Теоретико-множественное определение антагонистической игры. 
Примеры

Теоретико-множественное определение антагонистической игры. Примеры

• Введение
• 1. Основные сведения теории антагонистических игр
• 1.1 Общие понятия теории игр
• 1.2 Классификация игр
• 1.3 Понятие о классических и неоклассических антагонистических играх
• 1.4 Матричные игры двух лиц
• 1.5 Принцип максимина
• 2. Применение математического аппарата для решения антагонистических игр
• Заключение
• Список литературы

Теория игр впервые была систематически изложена Нейманом и Моргенштерном и обнародована только в 1944 году в монографии «Теория игр и экономического поведения», хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала преимущественно экономические примеры, поскольку экономические задачи проще других описать с помощью чисел. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые сразу увидели в ней математический аппарат для исследования стратегических проблем и подготовки решений. Затем основное внимание вновь было обращено к экономическим проблемам. Сейчас сфера применения теории игр значительно расширилась. Так, в социальных науках аппарат теории игр применяется в психологии для анализа торговых соглашений и переговоров, а также для изучения принципов формирования коалиций и т. п.

Теория антагонистических игр является современным и интересным направлением прикладной математики, развитие которого имеет высокую практическую значимость. Основной проблематикой антагонистических игр является не только нахождение моделей оптимального поведения обоих игроков, но и определение способов практической реализации этих моделей в реальных условиях ведения игры (в частности, при ограниченном количестве повторений игры).

Главная цель работы — изучить основные сведения о антагонистических играх и способах решения соответственных задач (максимально приближенных к реальной практике).

Основные задачи работы:

· изучить общие понятия теории игр;

· определить понятие, виды антагонистической игр и ее применение;

· изучить принцип максимина при решении антагонистической игры;

· найти решение антагонистической игры приближенной к реальности.

1. Основные сведения теории антагонистических игр

1.1 Общие понятия теории игр

В условиях рыночной экономики все чаще имеют место конфликтные ситуации, когда два или более коллективов (индивидуумов) имеют противоположные цели и интересы, причем результат действия каждой из сторон зависит и от воздействия противника. Классическим примером конфликтной ситуации в экономике является отношение продавец — покупатель (монополия — монопсония). Сложные ситуации возникают, когда в споре интересов участвующих объединения или коалиции.

Следует отметить, что не всегда участники игровой ситуации имеют противоположные цели. Например, две фирмы, которые предоставляют одинаковые услуги, могут объединяться с целью совместного противостояния большему сопернику.

Часто одной из сторон конфликта являются природные процессы или явления, например, погода, т. е. имеем игру человека с природой. Погодными условиями человек практически не может управлять, но он имеет возможность приспосабливаться к ее постоянным изменениям. Множество подобных ситуаций можно встретить и в других сферах человеческой деятельности: биологии, психологии, политологии и т. д. [3]

Теория игр — это математический аппарат, который рассматривает конфликтные ситуации, а также ситуации совместных действий нескольких участников. Основное задание теории игр состоит в разработке рекомендаций по рациональному поведению участников игры.

Реальные конфликтные ситуации достаточно сложные и обремененные большим количеством несущественных факторов, что затрудняет их анализ, поэтому на практике строят упрощенные модели конфликтных ситуаций, которые называют играми.

Характерными чертами математической модели игровой ситуации является наличие, во-первых, нескольких участников, которых называют игроками, во-вторых, описание возможных действий каждой из сторон, называются стратегиями, в-третьих, определенных результатов действий для каждого игрока, представляемых функциями выигрыша. Задачей каждого игрока является нахождение оптимальной стратегии, при условии многократного повторения игры, которая обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. [2]

Существует очень много различных игр. Примером «игры «в буквальном смысле этого слова, прежде всего, есть спортивная, карточная игра, шахматы и т. д. От реальной конфликтной ситуации игра отличается не только упрощенной формой, но и наличием определенных правил, по которым должны действовать ее участники. Исследование таких формализованных игр обычно не может дать четких рекомендаций для реальных условий, однако является самым удобным объектом для изучения конфликтных ситуаций и оценки возможных решений с разных точек зрения. Рассчитанные на основе игровых моделей оптимальные планы не определяют единственно правильное решение в сложных реальных условиях, однако служат математическим основанием для принятия таких решений.

1.2 Классификация игр

Классификация игр проводится в соответствии с выбранным критерием. Игры могут различаться в зависимости от количества игроков, количества стратегий, свойств функций выигрыша, возможностей взаимодействия между игроками.

Если в игре участвуют два игрока, то такая игра называется парной (игрой двух лиц). Часто в игре участвуют многие стороны, тогда игра является множественной.

В зависимости от количества стратегий различают конечные и бесконечные игры. Если каждый игрок имеет конечное число стратегий, то игра — конечная, в противном случае — бесконечная.

Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то имеем игру с нулевой суммой. Такие игры характеризуются противоположными интересами сторон, т. е. ситуацией конфликта. Другие игры — с ненулевой суммой, возникают как в условиях конфликтного поведения игроков, так и при их согласованных действиях. В частности игра двух игроков с нулевой суммой называется антагонистической, так как цели игроков противоположные: выигрыш одного происходит за счет проигрыша другой.

По возможности сочетания интересов игроков и договоренности между ними о выборе стратегий можно говорить о кооперативной игре, когда же игроки не имеют возможности или не желают координировать свои действия, то игра называется некооперативной.

1.3 Понятие о классических и неоклассических антагонистических играх

Парная матричная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра) является одной из наиболее применяемых в моделировании экономики на базе инструментария теоретико-игровых моделей. В теоретико-игровом моделировании экономических систем стремятся полностью определить значения всех компонент игры: множества всех чистых стратегий обоих игроков и элементов платежной матрицы игры. Но не всегда есть возможность полностью определить значения всех элементов платежной матрицы антагонистической игры, которая моделирует определенную задачу принятия экономических решений.

Следовательно, существует настоятельная необходимость совершенствования инструментария теории игр, применяется для моделирования экономики в условиях неопределенности, конфликтности, неполноты информация и вызванного ими экономического риска.

Классической антагонистической игрой называют парную матричную игру с нулевой суммой, которая задана полностью известной платежной матрицей, т. е. тройку , где

1. I={1,2,…, i,…, k } — это известное множество чистых стратегий первого игрока;

2. J={1,2,…, i,…, n } — это известное множество чистых стратегий второго игрока;

3. R=R_k?n=(r_ij) — это полностью известная платежная матрица, где r_ij — соответствующий выигрыш первого игрока, равный соответствующему проигрышу второго игрока.

Неоклассической антагонистической игрой называют парную матричную игру с нулевой суммой, которая задана частично известной платежной матрицей, т. е. тройку, где

1. I={1,2,…, i,…, k } — это известная множество чистых стратегий первого игрока;

2. J={1,2,…, i,…, n } - Это известная множество чистых стратегий второго игрока;

3. R=R_k?n=(r_ij) — это полностью известна платежная матрица, где r_ij — соответствующий выигрыш первого игрока, равный соответствующему проигрышу второго игрока.

Платежная матрица неоклассической антагонистической игры содержит хотя бы один элемент r_ij, точное истинное значение которого неизвестно.

Теоретико-игровая модель, характеризующая ситуацию принятия управленческих решений, может представлять собой статистическую игру, то есть игру, в которой первый игрок — это лицо, принимающее решение (субъект управления), а второй игрок — это «природа», то есть экономическую среду. Считают, что в отличие от лица, принимающего решение, «природа» случайным образом (бессознательно) оказывается в одном из своих возможных состояний jхJ. Без ограничения общности можно считать, что функционал оценки (платежная матрица) R=R_k?n=(r_ij) заданной статистической игры имеет положительный ингредиент R=R⁺=(r_ij⁺), т. е. лицо, принимающее решение, стремится максимизировать значения оценок принимаемых управленческих решений. Такую статистическую игру можно считать равносильной антагонистической игре, платежная матрица которой совпадает с функционалом оценивания R=R_k?n=(r_ij) заданной статистической игры. [5]

Неоклассическая антагонистическая игра является обобщением классической антагонистической игры. Вместо термина «неоклассическая антагонистическая игра» используют синонимы «антагонистическая игра, заданная в условиях частичной неопределенности» или «антагонистическая игра, заданная в условиях частичной определенности», или «антагонистическая игра с неполной информацией», а в работе «антагонистическая игра, заданная в условиях неполной информации «.

1.4 Матричные игры двух лиц

Чаще рассматривается игра с двумя игроками, в которой выигрыш одной стороны равен проигрышу другой, а сумма выигрышей обеих сторон равна нулю, что в теории игр называют игрой двух лиц с нулевой суммой. Подобная ситуация типична в практической деятельности менеджеров, маркетологов, специалистов рекламных служб, которые ежедневно принимают решения в условиях острой конкуренции, неполноты информации и т. п. Основной целью решения задач этого класса является разработка рекомендаций по выбору оптимальных стратегий конфликтующих сторон на основе применения методических подходов теории игр. [5]

Итак, есть два игрока, А и В (игра двух лиц с нулевой суммой). Каждый игрок выбирает одну из возможных стратегий: обозначим стратегии игрока, А — стратегии игрока В — .

Результаты (плата) по всем возможным вариантам игры задаются специальными функциями, которые зависят от стратегий игроков, как правило, в виде платежной матрицы.

Пусть — выигрыш игрока А;

— выигрыш игрока В.

Поскольку игра с нулевой суммой, то

Тогда в случае, если то

Итак, цель игрока, А — максимизировать величину, а игрока В — минимизировать ее. Пусть т. е. имеем матрицу А:

где строки соответствуют стратегиям А_i, а столбцы — стратегиям B_j.

Матрица, А называется платежной, а также матрицей игры. Элемент этой матрицы a_ij — это выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию A_i, а игрок В — стратегию B_j. [4]

Рассмотрим пример. Составить платежную матрицу для игры «верю — не верю». Правила игры: игрок, А имеет на руках 8 карт — 4 туза и 4 двойки. Он извлекает карту, не показывая ее игроку В, и говорит: «туз» (при этом он может солгать, а может сказать правду). Если игрок В верит, то он платит игроку, А 1 у.е. Если игрок В не верит, то игрок, А показывает карту и если это действительно «туз», то игрок В платит игроку, А 2 у.е.

Если это «двойка», то игрок, А платит игроку В 2 у.е. Если игрок, А извлекает «двойку» и говорит правду, то он платит игроку В 1 у.е.

Решение.

У игрока, А есть две стратегии: А1 — правда, А2 — ложь. У игрока В есть две стратегии: В1 — верю, В2 — не верю. Составим матрицу платежей. Она имеет вид:

В1 В2

А1

А2

Найдем элементы матрицы a_ij. Вероятность вытащить «туз» равна 0,5 и вероятность вытащить «двойку» тоже равна 0,5. При этом, если игрок, А утверждает, что он вытащил «двойку», то игроку В не имеет смысла не верить, и если игрок вытащил «туз», то ему нет смысла врать. Тогда при стратегиях А1В1: а11= 0,5· 1+0,5·(-1) = 0,

А1В2: а12= 0,5· 2+0,5·0 = 1,

А2В1: а21= 0,5· 0+0,5·1 = 0,5,

А2В2: а22= 0,5· 0+0,5·(-2) = -1.

Таким образом, имеем следующую платежную матрицу:

В1 В2

А1

А2

1.5 Принцип максимина

Из многих критериев, предлагаемых теорией игр для выбора рациональных вариантов решений, распространенным является пессимистический критерий минимакса-максимина. Суть этого критерия в следующем.

Пусть игрок, А выбрал стратегию A_i, тогда в худшем случае он получит выигрыш, равный min a_ij, то есть даже тогда, если игрок В и знал стратегию игрока А. Предвидя такую возможность, игрок, А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш, т. е.

Такая стратегия игрока, А обозначается и называется максиминной, а величина гарантированного выигрыша этого игрока называется нижней ценой игры.

Игрок В, который проигрывает суммы в размере элементов платежной матрицы, наоборот должен выбрать стратегию, которая минимизирует его максимально возможный проигрыш по всем вариантам действий игрока А. Стратегия игрока В обозначается через и называется минимаксной, а величина его проигрыша — верхней ценой игры, т. е.

Оптимальное решение этой задачи достигается тогда, когда ни одной стороне невыгодно менять выбранную стратегию, поскольку ее противник может в ответ выбрать другую стратегию, которая обеспечить ему лучший результат.

Если

Т.е, если то игра называется вполне определенной. В таком случае выигрыш игрока, А (проигрыш игрока В) называется значением игры и равен элементу матрицы. Вполне определенные игры называются играми с седловой точкой, а элемент платежной матрицы, значение которого равно выигрышу игрока, А (проигрышу игрока В) и является седловой точкой. В этой ситуации оптимальным решением игры для обеих сторон выбор только одной из возможных, так называемых чистых стратегий — максиминной для игрока, А и минимаксной для игрока В, т. е. если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то для второго отклонения от оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Как правило, задачи теории игр, моделирующих реальные ситуации, имеют значительную размерность. Поэтому важным моментом исследования платежной матрицы есть способы ее сокращения. Сократить матрицу можно, если исключить стратегии, о которых заранее известно, что они невыгодны или повторяют друг друга. [3]

Стратегии, которым соответствуют одинаковые значения платежной матрици (т.е. матрица содержит одинаковые строки (столбцы)), называются дублирующими. Если все элементы i-го строки (столбца) платежной матрицы превышают значения элементов j — й строки (столбца), то говорят, что і-тая стратегия игрока, А (игрока В) есть доминирующей над j — й.

Для упрощения расчетов дублирующие и те стратегии, для которых существуют доминирующие, изымают из платежной матрицы.

Рассмотрим пример. Имеем игру игроков, А и В, заданная такой платежной матрицей:

Игрок В Игрок A .

Решение.

Оптимизацию игры начнем с определения доминирующих стратегий для каждой из сторон, а также исключения из дальнейшего анализа невыгодных и дублирующих стратегий.

Определим доминирующие стратегии. Первая стратегия игрока, А доминирует над третьей, поскольку все значения ее выигрышей при любых действиях противника являются не хуже, чем при выборе третьей стратегии, т. е. все элементы первой строки платежной матрицы не меньше, чем соответствующие элементы ее третьей строки. Поэтому третья стратегия хуже, чем первая и может быть исключена из платежной матрицы.

Продолжая анализ возможных действий игрока B, легко заметить, что его первая стратегия доминирует над пятой, которую можно исключить как убыточною, а потому невыгодную для этого игрока. Итак, имеем в результате такую платежную матрицу :

По выбору игроком, А первой стратегии в зависимости от действий игрока В он может получить 6, 3, 8 или 5 единиц выигрыша. Но в любом случае его выигрыш будет не меньше чем независимо от поведения игрока В. Если рассмотреть возможные последствия выбора игроком, А второй стратегии, то, рассуждая аналогично выясним, что его гарантированный выигрыш составит Для третьей стратегии имеем:

Итак, нижняя цена игры будет равна: а игрок, А для максимизации минимального выигрыша должен выбрать вторую из трех возможных стратегий. Эта стратегия есть максиминной в данной игре.

Игрок В, который пытается минимизировать свой проигрыш, выбирая первую стратегию, может проиграть 6,6 или 4 единицы. Но при любых вариантах действий игрока, А игрок В может проиграть больше чем Для второй стратегии имеем: для третьей — а для четвертой — Следовательно, верхняя цена игры составит:

Игроку В целесообразно выбрать также вторую стратегию, которая является минимаксной в игре. Поскольку то эта игра имеет седловую точку. Цена игры равна 5. Оптимальной максиминной стратегией игрока, А есть вторая из трех возможных стратегий его действий. Для игрока В оптимальной есть также вторая из четырех возможных.

Из приведенного примера понятно, почему минимаксная и максиминная стратегии называются пессимистическими. Выбор оптимальной стратегии для каждого из игроков основывается на предположении, что он будет действовать при наихудших для него условиях. Понятно, что в данном случае выбор такой стратегии может не устраивать участников игры. Пусть игрок, А выбрал вторую (максиминную) стратегию и придерживается ее. Допустим, что игроку В стал известен выбор стратегии противника, тогда ему целесообразно выбрать третью стратегию, при которой выигрыш составит 7 единиц. В свою очередь игрок, А также знает об изменении стратегии игрока В на третью и выбирает первую стратегию, что дает ему возможность получить выигрыш в сумме 8 единиц и т. д. Возможность такого развития событий возникает, минимаксная и максиминной стратегии в данном случае не являются устойчивыми. Есть обстоятельства, при которых оба игрока используют минимаксную и максиминную стратегии, невыгодные игрокам в том случае, когда один из них изменяет свою оптимальную стратегию.

Однако такая неустойчивость присуща не всем играм с седловой точкой. В некоторых случаях седловой точке соответствуют устойчивые максиминна и минимаксная стратегии. В таком случае отклонения от оптимальной стратегии одним из игроков вызывает такое изменение выигрыша, которая невыгодна для этого игрока, поскольку состояние или не меняется, или ухудшается. [2]

Итак, в общем случае нельзя утверждать, что игра с седловой точкой определяет устойчивые оптимальные стратегии.

максимин антагонистический игра математический

2. Применение математического аппарата для решения антагонистических игр

Постановка задачи Фирма производит оборудование для химической промышленности. Экспертами производственного отдела фирмы рассматриваются три конструкторские варианта оборудования: А-1, А-2, А-3. Для упрощения допустим, что по техническим характеристикам эти три типа почти идентичны, однако в зависимости от внешнего вида и удобства использования каждый тип может иметь три модификации: М-1, М-2, М-3 в зависимости от закупленной технологии производства. Себестоимость изготовления оборудования приведена в табл. 1:

Таблица 1 Себестоимость изготовления оборудования, (млн. усл. ед.)

Конфликтная ситуация возникает в связи с необходимостью выбрать тот тип оборудования и его модификацию, который будет утвержден экономическим отделом фирмы. С точки зрения производства наиболее предпочтительным является дорогой вариант, поскольку он позволяет производить дорогую и конкурентоспособную продукцию, тогда как с точки зрения экономического отдела фирмы наилучшим является дешевый вариант, который требует наименьшего отвлечения средств.

Задача экспертов заключается в том, чтобы предложить на рассмотрение финансовому отделу такой тип оборудования, который обеспечит если не лучший, то во всяком случае не худший вариант соотношения стоимости и внешнего вида.

Решение.

Если производственный отдел предложит изготовление оборудования типа А-1, то экономический отдел будет настаивать на приобретении технологии, которая дает модификацию М-3, поскольку этот вариант самый дешевый. Если остановиться на оборудовании вида А-2, то скорее всего утвержден будет М-2, и наконец для типа А-3 — также М-2.

Очевидно, что из всех возможных вариантов развития событий эксперту производственного отдела необходимо настаивать на варианте внедрения в производство оборудования типа А-2, поскольку это дает наибольшее значение при реализации худших условиях — 7 млн. усл. ед.

Приведенные соображения отображают максиминную стратегию, следовательно:

— нижняя цена игры.

Если участник отклонится от своей оптимальной (максиминной) стратегии и выберет первую или третью, то сможет получить выигрыш, равный только 5.

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения специалистов экономического отдела. Исходя из затрат на производство оборудования, выбор технологии, что позволяет изготавливать модификацию М-1, может привести к максимальным расходам в том случае, если удастся утвердить выпуск оборудования типа А-1. Для технологии изготовления оборудования с модификацией М-2 максимальные расходы составляют 7 млн. усл. ед. для оборудования А-2, а с модификацией М -3 — также для А-2. Для экономистов наилучшим является выбор технологии, обеспечивающей изготовление оборудования модификации второго вида, поскольку при наихудших для них условиях она дает наименьшие затраты — 7 млн. усл. ед.

Последние соображения соответствуют минимаксной стратегии, которая определяет верхнюю цену игры.

— верхняя цена игры.

Если игрок отклонится от своей оптимальной (минимаксной) стратегии, то это приведет к большим потерям. Если будет выбрать первую стратегию, то возможен проигрыш равен 10, а если выбрать третью стратегию, то возможный проигрыш составит 9. Приведенная игра является четной игрой с седловой точкой.

Заключение

Антагонистические игры являются сравнительно несложными моделями довольно узкой прослойки тех явлений и процессов, где принимают участие две заинтересованные стороны. Модели принятия решений в условиях тотального конфликта, которые являются предметом теории антагонистических игр, составляют незначительную часть исследования операций. Но именно теория антагонистических игр является фундаментальной для построения моделей принятия решений в условиях многосторонних конфликтов.

Теория антагонистических игр, которая является основой игрового математического моделирования, дает возможность относительно просто исследовать и прогнозировать технико-экономические и социальные конфликтно — управляемые процессы. Принятие оптимальных решений в условиях конфликтных ситуаций связано, прежде всего с решением матричных игр. Известные методы решения матричной игры с пустым множеством седловых точек в чистых стратегиях позволяют находить ее решения в смешанных стратегиях, где произвольная пара оптимальных смешанных стратегий игроков составляет ситуацию равновесия и, таким образом, удовлетворяет известный принцип оптимальности.

Решения, принятые на основе решения антагонистической игры-модели, позволяют оптимальным образом скорректировать активность в соответствующих социально-экономических микропроцессов, в дуальных микросоциумах, в системах регулирования и контроля экологической безопасности.

1. Дубина И. Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие / Дубина И. Н. — М: КноРус, 2010. — 208 с.

2. Садовин Н. С. Основы теории игр: учебное пособие/ Н. С. Садовин, Т. Н. Садовина. — Йошкар-Ола, 2011. — 119 с.

3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Санкт-Петербург — Москва — Краснодар: Лань, 2010. — 446 с.

4. С. Л. Печерский, А. А. Беляева. Теория игр для экономистов. Вводный курс. Учебное пособие. — СПб.: Изд-во Европ. Ун-та в С.Петербурге. — 342 с., 2001.

5. Сигал А. В. Антагонистическая игра, заданная в условиях частичной неопределённости/ А. В. Сигал, В.Ф. Блыщик//Экономическая кибернетика: Международный научный журнал. — 2005. — № 5—6 (35—36). — С. 47—53.

6. Сигал А. В. Теоретико-игровая оптимизация структуры портфеля в условиях неопределенности и риска/ А.В. Сигал// Экономическая политика и фондовый рынок: модели и методы системного анализа. Труды ИСА РАН— М.: Поли Принт Сервис, 2009. — Т. 47. — С. 126—136.

7. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.