Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство образования и науки Российской федерации Филиал ГОУ ВПО БГУЭП «Байкальский государственный университет экономики и права» в г. Усть-Илимске Контрольная работа по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант 7

Выполнил студент гр._______

Семенова Е.С.

Усть-Илимск

Задача 1

Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 регионах, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона?

Решение. Введем следующие событие А={компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона}, тогда событие, что компания получит ответ хотя бы из одного региона ему противоположное. Вероятность противоположного события равна и составляет 0,75.

Ответ: 0,75

Задача 2

В лотерее разыгрывается автомобиль стоимостью 5000 д.е., 4 телевизора стоимостью 250 д.е., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 д.е. Всего продается 1000 билетов по 7 д.е. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Найти дисперсию этой случайной величины.

Решение. Пусть дискретная случайная величина Х соответствует чистому выигрышу лотереи. Значения, которые может принимать данная величина:

Количество выигрышных билетов составляет 1 + 4 + 5 = 10 шт. Тогда проигрышных билетов 1000 — 10 = 990 шт.

Определим вероятности событий лотереи:

Р (Х = -7) = 990/1000 = 0,99

Р (Х = 4993) = 1/1000 = 0,001

Р (Х = 243) = 4/1000 = 0,004

Р (Х = 193) = 5/1000 = 0,005

Составим ряд распределения:

Математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле, то есть вся полученная выручка от продажи билетов идет на приобретение призов.

Для определения дисперсии воспользуемся формулой. Для дискретной случайной величины имеем

Ответ: 25 401

Задача 3

Случайная величина Х распределена по закону с плотностью, зависящей от постоянного параметра С:

.

Найти: 1) значение постоянной С; 2) функцию распределения; 3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; 4) вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (0, 2); 5) построить графики функций, .

Решение. 1) Для определения постоянной С воспользуемся основным свойством функции плотности вероятности (пределы интегрирования соответствуют спектру случайной величины или ее возможным значениям). В нашем случае имеем

= откуда

2) Используя формулу найдем функцию распределения

Если то

Для

Если то

Таким образом,

3) Математическое ожидание и дисперсию величины Х найдем по формулам (пределы интегрирования также соответствуют спектру случайной величины Х). В нашем случае

4) Вероятность реализации значений случайной величины Х в интервале можно определить по формуле. С использованием функции распределения имеем

5) Графики функций и изображены на рис. 1 и рис. 2.

Задача 4

Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года на протяжении 20% рабочих дней цена была ниже 20. В 75% случаев цена была выше 25. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены.

Решение. Случайная величина Х — цена некой ценной бумаги распределена по нормальному закону. Для решения задачи используем формулу

где , — функция Лапласа.

По условию задачи:

Р (Х<20) = 0.2

Р (Х>25) = 0.75

Вероятность

Вероятность

Ответ: МХ=45,

Задача 5

Имеются следующие данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий (млн. руб.): 9,4; 8; 6,3; 10; 15; 8,2; 7,3; 9,2; 5,8; 8,7; 5,2; 13,2; 8,1; 7,5; 11,8; 14,6; 8,5; 7,8; 10,5; 6; 5,1; 6,8; 8,3; 7,7; 7,9; 9; 10,1; 8; 12; 14; 8,2; 9,8; 13,5; 12,4; 5,5; 7,9; 9,2; 10,8; 12,1; 12,4; 12,9; 12,6; 6,7; 9,7; 8,3; 10,8; 15; 7; 13; 9,5.

Задание:

1. По данным выборки построить точечный вариационный ряд, распределив значения по частотам (ряд 1).

2. От ряда 1 перейти к интервальному ряду (ряд 2).

3. От ряда 2 перейти к точечному ряду, распределив значения по частотам (ряд 3) и относительным частотам в виде доли и в виде процента (ряд 4).

4. Построить: а) гистограмму относительных частот для ряда 2; б) полигон частот для ряда 3; в) кумулятивную кривую для ряда 3.

5. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х, используя ряд 3, и построить ее график.

6.Определить выборочное среднее, выборочную дисперсию D_В, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации V, моду и медиану по точечному ряду 1 и интервальному ряду 2.

7. Указать несмещенные оценки неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии случайной величины Х — производительности труда.

8. В предположении, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии (принять).

Решение.

1. Для того чтобы построить точечный вариационный ряд, расположим наблюдаемые значения в порядке их возрастания и относительно каждого укажем частоту, т. е. количество повторений в выборке; при этом сумма всех частот равна объему выборки n.

Ряд 1:

Объем выборки, а число различных значений r =42.

2. Так как объем выборки велик и число различных значений исследуемого случайного признака также велико, то перейдем от точечного ряда 1 к интервальному. Наименьшее значение в выборке и наибольшее Обследуемый диапазон [5,1;15,0] разбиваем на число интервалов k, где ?7.Определяем величину шага группирования h:

Ряд 2:

3. Перейдем от интервального ряда 2 к точечному. Для этого вычислим середины интервалов и сопоставим им частоты или относительные частоты. Распределение по частотам запишем в виде ряда 3, а распределение по относительным частотам в виде ряда 4:

Ряд 3:

Ряд 4:

4. Гистограмма относительных частот изображена на рисунке 3.

Рисунок 3 — Гистограмма относительных частот Полигон частот показан на рисунке 4.

Рисунок 4 — Полигон частот Для построения кумуляты представим ряд 3 по накопленным частотам

Тогда кумулятой будет плавная кривая, изображенная на рисунке 5.

Рисунок 5 — Кумулятивная кривая

5. Эмпирическая функция распределения для ряда 3 запишется в виде:

График изображен на рисунке 6.

Рисунок 6 — Функция распределения

6. Для упрощения вычислений расчет характеристик выборки произведем по ряду 3.

Найдем выборочное среднее Выборочную дисперсию определим по формуле:

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение =3,05;

Коэффициент вариации .

Определим моду и медиану. Мода исследуемой случайной величины Х есть такое ее возможное значение, которое наиболее часто встречается в ряду наблюдений. В случае интервального ряда 2 вначале определим интервал, содержащий моду, как наибольшей по частоте или относительной частоте. Вычислим моду по формуле:

Для данной выборки интервал, содержащий моду — [7,9−9,3] (ему соответствует наибольшая частота, равная 12).

Здесь = 7,9; h = 1,4; = 12, = 9, = 7,

тогда

Медиана определяется как средний (серединный) член в упорядоченной последовательности значений случайной величины.

п = 50, поэтому в качестве медианы возьмем любое значение между 25-м и 26-м членами ряда 1: = 9,0.

В случае интервального ряда вначале определим интервал, содержащий медиану, по накопленным частотам: медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема выборки. Затем медиану определим по формуле

.

Медианному интервалу заданного эмпирического распределения в виде ряда 2 соответствует накопленная частота 71, отсюда =7,9; h=1,4; = 15; =12. Используя формулу, получим

=

Таким образом, средняя стоимость основных фондов изученных предприятий составила (тыс. руб.), абсолютный разброс значений показателя Х равен =3,05 (тыс. руб.), относительный разброс. Наибольшее число предприятий имеют стоимость основных фондов, равную 8,425 (тыс. руб.), а половина — более 9,07 (тыс. руб.)

Построенные вариационные ряды 1−3, их графические изображения (рис. 3−6) представляют данные в компактном виде. Кроме этого имеется возможность получить сведения о законе распределения вероятностей исследуемой случайной величины. Здесь внешний контур гистограммы (рис. 3), графики кумулятивной кривой (рис. 5) и эмпирической функции распределения (рис. 6) свидетельствуют о близости эмпирического распределения к нормальному закону. К этому же выводу можно прийти, сравнивая значения выборочного среднего, моды, медианы. Так как, и незначительно отличаются друг от друга (9,00), есть основание предполагать, что теоретическое распределение симметрично относительно своего среднего значения, что является еще одним доводом в пользу выбора модели нормального закона.

7. Если считать, что случайная величина Х — стоимость основных фондов — нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией, то несмещенными оценками этих параметров, найденными по выборке объема, будут и. В нашем случае (тыс. руб.),, (тыс. руб.).

8. Интервальные оценки для неизвестных параметров или доверительные интервалы, покрывающие истинные (неизвестные) значения параметров с заданной доверительной вероятностью (надежностью), найдем по формулам где находится из таблицы квантилей распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном, и уровне; - квантили распределения .

Для и имеем и Следовательно,

То есть мы на 95% уверены в том, что средняя стоимость основных фондов для предприятий данной отрасли будет от 8,9 до 9,8 (т.руб.).

Для неизвестной дисперсии можно записать

Задача 6

Страховая компания изучает вероятность ДТП для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в ДТП и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, попали в ДТП в прошлом году ()?

Решение. Предположим, что случайная величина Х — количество подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, которые попали в ДТП в прошлом году — биноминально распределена с параметрами

N=2000,

p=15/2000 = 0.0075

X~B(N,p).

Следуя общей схеме проверки гипотез, имеем:

1 этап — формулировка гипотезы:

H₀ : p < 0.01, H₁ : p ? 0.01

Необходимо проверить основную гипотезу Н₀ — вероятность, того что подростки-мотоциклисты, имеющие страховые полисы, попавшие в ДТП в прошлом году, не превосходит 0,01 (1%). Конкурирующая гипотеза определяется как обратное условие.

2 этап — выбор уровня значимости, который равен вероятности отвергнуть Н₀, при условии, что она верна (ошибка первого рода).

б=0,05.

Р (U > u_кр) = 0,05

3 этап — выбор критерия. Статистика критерия

является случайной величиной, распределенной по стандартному биноминальному закону.

4 этап — выбор критической точки. Так как критическая область или область отклонения гипотезы Н₀ определяется неравенством U > u_кр, то есть является правосторонней. Тогда u_кр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия:

Ф (u_кр) = 0,45 u_кр = 1,65

5 этап — расчет наблюдаемого или экспериментального значения критерия. В статистику критерия подставляем данные выборки

Так как, то гипотеза принимается, т. е. следует считать, что количество подростков-мотоциклистов, попавших в ДТП меньше 1% из всех имеющих страховые полисы.

Задача 7

При уровне установить значимость влияния фактора по следующим данным

Дать экономическую интерпретацию фактору, его уровнем, а также результату .

Решение.

SS_общ ,

SS_А =

SS_R)² = SS_общ SS_А.

;

;

;

.

статистическая математическая задача дисперсия Проверка значимости влияния фактора, А соответствует проверке основной гипотезы: , где б_i — средний эффектго уровня фактора А,, 4 т. е. гипотеза состоит в том, что все уровни фактора, исследуемые в эксперименте, не оказывают существенного влияния. Проверку этой гипотезы осуществляем на 5% уровне значимости. Расчеты сведем в таблицу дисперсионного анализа:

Однофакторный дисперсионный анализ

Так как (3<3,49), гипотезу на уровне значимости 0,05 следует принять, т. е. отклонить значимость фактор А.