Решение краевых задач. 
Метод функции Грина

Введение

Решение первой краевой задачи уравнения Пуассона. Функция Грина Краевые задачи для уравнения Лапласа Постановка краевых задач Метод функций Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай) Метод функций Грина для задачи Дирихле (двумерный случай) Решение задачи Неймана (вторая краевая задача для уравнения Лапласа) с помощью функции Грина Реализация на ЭВМ Заключение Список литературы

краевая задача функция грин Работа посвещена решению краевых задач Пуассона, Дирихле, первой и второй задачи Лапласа методом функций Грина. Эти задачи играют важную роль в приложениях. Уравнению Лапласа, например, должно удовлетворять всякое стационарное распределение темпереатуры в теле. Действительно, если температура не зависит от t, то и уравнение теплопроводности сводится к уравнению Лапласа. Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представления функции u как температуры удобно и наглядно.

1. Решение первой краевой задачи уравнения Пуассона. Функция Грина

Пусть u удовлетворяет уравнению Пуассона в замкнутой области D. Согласно фундаментальной формуле

(1)

Пусть — гармоническая функция в области D, тогда

(2)

Складывая (1) и (2), получаем :

где

.

Если удастся определить v так, чтобы на поверхности удовлетворялось равенство, то G на поверхности будет равно нулю, и так как u на поверхности задана, то получим явную форму решения первой краевой задачи:

.

Функция G называется функцией Грина или функцией источника. Она удовлетворяет следующим условиям :

1) Функция G удовлетворяет уравнени Лапласа в области D всюду, кроме точки, где она имеет особенность вида .

На границе области .

Эти два условия определяют функцию.

Функция Грина симметрична относительно точек и :

.

Построение функции Грина сводится к решению первой краевой задачи для функции v, принимающей на границе области значение; таким образом, решив для функции v первую краевую задачу с условиями специального вида, можно находить решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона с любыми граничными условиями.

2. Краевые задачи для уравнения Лапаласа

2.1 Постановка краевых задач

Уравнением Лапласа называется уравнение

(3)

где — лапласиан, имеющий в декартовых цилиндрических и сферических координатах соотвественно следующий вид

(4)

(5)

(6)

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение темпереатуры в теле. Действительно, если температура не зависит от t, то и уравнение теплопроводности сводится к уравнению Лапласа (3). Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представления функции u как температуры удобно и наглядно.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапаласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Таким образом, возникает следующая краевая задача: в области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью Г, ищется гармоническая функция, удовлетворяющая на границе Г краевому условию где и — функции, заданные на границе, n — направление внешней нормали к Г.

Наиболее важным является частный случай H=0 этой краевой задачи, т. е. заданию температуры границы тела:. Эта краевая задача называется задачей Дирихле.

Задача Дирихле в пространстве фомулируется так :

Найти функцию, удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности Г уравнению Лапласа и принимающую на границе Г заданные значения :

(7)

То, что задача Дирихле всегда имеет решение можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре, то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным.

Задача Дирихле может быть поставлена и в двух измерениях. Если u зависит только от двух пространственных координат, например x и y (или только от и в полярной системе координат), то уравнение Лапласа (4) или (5) принимает более простой вид :

(8)

или

(9)

Задача дирихле на плоскости формируется так :

Найти функцию u (x, y), удовлетворяющую внутри замкнутой кривой Г уравнению Лапаласа и принимающую на границе Г заданные значения:

(10)

Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов. Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости xOy с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки Г поддерживается при определенной температуре. Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура u будет функцией только x и y.

Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения темпертуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси z, направляющая Г лежит в плоскости xOy, а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре. Здесь u тоже остается постоянной на любой прямой, параллельной оси z, роходящей в цилиндре, так что .

Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соотвествующей системе координат неизвемтная функция и зависит только от одной из координат.

В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функции. Задача Дирихле имеет в этом случае решение, где .

В случае задач с осевой симметрией запишем уравнение Лапласа в цилидрических координатах (5), считая, что u не зависит от и z :

Отсюда и, где A и B — произвольные постоянные. Задача Дирихле имеет решение :

.

Эта формула дает решение задачи о стационарном распределении тепла в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью при условии, что на поверхности цилиндров поддерживается постоянная температура. Заметим, что полученное решение теряет смысл при r=0.

Наконец, если гармоническая функция зависит только от расстояния точки до начала координат, то, воспользовавшись сферическими координатами (6), получим уравнение

откуда, и. Поставим задачу Дирихле, найдем стационарное распределение температуры в сферическом слое :

.

Здесь при r=0 решение также не имеет смысла.

Трехмерные м двумерные задачи Дирихле могут быть точно решены только для сравнительно простых областей. Мы сейчас изложим основы общего метода решения задачи Дирихле методом функции Грина.

2.2 Метод функций Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай)

Метод функции Грина базируется на формуле Грина, являющейся следствием формулы Остроградского — Гаусса

(11)

где S — граница области V, — единичный вектор внешней нормали к S, — проекция вектора A на направление n.

Пусть и — две любые дважды дифференцируемые функции и

.

Тогда

.

Поскольку скалярное произведение градиента функции на единичный вектор равно производной функции по направлению этого вектора, то Поэтому выражение для примет вид

.

Перейдем теперь к вычислению divA :

.

Преобразуем каждое из выражений в правой части :

и аналогично

.

Поэтому

.

Подставляя выражения для и через u и v в формулу (11), получим формулу Грина

(12)

Нам понадобится, однако, обощение этой формулы на тот случай, когда область ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область W ограничена снаружи замкнутой поверхностью S, а изнутри замкнутой поверхностью, лежащей целиком внутри S (так что W — это часть внутренности S, внешеняя относительно). Тогда формула Остроградского-Гаусса (11) запишется в виде где — единичный вектор внешней нормали к, т. е. вектор, напавленный внутрь (внутренность не пренадлежит W и поэтому является областью, внешней относительно W). Соответственно формула Грина (12) примет вид

. (13)

Эта формула и служит основой метода функции Грина решения задачи Дирихле в пространстве.

Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного случая. В качестве S возьмем границу Г области, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку, которую окружим сферой радуса с центром в A. При этом мы предположим, что сфера целиком лежит внутри Г. Тогда между и Г мы имеем область W. Обозначим, далее, через P (x, y, z) любую точку области, отличную от A, и через — расстояние между точками A и P.

.

Легко проверить, что функция является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа, во всех точках, кроме самой точки A, в которой она обращается в бесконечность Действительно,

;

аналогично

и

.

Еще проще в этом можно убедиться, если рассмотреть лапласиан в сферической системе координат с началом в точке A; тогда и, так как и не зависит от и .

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области с краевым условием

. (14)

Согласно определению функции — гармоническая уже во всей области, в то время как — гармоническая только в области W, получающейся удалением из области сферы, содержащей точку A (таким образом, область W не содержит точки A). Поясним это простым примером. Пусть — шар радиуса 1 с центром в начале координат, Г — его граница и точка A совпадает с началом координат. Тогда и. В то же время функция, принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем шаре, будет, тождественно равна единице: (это особенно ясно из физических соображений: если температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она вообще будет величиной постоянной). Этим примером подчеркивается, что функции и совпадают, вообще говоря, только на границе Г.

. (15)

Обратим внимание на то, что функция Грина зависит как от координат x, y, z текущей точки P, так и от координат произвольно выбранной, но фиксированной точки A.

Особо отметим, что, в силу условия (14), функция Грина на границе Г обращается в нуль:

. (14)

Пусть теперь u — искомая гармонческая функция в области, принимающая на границе Г значения; положим v=G и применим к области W формулу Грина (13). Тогда, ввиду того что в этой области и, правая часть формулы Грина обращается в нуль, и мы получим следующее равенство :

. (17)

Второй из этих интегралов в силу равенства (16) и условия сведется к Для вычисления первого интеграла введем систему сферических координат с началом в точке A. Тогда на

.

Следовательно, равенство (17) перепишется в виде

.

Первая часть этого равенства, очевидно, не зависит от. Поэтому она должна быть равна также и пределу левой части при :

. (18)

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что по формуле (15). Тогда

.

Функции u и — гармонические во всей области, включая точку A. Поэтому они вместе со своими производными ограничены. Это значит, что

.

Со вторым интегралом дело обстоит сложнее, так как и неограничено возрастают при. Найдем предел каждого слагаемого в отдельности :

Так как функця u непрерывна, то. Считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим

.

Далее, в силу ограниченности

Таким образом, предел в левой части равенства (18) есть просто, так как при r=0 в качестве аргументов функции u мы получаем координаты точки A. Теперь формула (18) принимает окончательный вид:

. (19)

Эта формула дает решение задачи Дирихле в пространстве, если известна функция Грина G; действительно, мы получили значение искомой функции u в любой точки A области .

2.3 Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай)

Здесь метод функции Грина также основывается на формуле Грина, аналогичной формуле (10), а именно :

(20)

где C — замкнутая кривая на плоскости, ограничивающая область D, а и — производные по направлению внешней нормали к C.

Эта формула может быть получена из формулы (12), примененной к цилиндру высоты 1, построенному на C как на напраляющей с образующими, параллельными оси z. Тогда, поскольку u и v не зависят от z,

а

(плюс интегралы на основании цилиндра, которые, однако, равны нулю, так как на верхнем основании, на нижнем, а).

Отметим, что фомула (20) может быть выведена из формулы Грина на плоскости.

Нам нужна обобщенная формула Грина, аналогичная формуле (13), а именно :

(21)

где — замкнутая кривая, лежащая внутри С, а E — двухсвязная область, заключенная между кривыми и С. Как и в пространственном случае под направлением вектора понимается направление внешней нормали к кривой .

Функция Грина на плоскости вводится теперь следующим образом. В качестве кривой С возьмем границу Г области D, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку; за контур примем окружность радиуса с центром в точке А. При этом мы предположим, что окружность целиком внутри Г. Тогда между и Г мы имеем область Е. Обозначим вновь через P (x, y) любую точку области D, отличную от А, и через — расстояние между точками A и P:

.

Проверим, что функция является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению .

Действительно, и

.

Аналогично

и В этом можно также убедиться, если рассмотреть лапласиан в полярной системе координат с началом в точке A (см. (5)); тогда и, так как и не зависит от .

Отметим, что функция — гармоническая в области E (так как эта область не содержит точку А).

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области D с краевым условием

. (22)

функция — гармоническая уже во всей области D.

Тогда функция Грина для области D будет иметь вид

. (23)

Как и в трехмерном случае, функция Грина и здесь зависит от координат точек P и A, и по определению (23) и условию (22)

. (24)

Для искомой гармонической функции u, удовлетворяющей условию, и функции v=G запишем формулу (21), правая часть которой обратится в нуль (так как) :

(25)

причем в силу равенства (24)

.

Введем полярные координаты с началом в точке A. Тогда на окружности справедливы соотношения и. Учитывая все это, мы можем переписать формулу (25) в виде

(26)

так как .

Поскольку правая часть равенства (26) не зависит от, то в левой части можно перейти к пределу при аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте (см. (18)). Подставим G из формулы (23); разбивая интеграл в левой части формулы (26) на два слагаемых и учитывая, что функции и их производные ограничены в области D, получим, что искомый предел равен

так как при, а .

Поэтому

. (27)

Эта формула дает решение задачи Дирихле на плоскости, если известна функция Грина G.

2.4 Решение задачи Неймана (вторая краевая задача для уравнения Лапласа) с помощью функции Грина

В приложениях также часто встречается задача Неймана или вторая краевая задача. Она состоит в следующем :

Найти функцию u, удовлетворяющую внутри замкнутой повеохности (или кривой) Г уравнению Лапласа и на границе Г условию

(28)

где — производная по направлению внешенй нормали к Г, а — функция, заданная на Г.

Прежде всего отметим, что функция на поверхности (или кривой) Г не может быть задана произвольно. Если в формуле (12), верной для любых функций u и v, положить v=1, то и и формула примет вид

.

Поэтому для любой функции u, гармонической в области V, ограниченной поверхностью Г, должно соблюдаться равенство

. (29)

Следовательно, граничное значение производной на Г — функция — должно удовлетворять условию

. (30)

При соблюдении условия (30) задача Неймана всегда имеет решение. При этом очевидно, что вместе с любым решением u решением будет также u+const. Можно доказать, что других решений задача Неймана не имеет, т. е. что разность двух любых решений задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной.

Задача Неймана играет важную роль в теории волновых процессов, в частности в теории электромагнетизма.

Метод функции Грина может быть применен и к решению задачи Неймана на основе формул (13) (для пространства) и (21) (для плоскости). Но функция Грина G для задачи Неймана должна быть определена несколько иначе. Мы по-прежнему полагаем, где для пространства и для плоскости; однако на функцию, гармоническую во всей области V, накладываем теперь краевое условие

.

Примеяя формулу (13), можно доказать, что если положить, где S — площадь поверхности Г (или, в двумерном случае,, где — длина кривой Г), то интеграл от, взятый по границе Г области V, будет равен нулю, т. е. что условие (29) будет соблюдаться. Тогда

и, рассуждая так же, как в пунктах 3 и 4, мы придем к решению задачи Неймана

(в пространстве) и

(на плоскости); как уже отмечено, функция u определяется с точностью до произвольной постоянной.

3. Реализация на ЭВМ

В данной курсовой работе в качестве реализации на ЭВМ приводятся графики построения функции Грина для классических случаев: круга и полуплоскости. Они выполненны в математическом пакте Maple 6. Т.к. функция Грина зависит от двух точек или четырех координат этих точек, то для построения трехмерного графика будем считать координаты постоянными.

Функция Грина для круга :

где Функция Грина для полуплоскости :

где Входные данные :

График 1.1.: , где — радиус круга.

График 1.2.: .

График 1.3.: .

График 2.1.: .

График 2.2.: .

График 2.3.: .

Заключение

Мы рассмотрели решения краевых задач Пуассона, первой (задача Дирихле) и второй (задача Неймана) задачи Лапласа в некоторой области и при любых краевых условиях, если известна функция Грина. Задача Дирихле рассмотрена для двумерного и трехмерного случаев. Представлена теоретическая справка по уравнению Лапласа. Приведен пример построения функции Грина для классических случаев: круга и полуплоскости. На основании проделанной работы можно сделать вывод, что функции Грина имеют большое прикладное значение, например, ее можно интерпретировать как электрическое сопротивление в предположении, что область заполнена однородным веществом с единым удельным сопротивлением и с изоляцией на границе.

Список литературы:

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1964. -226 с.

2. Бабич В. М., Капилевич М. Б. и др. Линейные уравнения математической физики. — М.: Наука, 1964. -108 с.

3. Старавойтова Р. П. Функция Грина. — М.: Мир, 1982. -90 с

4. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1990. -145 с.

5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том второй. — М.: Наука, 1965. -222 с.