Решение систем уравнений с параметром

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Гимназия Секция математика Решение систем уравнений с параметром Работу выполнила: учащаяся 11 класса «А»

Чиркова Елизавета Васильевна Руководитель: учитель математики Баталова Елена Владимировна Чайковский, 2012

• Введение
• I. Теоретическая часть
• II. Практическая часть
• Заключение

В нашей жизни важно получить высшее образование. И чтобы быть успешным необходимо закончить высшее учебное заведение. Но перед этим очень важно сдать единый государственный экзамен. А сдать ЕГЭ поможет только очень хорошая подготовка к нему. Больше всего баллов в ЕГЭ по математике можно получить за часть С. А в части С могут встретиться задачи повышенной сложности с переменной.

В своей исследовательской работе я рассматриваю только системы с параметром.

Проблема: Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учеников. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Объектная область исследования: область стереометрии.

Предмет исследования: системы с параметром.

Цель: Нахождение методов и способов решения систем с параметром; выявление алгоритма действий.

Гипотеза: Системы с неизвестным параметром можно решить, если знать различные методы и способы по решению системы.

В связи с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были сформулированы следующие задачи:

1. Изучение научной литературы по данной теме.

2. Изучение таких понятий, как: цилиндр, конус, шар, их построение.

3. Поиск задач с телами вращения в литературе.

4. Решение найденных задач разными способами.

Методы исследования:

1. Анализ литературных и Интернет источников.

2. Моделирование.

3. Сравнение.

4. Методы визуализации данных.

5. Описание.

I. Теоретическая часть

Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами

Уравнение

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c.

В этом уравнении х — неизвестное, a, b, c — коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами.

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Решить уравнение с параметрами — это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

система уравнение параметр корень Если а0, то. Если а=0, то получаем b=c, если это действительно так, то корнем уравнения является любое действительное число, если же bc, то уравнение решений не имеет.

Таким образом, мы получили: при а0,; при а=0 и b=c, х — любое действительное число; при а=0 и bc, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0, при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных» значений параметра.

II. Практическая часть

Задание № 1. При каких значениях параметра а система

у = х² - 2х^2,

х² + у² + а² = 2х + 2ау

имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

(х - 1² = у +1,

(у - а) ² + (х - 1) ² = 1.

Отсюда приходим к системе

(у - а) ² + у +1= 1

У + 1 ? 0.

или к системе

у² + (1−2а) у + а² = 0,

у ? - 1.

Решая первое уравнение этой системы, находим, что у_1,2 = .

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства

? — 1, решая которое, получаем а [-2, ].

Ответ: а [-2, ].

Задание № 2. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?

Решение.

На координатной плоскости хОу множество точек, удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

где

и .

Решая систему, получаем, .

Ответ:, .

Задание № 3. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b?

Решение.

Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь

.

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

.

Таким образом, исходная система равносильна системе

При любом система всегда имеет единственное решение. Если же, то система будет иметь решения уравнения

.

Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и, т. е. если .

При приходим к рассмотрению уравнения

.

В данном случае решая неравенство, где, находим, что .

Ответ: .

Задание № 4. При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?

Решение.

Полагая, , перепишем систему в виде

Заметим, теперь что если пара является решением системы, то и пара — также решение этой системы. Следовательно, если — решение системы такое, что и, , то система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях:, или .

А тогда, если; то. Если же или, то .

Ответ:, .

Задание № 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и .

Система

задает части этих прямых, расположенные правее прямой, т. е. лучи DB и CE (без точек B и С), см. рис.

Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку. Следует найти все значения а, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и СЕ.

а) Прямая АB задается уравнением. Поэтому при прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

б) Прямая АС задается уравнением. Поэтому при прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч СЕ.

в) При прямая m пресечет и луч BD, и луч СЕ.

г) Наконец, при прямая m пересечет только луч СЕ, а при она не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

Ответ:, .

Задание № 6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Решение.

Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При получаем:

Ясно (см. рисунок), что при система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при — два решения (координаты точек M и N).

Ответ: .

Заключение

У подрастающего поколения название царицы всех наук на устах. Кому-то вплоть до высшей ступени образования она не дается. Но все в обязательном порядке сдают ЕГЭ по этому предмету. А ЕГЭ по математике не такой уж легкий. Поэтому те, кому остался год или меньше, или больше уже начинают подготовку. И это подтверждает то, что выбранная мной тема исследовательской работы актуальна.

В моей исследовательской работе все фигуры неотрывно связано с планиметрией, но чтобы понять эту науку, нужно знать и о стереометрии. В ходе выполнения работы я узнала важные понятия, формулы к решению задач с определенными фигурами: шар, конус, цилиндр. В решении задач мне помогли такие приемы и методы как: умение выполнять действия с геометрическими фигурами; решение планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); решение простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); изображение пространственных фигур; сечения куба, призмы, пирамиды; площадь треугольника, круга, площадь поверхности конуса, цилиндра; объем цилиндра, конуса, шара. Выбранные мной задачи решались с помощью понятий о той или иной фигуре и формул, что подтверждает мою гипотезу.