Сезонные временные ряды
После анализа данной автокорреляционной функции, заметно, что значения автокорреляции в начале значительно отличны от нуля, а потом постепенно приближаются к нулю. Каждые 12 лагов достигается максимальные показатели корреляции, что доказывает наличие сезонности, так как начиная сначала АКФ, заметно падение и рост. Так как первый и второй, а также двенадцатые лаги выходят из доверительного… Читать ещё >
Сезонные временные ряды (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
- Постановка задачи. Данные. Цель задачи
- Описательные статистики. (Определения, формулы, значения)
- Доверительные интервалы для среднего, медианы, стандартного отклонения с заданным уровнем доверия (формулы, значения). Выводы (в терминах задачи)
- Вывод по модели
Постановка задачи. Данные. Цель задачи
В таблице представлены ежемесячные данные по количеству туристов, приехавшие в Италию. Данные представлены ежемесячно за период с 1 января 2003 года по 1 января 2007 года.
Месяцы | Туристы | Месяцы | Туристы | Месяцы | Туристы | |
31.01.2003 | 90,4 | 30.09.2004 | 80,9 | 31.05.2006 | 92,2 | |
28.02.2003 | 95,5 | 31.10.2004 | 83,8 | 30.06.2006 | 78,9 | |
31.03.2003 | 87,3 | 30.11.2004 | 94,2 | 31.07.2006 | 93,6 | |
30.04.2003 | 80,3 | 31.12.2004 | 97,5 | 31.08.2006 | 107,6 | |
31.05.2003 | 55,8 | 31.01.2005 | 110,6 | 30.09.2006 | 98,5 | |
30.06.2003 | 46,6 | 28.02.2005 | 106,1 | 31.10.2006 | 98,8 | |
31.07.2003 | 63,4 | 31.03.2005 | 108,5 | 30.11.2006 | 108,1 | |
31.08.2003 | 84,6 | 30.04.2005 | 102,8 | 31.12.2006 | 118,5 | |
30.09.2003 | 72,1 | 31.05.2005 | 80,1 | 31.01.2007 | 128,2 | |
31.10.2003 | 76,4 | 30.06.2005 | 68,2 | 28.02.2007 | 118,9 | |
30.11.2003 | 87,3 | 31.07.2005 | 83,6 | 31.03.2007 | 126,5 | |
31.12.2003 | 31.08.2005 | 99,9 | 30.04.2007 | 121,6 | ||
31.01.2004 | 100,5 | 30.09.2005 | 89,7 | 31.05.2007 | 99,7 | |
29.02.2004 | 100,8 | 31.10.2005 | 91,3 | 30.06.2007 | 86,4 | |
31.03.2004 | 97,9 | 30.11.2005 | 101,2 | 31.07.2007 | 101,1 | |
30.04.2004 | 91,5 | 31.12.2005 | 31.08.2007 | 115,1 | ||
31.05.2004 | 31.01.2006 | 120,7 | 30.09.2007 | |||
30.06.2004 | 57,4 | 28.02.2006 | 111,4 | 31.10.2007 | 106,2 | |
31.07.2004 | 73,5 | 31.03.2006 | 119,1 | 30.11.2007 | 115,6 | |
31.08.2004 | 92,3 | 30.04.2006 | 114,1 | 31.12.2007 | 125,9 | |
Цель задачи.
Проанализировать количество туристов, которые посещают Италию ежемесячно. Также, сделать предварительные прогнозы на 3−6 месяцев и создать модель для будущих прогнозов.
Описательные статистики. (Определения, формулы, значения)
Среднее арифметическое выборки (mean) — это сумма всех данных, деленная на количество данных.
Стандартная ошибка среднего (SE mean) характеризует колебания среднего значения. Величина — оценка теоретической дисперсии х:
Для выборки из n наблюдений выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке:
Среднее квадратичное отклонение (StDev) характеризует степень разброса данных вокруг центра.
Медиана — это точка, вокруг которой располагается одинаковое количество элементов выборки.
За указанный период среднее значение туристов было равно 95,46 тысяч человек в месяц; стандартная ошибка среднего равна 2,37; среднее квадратичное отклонение равно 18,34; дисперсия равна 336,17; медиана равна 97,70; разница между минимальным и максимальным значением равна 81,60.
Доверительные интервалы для среднего, медианы, стандартного отклонения с заданным уровнем доверия (формулы, значения). Выводы (в терминах задачи)
Доверительным интервалом называют интервал который показывает неизвестный параметр с заданной надежностью г.
Доверительный интервал медианы, среднего, стандартного отклонения с 95% уровнем доверия приводится для количества туристов, и, опираясь на график, мы можем сделать следующие выводы: среднее число посещающих страну с 95% уверенностью колеблется в пределах от 90,725 до 100, 198; медиана с 95% уверенностью будет находиться в пределах от 91,238 до 101,107; стандартное отклонение с 95% гарантией будет лежать в пределах от 15,541 до 22,363.
1. График. Предварительные выводы по ОС и графику.
По данному графику видно, что для количества туристов в Италии имеется тренд, наблюдается общая тенденция к возрастанию посещающих достопримечательности, находящиеся в стране. Также по данному графику можно говорить о сезонности с периодом в 1 год: максимум достигается в феврале месяце, а минимум в июле месяце каждого года, что конечно странно для туризма. Но по собранным данным, понятно, что в феврале в Италии проходит более 5 карнавалов ежегодно. Возможно, этим и объясняется рост туристов на данный период.
2. Автокорреляционная функция. (Определение, формула, график, заключение).
Автокорреляция — корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса X (t) в моменты времени t1 и t2. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной функцией.
По анализу автокорреляционной функции можно сказать, что есть сезонность. Временной ряд не стационарен.
После анализа данной автокорреляционной функции, заметно, что значения автокорреляции в начале значительно отличны от нуля, а потом постепенно приближаются к нулю. Каждые 12 лагов достигается максимальные показатели корреляции, что доказывает наличие сезонности, так как начиная сначала АКФ, заметно падение и рост. Так как первый и второй, а также двенадцатые лаги выходят из доверительного интервала, и значительно отличны от нуля, значит для этой модели необходимо построить модель авторегрессии и модель ARIMA.
3. Анализ линейной модели:
· Название модели. Уравнение тренда. Значение R2.
· Сезонная компонента (значение и график). (Если есть сезонность во ВР)
· Значение MAD, MSE, MAPE, MPE
· График тренда
· Выбор типа тренда по R2 после работы с параболической моделью.
Additive Model
Уравнение тренда: Yt = 72,7958 + 0,743 143*t
R2= 0,979 136
сезонный временной ряд
Decomposition - Component Analysis for Туриcты
Линейно мультипликативная модель
Multiplicative Model
Data Туриcты Уравнение тренда: Yt = 72,2651 + 0,760 331*t
R2= 0,961 811
Time Series Decomposition Plot for Туриcты
4. Анализ параболической модели:
· Название модели. Значение R2.
· Сезонная компонента (значение и график). (Если есть сезонность во ВР)
· Значение MAD, MSE, MAPE, MPE
· График тренда
· Выбор типа тренда по R2
Аддитивная параболическая модель.
Trend Analysis for Туриcты
Уравнение тренда:
Yt = 73,9564 + 0,734 098*t — 0,719 185*t**2
Time Series Decomposition for RESI2
R2=0,977 121
Time Series Decomposition Plot for RESI2
Decomposition - Component Analysis for RESI2
Мультипликативная параболическая модель
Data Туриcты. Уравнение тренда:
Yt = 73,9564 + 0,734 098*t — 0,719 185*t**2
От полученных FITS5, рассчитываем S*E используя наши FITS5 и показатели Туристы.
X (t) =T (t) *S (t) *E (t) => X (t) /T (t) =S (t) *E (t)
Time Series Decomposition for S*E
Multiplicative Model
Использую полученные FITS6 (S*E) и само S*E, подсчитаем конечные остатки-E ®.
По этим остаткам находим коэффициент детерминации.
S*E | FITS6_se | RESI6_se | E ® | |
1,21 034 | 1, 19 186 | 0,18 476 | 1,0155 | |
1,26 621 | 1,11 283 | 0,153 388 | 1,13 784 | |
1,14 639 | 1,15 489 | — 0,0085 | 0,99 264 | |
1,4 447 | 1,0878 | — 0,4 333 | 0,96 016 | |
. | … | … | … | |
R2= 0,996 968
Вывод. После построения нескольких моделей, выявлено то, что модель ПМ является наиболее лучшей с коэффициентом детерминации — 0,996 968.
Модель:
Yt = (73,9564 + 0,734 098*t — 0,719 185*t2) *S*E ®
где Сезонность:
…
5. Анализ остатков. АКФ остатков.
У нас в Автокорреляционной функции столбцы выходит за пределы красной линии, что означает остатки не являются Белым Шумом. Поэтому проводим Авторег. остатков через ARIMA.
Autocorrelation Function: E (r)
Авторегрессия для E (r)
Первого порядка.
ARIMA Model: E ®
Относительное изменение в каждой из лагов не превышает 0,0010.
В графике видно, в 12 лаге есть некое отклонение и возможно существуют факторы, которые повлияли на исходные изменения.
E (t) =0,489 377+0,5109*E (t-1) +W (t)
6. Общее уравнение модели тренда. Прогноз на 3 шага вперед.
Финальная модель:
X (t) = (73,9564 + 0,734 098*t - 0,719 185*t2) *S (t) * (0,489 377+0,5109*E (t-1) +W (t))
Прогноз на 3 месяца:
По модели
Вывод по модели
Как уже говорилось, модель имеет тенденцию к снижению и сезонность, которая характеризуется перепадами и прыжками, каждые полгода. После анализа графика также стало ясно о наличии цикличности в рассматриваемый период. AKФ показала, что зависимость следующих показателей сильно зависит от предыдущих.
При проведенных анализах в 6 и 7 пунктах, выявлена наилучшая модель в виде ПМ. При выборе учитывался Коэффициент детерминации ПМ с 0,9969 в отличии от других. В дальнейшем мы выбрали ПМ в качестве основы финальной модели.
После проведения авторегрессии 1 порядка достигнут результат с наилучшим прогнозом. Составлена финальная модель.