о достаточно сильном влиянии на. Чем больше абсолютное значение парного линейного коэффициента корреляции, тем сильнее это влияние (положительное или отрицательное, в зависимости от знака). Значение парного линейного коэффициента корреляции должно рассчитываться с учетом формы преобразования и в модели. Например, если, то и коэффициент корреляции определяется между и, и т. п.; 2) если два и более факторов выражают одно и то же явление, то, как правило, между ними также должна существовать достаточно сильная взаимосвязь. На это может указать значение парного линейного коэффициента корреляции. На практике взаимосвязь между факторами признается существенной, если. В таких ситуациях один из этих факторов целесообразно исключить из модели, чтобы одна и та же причина не учитывалась дважды. Следует отметить, что приведенные рубежные значения (в первом случае 0,5ч0,6, во втором 0,8ч0,9) достаточно условны. В каждом конкретном случае они устанавливаются индивидуально. При их выборе существенную роль играет интуиция исследователя.

Обычно считается: если для фактора, то при большом числе других достаточно значимых факторов, информацией, которую содержит в себе фактор относительно изменчивости переменной, можно пренебречь. Иногда же, наоборот, если состав факторов не слишком широк и фактор выражает существенное с точки зрения теории явление, то исследователь, стремясь не потерять информацию о закономерностях изменчивости переменной, может оставить его в модели и при меньшем значении выборочного парного линейного коэффициента корреляции (0,3 ч 0,4). При таком отборе, основанном на эмпирике и интуиции, обычно не принимается во внимание точность оценки выборочных коэффициентов корреляции, которая растет с увеличением выборки. При фиксированной численности выборки точность оценок всех коэффициентов примерно одинакова. Логика такого отбора в большей степени ориентирована на содержательную сторону проблемы учета взаимосвязей между переменными модели. Значительно усложняет проблему отбора факторов явление ложной корреляции, т. е. большие значения парных коэффициентов корреляции могут иметь место и в тех случаях, когда тенденции рассматриваемых процессов совпали случайно, при отсутствии между ними логически обоснованной взаимосвязи. Ложная корреляция может помешать при построении «правильной» модели по двум причинам. Во-первых, в модель случайно могут быть введены незначимые с содержательной точки зрения факторы, характеризующиеся значимыми величинами парного линейного коэффициента корреляции. Во-вторых, из модели могут быть исключены значимые с точки зрения влияния на факторы, в отношении которых ошибочно признана гипотеза о том, что они выражают то же явление, что и другой фактор (факторы), уже включенный в эту модель. Среди основных причин включения в модель переменных с ложной корреляцией часто называют ненадежность информации, используемой при определении значений факторов в различные моменты времени, трудности формализации факторов, имеющих качественный характер, неустойчивость тенденций изменения рассматриваемых переменных, неправильную форму взаимосвязи между ними и т. п.

Основной путь, придерживаясь которого можно избежать ошибок, связанных с понятием «ложной корреляции», связан с проведением качественного анализа проблемы, направленного на обоснование адекватного ей содержания и формы модели. При этом можно предложить и некоторые общие рекомендации, которых целесообразно придерживаться, следуя этим путем:

1) число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико. Их увеличение может свести к минимуму ее практическую ценность, так как в этом случае модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность;

2) простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто априорно трудноуловимы на ограниченном временном интервале, но в то же время они допускают аппроксимацию достаточно простыми функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные взаимосвязи между переменными в ущерб основным.

При апостериорном подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа значений ряда качественных характеристик уже построенного ее варианта. Одну из групп таких характеристик, наиболее важных при отборе факторов, образуют значения критерия Стьюдента, рассчитываемые для коэффициентов при каждом из факторов модели. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о значимости влияния фактора на зависимую переменную. Окончательное решение о целесообразности оставления фактора или его удаления из модели принимается на основе анализа всего комплекса характеристик.

Таким образом, для практики можно предложить следующую поэтапную процедуру построения окончательного варианта модели на основе апостериорного подхода: 1) в исходный вариант модели включаются все факторы, отобранные в ходе содержательного анализа проблемы. Для этого варианта рассчитываются значения оценок коэффициентов модели, их среднеквадратические ошибки и значения критериев Стьюдента; 2) из модели удаляют незначимый фактор, характеризующийся наименьшим наблюдаемым значением критерия Стьюдента (при условии, что наблюдаемое значение не больше табличного), и таким образом формируют новый вариант модели с уменьшенным на один числом факторов. Заметим, что в модели может быть несколько незначимых факторов. Однако все их одновременно удалять не следует. Возможно, что незначимость большинства из них обусловлена влиянием «наихудшего» из незначимых факторов, и на следующем шаге расчетов эти факторы окажутся значимыми; 3) процесс отбора факторов можно считать законченным, когда остающиеся в модели факторы являются значимыми, если полученный вариант модели удовлетворяет и другим критериям ее качества. Тогда процесс построения модели можно считать завершенным в целом. В противном случае целесообразно попытаться сформировать другой альтернативный вариант модели, отличающийся от предыдущего либо составом факторов, либо формой их взаимосвязи с зависимой переменной у.

Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. «Априорный» путь отбора факторов не обладает достаточной обоснованностью. Он в большей степени использует «прямые» количественные индикаторы «силы» взаимосвязей между рассматриваемыми величинами и не принимает во внимание в полной мере особенности комплексного влияния независимых факторов на переменную, т. е. своеобразные эффекты «эмерджентности» такого влияния. Вместе с тем использование априорного подхода часто позволяет уточнить некоторые предварительные альтернативные варианты наборов независимых факторов, проверить исходные предпосылки модели относительно правильности выбора формы взаимосвязей между ними.

«Апостериорный» подход к отбору факторов, на первый взгляд, предпочтительнее как раз из-за того, что целесообразность включения каждого из факторов в эконометрическую модель определяется на основании всего комплекса взаимосвязей между вошедшими в модель переменными. Однако, когда общее количество факторов достаточно велико, нет никаких гарантий, что множество несущественных, а то и ложных взаимосвязей между ними не будет превалировать над основными. В результате может оказаться, что в числе первых кандидатов на исключение будут «названы» наиболее важные, значимые с точки зрения влияния на переменную у, факторы. Поэтому в сложных случаях, т. е. при наличии большого числа отобранных для включения в модель на этапе содержательного анализа факторов, специалисты рекомендуют сочетать при формировании их «оптимального» состава оба подхода — «априорный» и «апостериорный».

Согласно этим рекомендациям с помощью методов «априорного» отбора, используя при этом и содержательный анализ, формируются альтернативные варианты включаемых в модель наборов факторов. Далее, с помощью методов «апостериорного» отбора, эти наборы уточняются, соответствующие им варианты моделей сопоставляются по ряду характеристик их качества. Предполагается, что лучший из вариантов модели содержит и «оптимальный» набор факторов. В результате процедура отбора факторов в эконометрическую модель превращается в перебор некоторого множества их приемлемых сочетаний, сформированных на базе «априорного» подхода. Перебирая различные варианты составов независимых факторов, рассматривая возможные виды их взаимосвязей с зависимой переменной, исследователь формирует и разные варианты (модификации) эконометрической модели для описания рассматриваемых процессов. В этом случае возникает проблема выбора «оптимального» или наиболее «рационального» среди них. Обычно эта проблема решается на основе аналитического сопоставления статистических характеристик качества построенных вариантов, рассчитываемых уже при известных значениях оценок их параметров.

В общем случае «качество» эконометрической модели оценивается по двум группам характеристик. В первую группу входят показатели, критерии, выражающие степень соответствия построенной модели основным закономерностям описываемого ею процесса. Во вторую — показатели и критерии, в большей степени оценивающие точность ее аппроксимации наблюдаемых значений. К критериям первой группы может быть отнесен критерий Стьюдента, используемый для оценки значимости влияния каждого фактора на зависимую переменную. Вторую группу критериев образуют широко используемые в статистике и эконометрике коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации и критерий Фишера-Снедекора.

3. эконометрические модели ПАРНОЙ линейной РЕГРЕССИИ И методы ОЦЕНки их параметров Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Построение модели парной регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между результативной и факторной переменными.

Основной моделью регрессии является модель парной, или однофакторной, линейной регрессии, которая применяется для характеристики процессов, равномерно развивающихся во времени.

Общий вид модели парной линейной регрессии зависимости переменной от переменной в генеральной совокупности:

.

где уi объясняемые (зависимые) результативные переменные, i = 1,2, …, n, случайные величины;

хi объясняющие (независимые), факторные переменные, неслучайные величины;

а0, а1 неизвестные параметры модели парной регрессии;

еi случайная ошибка регрессионной модели.

Наличие в модели случайного члена (ошибки регрессии) связано с воздействием на переменную других, не учтенных в модели, факторов, с возможной нелинейностью модели и с ошибками измерений.

На основе обработки данных выборочного наблюдения получают модель парной линейной регрессии:

.

где — расчетное значение переменной у.

Случайная ошибка модели парной линейной регрессии возникает на основе объективных условий:

1) нерепрезентативности выборки, при которой в парную регрессионную модель включается только один фактор, не способный полностью объяснить изменение результативной переменной;

2) ошибочного измерения переменных, участвующих в модели.

Параметр в модели парной регрессии — это среднее значение зависимой переменной при условии, что независимая переменная равна нулю (если значение имеет экономический смысл).

Параметр в модели парной регрессии — это коэффициент модели регрессии. Значение параметра характеризует на сколько в среднем изменится зависимая переменная при изменении факторной переменной на единицу своего измерения. Знак коэффициента в модели парной регрессии указывает на направление связи между изучаемыми переменными. Если, то связь между переменными прямая, то есть с увеличением переменной увеличивается и переменная, и наоборот. Если, то связь между переменными обратная, то есть с увеличением переменной переменная уменьшается, и наоборот.

Существуют определенные методы оценки неизвестных параметров и модели парной регрессии:

1. Метод наименьших квадратов (МНК), при котором рассчитывается сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной от теоретических значений (рассчитанных на основании функции регрессии). Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических значений была минимальной. С учетом этого параметры уравнения регрессии определяются следующим образом:

.

.

Достоинства МНК: сведение всех вычислительных процедур к простому вычислению неизвестных коэффициентов; доступность математических выводов.

Недостатки МНК: чувствительность оценок к резким выбросам, встречающимся в исходных данных.

Метод наименьших квадратов является наиболее распространенным методом оценки неизвестных параметров модели парной линейной регрессии.

2. Метод наименьших модулей (МНМ), при котором рассчитывается сумма модулей отклонений наблюдаемых значений результативной переменной от теоретических значений. Согласно этому методу неизвестные параметры и выбираются таким образом, чтобы сумма модулей отклонений эмпирических значений от теоретических значений была минимальной.

Достоинства МНМ: нечувствительность оценок к резким выбросам.

Недостатки МНМ: 1) сложность вычислительной процедуры; 2) возможность соответствия различным значениям оцениваемых коэффициентов, одинаковых сумм модулей отклонений.

Таким образом, метод наименьших квадратов существенно проще при проведении вычислительной процедуры и дает хорошие по статистическим свойствам оценки. Этим и объясняется его широкое применение в оценивании параметров эконометрических моделей.

Для того, чтобы регрессионный анализ, основанный на методе наименьших квадратов (МНК), давал наилучшие из всех возможных результаты, должны выполняться условия Гаусса-Маркова. Модель парной линейной регрессии, для которой выполняются условия Гаусса-Маркова, случайный член еi имеет нормальное распределение, его значения некоррелированы и независимы, называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Наряду с условиями Гаусса-Маркова обычно предполагается, что случайный член имеет нормальное распределение. При этом требование некоррелированности значений случайного члена эквивалентно их независимости.

Условия Гаусса-Маркова:

1. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю — М (еi)= 0.

2. Дисперсия случайного члена должна быть постоянной для всех наблюдений — D (еi)= 2, — теоретическое значение стандартной ошибки модели.

3. Случайные члены должны быть статистически независимы (некоррелированы) между собой.

4. Объясняющая переменная х должна быть неслучайной.

Первое условие Гаусса-Маркова означает, что случайный член не должен иметь систематического смещения. Если постоянный член включен в уравнение регрессии, то это условие выполняется автоматически.

Второе условие означает, что дисперсия случайного члена в каждом наблюдении имеет только одно значение. Но ее величина заранее неизвестна, и одна из задач регрессионного анализа состоит в ее оценке. Условие независимости дисперсии случайного члена от номера наблюдения называется гомоскедастичностью. Зависимость дисперсии случайного члена от номера наблюдения называется гетероскедастичностью. Если условие гомоскедастичности не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии будут неэффективными, хотя и несмещенными.

Третье условие указывает на некоррелированность случайных членов для разных наблюдений. Это условие часто нарушается, когда данные являются временными рядами. В случае, когда третье условие не выполняется, говорят об автокорреляции остатков. Если условие независимости случайных членов не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии, полученные по МНК, оказываются неэффективными, хотя и несмещенными.

Четвертое условие. Если условие о неслучайности объясняющей переменной не выполняется, то оценки коэффициентов регрессии оказываются смещенными и несостоятельными.

Теорема Гаусса-Маркова. Если условия Гаусса-Маркова выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, являются наилучшими оценками. Они обладают свойствами:

— несмещенности, это означает отсутствие систематической ошибки в положении линии регрессии;

— эффективности — имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок;

— состоятельности — при достаточно большом объеме данных оценки приближаются к истинным значениям.

Мерой отклонения зависимой переменной от значений, предсказываемых уравнением регрессии, служит остаточная дисперсия:

.

где S2 — остаточная дисперсия;

еi — остаток, т. е. разница между измеренными и рассчитанными с помощью уравнения регрессии значениями зависимой переменной;

n — число пар переменных в выборке;

i — порядковый номер пары переменных в выборке.

Дисперсия коэффициентов регрессии определяется следующим образом:

.

где и — дисперсии коэффициентов и уравнения регрессии;

— i-ое и среднее значения объясняющей переменной ;

— число пар переменных в выборке;

— порядковый номер пары переменных в выборке.

Величины и — стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Весьма важным этапом перед практическим использованием построенной модели регрессии является проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии. Значимость коэффициентов означает их значимое отличие от нуля.

Выдвинутые гипотезы проверяются с помощью t-критерия (t-статистики) Стьюдента. При этом наблюдаемое значение t-критерия сравнивают со значением t-критерия, определенным по таблице распределения Стьюдента, или с критическим значением .

Критическое значением t-критерия (; n-k) зависит от уровня значимости и числа степеней свободы. Уровень значимости определяется как, где величина — доверительная вероятность попадания оцениваемого параметра в доверительный интервал. Доверительную вероятность необходимо брать близкую к единице (0,99; 0,95). Число степеней свободы определяется как разность между объемом выборки (n) и числом оцениваемых параметров по данной выборке (k). Для модели парной линейной регрессии число степеней свободы равно (), т.к. по выборке оцениваются только 2 параметра (и).

Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы о незначимости коэффициентов модели регрессии:

.

где — оценка коэффициента модели регрессии ,.

— величина стандартной ошибки коэффициента модели регрессии .

Если модуль наблюдаемого значения t-критерия больше критического значения t-критерия, то с вероятностью () основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии отвергается (коэффициенты модели регрессии значимо отличаются от нуля).

Если модуль наблюдаемого значения t-критерия меньше или равен критическому значению t-критерия, то с вероятностью основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии принимается (коэффициенты модели регрессии почти не отличаются от нуля или равны нулю).

Проверить значимость уравнения регрессии — значит, установить, соответствует ли полученная модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. Для этого определяют F — критерий Фишера-Снедекора. В случае парной линейной регрессии уравнение значимо на уровне б, если.

.

где ,.

— число степеней свободы.

— табличное значение — критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости б при и степенях свободы (при парной линейной регрессии).

Если, наблюдаемое значение F-критерия больше критического значения данного критерия, определенного по таблице распределения Фишера, то с вероятностью основная гипотеза о незначимости парного коэффициента детерминации или коэффициента модели регрессии отвергается, и модель парной регрессии значимо отличается от нуля.

Если, наблюдаемое значение F-критерия меньше критического значения данного критерия, то с вероятностью основная гипотеза о незначимости парного коэффициента детерминации или коэффициента модели регрессии принимается, и полученная модель парной регрессии является незначимой.

Показателями тесноты связи между результативным и факторным признаками эконометрической модели, характеризующими ее качество, т. е. степень соответствия построенной модели исходным данным, являются:

1) парный линейный коэффициент корреляции, оценивающий качество линейной модели парной регрессии и тесноту связи, определяемый по формуле:

.

Парный линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах. Если, то связь между переменными — прямая, если, то связь между переменными обратная. Если, то связь между переменными отсутствует, если, регрессионный анализ между изучаемыми переменными не проводится, т.к. зависимость между ними носит функциональный характер;

2) коэффициент детерминации (), являющийся одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой эконометрической модели. Его величина показывает, какая часть (доля вариации) зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной., чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии и между переменными и существует линейная функциональная зависимость. Если, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции: .

1.Айвазян С. А., Иванова С. С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С. А. Айвазян, С. С. Иванова. — М.: Маркет ДС, 2007. — 104 с.

2.Бородич С. А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. — Мн.: БГУ, 2000. — 354 с.

3.Бывшев В. А. Эконометрика: учеб. пособие / В. А. Бывшев. — М.: Финансы и статистика, 2008. — 480 с.

4.Доугерти Кристофер.

Введение

в эконометрику: Учебник для экон. спец. вузов / Пер. с англ. Е. Н. Лукаш и др. — М.: ИНФРА-М, 1997. — 402 с.

5.Дубров А. М., Мхитарян В. С., Трошин Л. И. Многомерные статистические методы: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 352 с.

6.Дуброва Т. А. Прогнозирование социально-экономических процессов. Статистические методы и модели: учеб. пособие / Т. А. Дуброва. — М.: Маркет ДС, 2007. — 192 с.

7.Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. -3-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело, 2000. 400 с.

8.Методы математической статистики в обработке экономической информации: учеб. пособие / Т. Т. Цымбаленко, А. Н. Баудаков, О. С. Цымбаленко и др.; под ред. проф. Т. Т. Цымбаленко. — М.: Финансы и статистика; Ставрополь: АРГУС, 2007. — 200 с.

9.Палий И. А. Прикладная статистика: Учебное пособие. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2008. — 224 с.