Течение Пуазейля

• 1. Постановка задачи
• 2. Уравнение неразрывности
• 3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса
• 4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями
• 5. Течение Куэтта
• 6. Течение Пуазейля
• 7. Общий случай течения между параллельными стенками
• 8. Пример задачи
• Список используемой литературы

1. Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье-Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта — рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

2. Уравнение неразрывности

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадку dS. Через n обозначим единичный вектор внешней к S нормали. Тогда произведение сV_ndS будет представлять собой массу, вытекающую из объема W или поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадке dS. Так как n внешняя нормаль, то V_п > 0 на тех площадках dS, где жидкость вытекает из объема W, и V_п < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно, а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом .

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии — отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени .

(1)

По теореме Остроградского — Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае поэтому уравнение (1) можно переписать в виде Так как объем W произвольный, подынтегральная функция равна нулю, т. е.

(2)

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х (t),

у = у (t), z = z (t), то т. е. уравнение (2) будет иметь вид или

(3)

где dс/dt — полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости ?с/?t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

(4)

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

(6)

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

(8)

Эти уравнения называются уравнениями Навье — Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье — Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье — Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных: V_x, V_y, V_z, р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости div V = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:

(9)

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью (см. рисунок).

а — схема течения; б — распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в — распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что, а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т. е. p (y)=p (z)=0, и так как-то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим, проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

5. Течение Куэтта

Течение Куэтта — безградиентное течение В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т. е. расхода через живое течение S=h· 1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

(11)

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т. е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р₀^*, получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V_y=V_z=0 и V_x=V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ_z < 0, т. е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ_z > 0, т. е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

7. Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V₀, во втором — возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

8. Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор, МГД-генератор — энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V_max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров^[4]. Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр^[4]. Максимальное значение вязкости плазмы примем 3· 10^-4 Па· Чс=8,3·10^-8Па·с ^[5].

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В. С., Панков О. М., Янсон Р. А. — М.: Машиностроение, 1973 г. — 389 с.

2. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. — М.: Машиностроение, 1978 г. — 458 с.

3. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. — М.: Машиностроение, 1987 г. — 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20−24/2 123 228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm