Фондовые индексы и их влияние на рынок

Содержание Введение Глава 1. Фондовые индексы и их влияние на рынок

1.1 Сущность, роль и цели фондовых индексов

1.2 Классификация фондовых индексов

1.3 Методы расчёта фондовых индексов Глава 2. Синергетика и нелинейная динамика. Новые подходы к старым проблемам

2.1 Нелинейная экономика рынка: многообразие справедливости и фрактальная динамика

2.2 Показатели Ляпунова

2.3 Хаотические свойства курсов валют Заключение Список использованной литературы

Введение

Знания основных закономерностей поведения хаотических сред позволяют перейти к целенаправленному конструированию искусственных систем, процессы самоорганизации в которых приводили бы к образованию нужных структур. Пока в этом направлении предпринимаются лишь самые первые шаги. Наиболее развитым приложением является создание устройств обработки информации на основе применения хаотических систем. Действие таких устройств базируется на использовании естественной «внутренней» структуры системы и управлении притоком энергии, т. е. фактически на том же принципе, который положен в основу контролирования хаотических систем. Это дает возможность при относительно малых энергетических затратах создать устройства принципиально нового типа, способные запоминать, шифровать и обрабатывать заданную информацию.

Более того, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что автоколебания (в том числе хаос) играют важную роль в процессе анализа информации нейроподобными системами. Следовательно, принцип организации памяти необходимо представить как динамический процесс. Такой подход привел к использованию теории динамических систем в проблеме обработки информации и создания систем искусственного интеллекта. Он основан на том факте, что хаотические множества, как правило, содержат бесконечное подмножество седловых (т.е. неустойчивых) предельных циклов. Имеющиеся в настоящее время методы позволяют, в принципе, либо их стабилизировать, либо создать новые циклы, которые не существовали в исходной хаотической системе. Это и является ключом к решению проблемы обработки информации и организации динамической памяти на основе использования диссипативных систем с подавленным хаосом.

Развитие теории динамических систем дает возможность по-новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

Теория и практика экстремальных задач, выбор оптимального управления в детерминированных и стохастических условиях, многие подходы математической экономики базируются на фундаментальных идеях функционального анализа, связанных с выпуклостью и мерой.

Целью настоящей курсовой работы является — анализ возможности использования функции Ляпунова для исследования устойчивости нелинейной системы, в частности фондовых рынков.

В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

— рассмотреть сущность, роль и основные цели фондовых индексов;

— изучить классификацию фондовых индексов;

— рассмотреть возможные методы расчета фондовых индексов;

— рассмотреть особенности экономики рынка с точки зрения нелинейности.

Глава 1. Фондовые индексы и их влияние на рынок

1.1 Сущность, роль и цели фондовых индексов При совершении операций с ценными бумагами важно знать динамику курсов их конкретных видов, правильно оценивать воздействие всех факторов, влияющих на динамику. Оценками финансового положения и состояния менеджмента компаний, которые во многом определяют курсы их акций и облигаций, занимаются специальные экономисты-аналитики, объединенные в особые независимые коммерческие организации. Они исследуют эти проблемы, как по собственной инициативе, так и по заказам эмитентов ценных бумаг или брокеров (результаты этих исследований публикуются в специальных информационных бюллетенях). Используемые ими методы представляют собой «ноу-хау» и чаще всего до конца не раскрываются [1, с. 8].

Тенденции, воздействующие на факторы, определяющие изменения курсов ценных бумаг, выявляются в процессе статистического исследования эмпирических закономерностей. Для оценки влияния спроса и предложения на курсы ценных бумаг применяются методы эконометрики, и по конкретным факторам спроса и предложения оценивается эластичность отдельных курсов.

Для общего определения конъюнктуры рынка ценных бумаг, т. е. для выработки синтетического показателя, отражающего их курсы в целом, необходимо располагать надлежащей информацией о курсах, зафиксированных во множестве единичных конкретных сделок с ценными бумагами. Однако не все такие сделки и соответствующие курсы фиксируются: большинство сделок с ценными бумагами совершается на внебиржевом рынке. Только часть компаний придает своим сделкам организованную форму, прибегая к услугам фондовых бирж. Курсы отдельных ценных бумаг и общая конъюнктура на фондовой бирже и на внебиржевом рынке влияют друг на друга.

Рассмотрим, как происходит сравнение различных конъюнктур на рынке ценных бумаг. Предположим, что в один момент времени наблюдается одна конъюнктура, один набор цен на акции, в другой момент — другая конъюнктура, другой набор. Возникает необходимость сравнения двух конъюнктур для выяснения вопроса о том, происходит ли при переходе от одной системы цен к другой улучшение рыночной конъюнктуры или же ее ухудшение. Вопрос представляется сложным, по меньшей мере, по двум причинам:

· число листинговых акций, а потому число их курсов, которые и составляют биржевую конъюнктуру, может быть очень большим. Поэтому обязателен отбор тех акций, которые наиболее представительны и фактически формируют конъюнктуру;

· даже если число акций оказывается малым, то и в этом случае суждение о состоянии конъюнктуры может оказаться затруднительным.

Чтобы получить возможность единообразного нахождения ответов на многие вопросы, нужно научиться оценивать каждую конъюнктуру на рынке акций единственным числом и считать ту из них более благоприятной, которой соответствует большее значение этого числа. Такие присущие биржевым конъюнктурам числа называются биржевыми индексами.

Биржевые индексы обычно рассчитываются как взвешенная среднеарифметическая величина, определяемая с учетом не только относительного изменения, но и абсолютной цены акций компаний, образующих корзину индекса.

Фондовый индекс — показатель состояния и динамики рынка ценных бумаг. Через сопоставление текущего значения индекса с его предыдущими значениями можно оценить поведение рынка, его реакцию на те или иные изменения макроэкономической ситуации, различные корпоративные события (слияния, поглощения, дробления акций, отставки и назначения ведущих менеджеров), спекулятивные процессы. В зависимости от того, какие ценные бумаги составляют выборку, используемую при расчете индекса, он может характеризовать рынок в целом, рынок определенного класса ценных бумаг (государственные обязательства, корпоративные облигации, акции и т. п.), отраслевой рынок (ценные бумаги компаний одной отрасли: телекоммуникации, транспорт, страхование, Интернет-сектор и т. п.). Сравнение динамики различных индексов может показать, какие сектора экономики развиваются самыми быстрыми темпами. Индекс может представлять национальный фондовый рынок в целом или определенную торговую площадку на этом рынке (например, индекс фондовой биржи). Фондовые индексы рассчитываются и публикуются различными организациями, чаще всего информационными или рейтинговыми агентствами и фондовыми биржами.

1.2 Классификация фондовых индексов США Индексы Доу-Джонса. Наибольшей известностью в данном семействе индексов пользуется Dow Jones Industrial Average (средний промышленный индекс Доу-Джонса). Этот индекс был впервые опубликован в 1884 г. Чарльзом Доу, основателем компании, которая была издателем известной финансовой газеты «Wall Street Journal». Этот индекс сначала рассчитывался по акциям 11 железнодорожных компаний. В 1897 г. список был увеличен до 20 железнодорожных компаний. Первый промышленный индекс Доу-Джонса был рассчитан в 1896 г. по акциям 12 компаний. В 1916 г. размер выборки был увеличен до 20 компаний, а в 1928 г. — до 30. Последнее изменение в составе индекса было произведено 1 ноября 1999 г., когда вместо компаний Union Carbide, Goodyear Tire & Rubber, Sears и Chevron в индекс были включены компании Home Depot, Intel, Microsoft и SBC Communications.

Индекс рассчитывается как среднее арифметическое цен акций 30 крупнейших компаний. В качестве делителя используется не число 30 (число компаний в выборке), а специальный делитель, учитывающий многочисленные сплиты (дробления акций), произведенные компаниями-эмитентами с 1928 г. (с момента увеличения выборки до 30 компаний).

Используются и другие индексы Доу-Джонса: взвешенный индекс акций Доу-Джонса, рассчитанный по 700 акциям, котируемых на Нью-Йоркской фондовой бирже (публикуется с 1988 г.), индексы Доу-Джонса по транспортным и коммунальным компаниям (Dow Jones Transportation Average (20), Dow Jones Utilities Average (15)) и по 40 облигациям.

AMEX Composite — взвешенный по рыночной капитализации индекс всех акций, торгуемых на Американской фондовой бирже (American Stock Exchange) [2, с. 110].

NASDAQ 100 — индекс 100 крупнейших компаний нефинансового сектора на бирже NASDAQ.

NASDAQ Composite — взвешенный по капитализации индекс внебиржевого рынка, ежедневно публикуемый Национальной Ассоциацией фондовых дилеров и охватывающий около 3500 акций, торгуемых в рыночной системе Nasdaq (Nasdaq Market System). NYSE Composite — взвешенный по рыночной капитализации индекс всех акций, торгуемых на Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE).

Семейство индексов Рассела (рассчитываются компанией Френка Рассела, Frank Russell Company). Среди самых известных: Russell 3000 Index отражает динамику акций 3,000 крупнейших по рыночной капитализации американских компаний, на которые приходится около 98% стоимости всего американского рынка акций. Russell 1000 Index отражает динамику акций 1,000 крупнейших компаний из Russell 3000 Index, на которые приходится около 92% совокупной капитализации компаний, представленных в Russell 3000 Index. Russell 2000 Index отражает динамику 2,000 более мелких компаний, представленных в Russell 3000 Index, на которые приходится около 8% совокупной рыночной капитализации компаний из Russell 3000 Index.

Семейство индексов Standard & Poor’s. Standard & Poor’s Composite 500 Index. В состав индекса входят 400 индустриальных, 20 транспортных, 40 коммунальных и 40 финансовых компаний. Взвешен по рыночной капитализации. Охватывает примерно 80% общей капитализации компаний, торгуемых на Нью-Йоркской фондовой бирже. Капитализация компаний в выборке составляет от 73 миллионов до 75 миллиардов долларов. Standard & Poor’s 400 Index (S&P Midcap) аналогичен S&P 500, но охватывает 400 промышленных компаний, капитализация которых варьируется от 85 миллионов до 6.8 миллиардов долларов. Standard & Poor’s 100 аналогичен S&P 500, но охватывает только 100 акций, на которые существуют опционные контракты на Чикагской бирже опционов. «OEX» — название опциона на данный индекс, являющегося один из самых популярных и торгуемых опционов.

Value Line Composite. Взвешенный по цене индекс как противоположность индексу, взвешенному по капитализации. Некоторые считают, что данный индекс дает лучшее представление об эффективности инвестиций, так как отдельные акции не перешивают в нем, и большинство индивидуальных инвесторов не строят свой портфель с взвешиванием по рыночной капитализации (пока они не покупают индексные фонды).

Wilshire 5000. Индекс охватывает все компании, имеющие головной офис в США, для которых доступна информация по цене. исторически сложилось, что компании из розовых листков были не включены в индекс, но с прогрессом способов передачи информации, список компаний, входящих в индекс увеличился до более чем 7000. Индекс взвешен по рыночной капитализации. Так как некоторые компании, входящие в индекс S&P 500 имеют головной офис за пределами США, не верно утверждать, что Wilshire 5000 включает S&P 500.

Франция.

Основными фондовыми индексами являются CAC-40 и CAC General. САС 40 рассчитывается по 40 акциям крупнейших эмитентов, торгуемым на Парижской фондовой бирже. Фьючерсный контракт на данный индекс, возможно, является самым популярным и торгуемым фьючерсным контрактом во всем мире. САС General рассчитывается по акциям 250 эмитентов.

Германия.

Основным фондовым индексом является DAX 30, охватывающий 30 самых торгуемых акций (на основе торговой статистики за 3 последних года) на Франкфуртской бирже. Индекс взвешен по рыночной капитализации. По результатам торгов в электронной системе рассчитывается индекс Xetra DAX, он практически совпадает с DAX 30. Однако электронная сессия длиннее, поэтому цены закрытия могут существенно различаться. Рассчитываются также DAX 100 и композитный индекс CDAX по 320 акциям.

Великобритания.

FT-SE 30 Share Index, Financial Times Industrial Ordinary Share Index впервые стал публиковаться в 1935 г. и охватывает акции 30 промышленных и торговых компаний. Рассчитывается как геометрическая средняя, получаемая путем перемножения курсов 30 акций из выборки и последующего извлечения из произведения корня 30-й степени. FT-SE 100 — наиболее распространенный индекс в Великобритании, широко известный как 'footsie' (Футси 100). Представляет собой взвешенный арифметический индекс, рассчитываемый на базе 100 крупнейших по рыночной капитализации компаний Великобритании на поминутной основе. На компоненты «Футси» приходится около 70% общей капитализации фондового рынка Великобритании.

FT-SE Mid 250 — Индекс акций компаний со средней капитализацией, на которые приходится примерно 20% рынка Великобритании. Это следующие 250 компаний после сотни крупнейших, входящих в индекс FT-SE 100. Рассчитывается с декабря 1985 г.

Япония.

Главный фондовый индекс Японии — «Nikkei» (сокращенное от словосочетания «nihon keizai» — «nihon» по-японски Япония, а «keizai» — «финансы, экономика»). В его выборку входят 225 акций, торгуемых на Токийской фондовой бирже. Это среднеарифметический невзвешенный индекс, рассчитываемый по той же методике, что DJIA. Публикуется с 1950 г.

Второй достаточно популярный индекс — Topix, рассчитываемый с 1968 г. по всем акциям, торгуемым на 1-ой секции ТФБ. Индекс JPN является модифицированным взвешенным по цене индексом, отражающим динамику 210 обыкновенных акций, активно торгуемых на Токийской фондовой бирже и представляющих обширный срез всех отраслей японской экономики. JPN тесно связан, но не идентичен индексу Nikkei.

Канада.

Наиболее известен индекс Торонтской биржи TSE 300, взвешенный по капитализации и охватывающий 14 секторов экономики.

Мексика.

На Мексиканской фондовой бирже рассчитывается индекс IPC. Это взвешенный по капитализации индекс, охватывающий 35 крупнейших мексиканских компаний. Состав выборки для расчета корректируется каждые 2 месяца.

Гонконг.

Наиболее известный индекс — взвешенный по рыночной капитализации индекс Гонконгской фондовой биржи Hang Seng Index, рассчитываемый по акциям 33 компаний, капитализация которых представляет около 70% общей капитализации рынка. В состав индекса входят компании 4 секторов: торговля и промышленность, финансы, коммунальные услуги, земельная собственность.

1.3 Методы расчёта фондовых индексов Чтобы фондовый индекс адекватно отражал процессы, происходящие на рынке ценных бумаг, и как можно меньше зависел от субъективных факторов, таких, как манипулирование ценами отдельных финансовых инструментов, корпоративная политика компаний-эмитентов, включающая новые эмиссии, дробление или консолидацию акций, выпуск варрантов и т. п., необходимо применять правильные и обоснованные методики расчета фондовых индексов. Кроме того, понимание методики расчета индекса необходимо для правильной интерпретации его изменений. При определении методики вычисления фондовых индексов необходимо рассмотреть следующие вопросы [3, с. 205].

* формулы вычисления фондовых индексов;

* достоверность и полнота информации, используемой при расчете фондовых индексов;

* порядок корректировки расчетной формулы, необходимость которой вызвана теми или иными корпоративными событиями, изменением рыночных условий.

Существует четыре основных метода расчета фондовых индексов:

1. Метод вычисления невзвешенного среднего арифметического. Эта формула используется при расчете среднего промышленного индекса Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average).

2. Метод вычисления взвешенного среднего арифметического с использованием различных способов взвешивания:

— взвешивание по цене акций в выборке;

— взвешивание по стоимости выборки;

— взвешивание путем приравнивания весов акций компаний;

Данная методика используется для вычисления среднего индекса рейтингового агентства Standard & Poor’s (S&P 500).

3. Метод вычисления невзвешенного среднего геометрического. По этой формуле рассчитывается старейший фондовый индекс Великобритании ФТ-30 (FT-30 Share Index, Financial Times Industrial Ordinary Index), который стал публиковаться с 1935 г.

4. Метод вычисления взвешенного среднего геометрического. Эта формула применяется для расчета композитного индекса Value Line Composite Average, используемого на фондом рынке США. Требования к информации, используемой при вычислении фондовых индексов. Любая формула будет бесполезна, если в нее будут вводиться недостоверные или неполные данные. Для обоснованного использования в расчетах информация должна отвечать следующим критериям:

* размер выборки. Желательно использовать при расчете индекса достаточно большое число компаний, что позволяет уменьшить вероятность влияния на конечный результат случайных отклонений стоимости ценных бумаг отдельных компаний относительно среднего рыночного значения.

* репрезентативность выборки. Перечень компаний, ценные бумаги которых входят в состав, например, отраслевого индекса, должен быть достаточно полным для того, чтобы индекс адекватно отражал состояние определенного сегмента экономики. Кроме того, чтобы изменения индекса правильно отражали изменения, происходящие на рынке, распределение эмитентов по размеру капитализации и отраслевой принадлежности должно соответствовать распределению на рынке в целом. Использование компьютеров позволило начать расчет индекса по всем акциям, торгуемым на том или ином рынке, не прибегая к некоторой выборке.

* вес. Желательно, чтобы стоимость ценных бумаг, входящих в индекс, имела свой вес, пропорциональный их влиянию на фондовый рынок в целом.

* объективность финансовой информации. Следует учитывать, что фондовый индекс рассчитывается на основе открыто сообщаемых сведений об изменении цен на финансовые инструменты. Большинство индексов рассчитывается в течение торгового дня, причем их обновленные значения появляются через короткие промежутки времени.

Методика расчета индекса может время от времени меняться, что связано главным образом с различными корпоративными событиями, переживаемыми компаниями, ценные бумаги которых входят в состав индекса. Изменения могут касаться и перечня ценных бумаг, участвующих в расчете индекса.

Чем большую историю имеет фондовый индекс, тем большую ценность он представляет для прогнозирования будущей реакции рынка на те или иные события на основе его прошлого поведения. Но ситуация на рынке постоянно меняется — слияния и поглощение, банкротства старых компаний и появление новых, стремительно наращивающих свою капитализацию. Поэтому периодически появляется необходимость внести изменения в выборку, на основе которой рассчитывается индекс.

Если такие корректировки осуществлять редко, есть опасность, что индекс начнет отставать от развития рынка, если к корректировкам прибегать слишком часто — индекс начнет «терять» историю и, сохраняя прежнее название, отражать изменения уже другого сектора рынка.

Глава 2. Синергетика и нелинейная динамика. Новые подходы к старым проблемам

2.1 Нелинейная экономика рынка: многообразие справедливости и фрактальная динамика Наиболее интересное время в любой области исследований — это время перемен. Рынки капитала являются нелинейными системами, теория линейных методов, на основании которой строились все модели и прогнозы функционирования рынков во второй половине XX века, уступила место теории экономического хаоса, как ни страшно это звучит. Теория хаоса позволила распространить нелинейные концепции на экономический анализ рынков и более внятно объяснить их природу.

Согласно последним исследованиям, современные рынки являются нелинейными системами, что очевидно для специалистов. Поэтому их отличают следующие характеристики:

1) долговременные корреляции и тренды как результат обратной связи;

2) колебания между «справедливыми» состояниями и критическими точками;

3) временные ряды прибылей имеют фрактальную структуру, то есть фрагмент каждой траектории будет подобен траектории в целом;

4) надежность прогнозов тем более уменьшается, чем более далеким является прогнозируемый момент (сильная зависимость от начальных условий и слабеющая, но долговременная память).

В 1993 году С. Кауфман выяснил, что спонтанная согласованность структур — более приемлемый механизм эволюции, чем дарвиновские медленные перемены. Новый вид всегда возникает в рамках общей динамики, но в результате неких взрывов природной активности. В социальных науках происходит то же самое: рассредоточенная индивидуальная деятельность внезапно становится направлением или школой. Российская плохо организованная компания, тем не менее, действует как единый организм, не имея никакой вербализованной корпоративной культуры и правил. В природе таких примеров много. Есть что-то, что направляет ситуацию в рамках некого тренда, несмотря на разнообразие ситуаций и отношений.

В подтверждение этого закона финансовые рынки в одних и тех же случаях ни эффективны. Экономисты говорят об экономических циклах, трейдеры — о рыночных, но никто ни тех, ни других циклов не видел, потому что в обычном, линейном, четком понимании их нет. Порядок в рыночном хаосе не линеен и не имеет четких границ, поэтому в этих терминах не объясним. Главная причина, по которой линейные представления не могут объяснить экономическую реальность, состоит в предположении относительно мира как такового, а не просто экономики.

Исследования по анализу рынков показали, что акции производств с высоким уровнем инноваций (например, технологические компании) имеют тренд более внятный и быстро развивающийся — и менее «шумный» (размытый), чем акции низкоинновационных компаний (например, коммунальных предприятий). Следовательно, в творческих (инновационных) компаниях вложения, как это ни парадоксально, имеют меньший риск, чем в нетворческих, так как у первых имеет место быстрый и предсказуемый тренд.

Проще говоря, в современной экономике верно не только старое правило: «Кто не рискует, тот не пьет шампанского», но и другое правило: «Кто творит, тот выигрывает, причем быстрее и увереннее». Это до некоторой степени противоречит нашим представлениям о том, что безопасно двигаться — значит двигаться медленно. Ситуация напоминает езду на велосипеде: на маленькой скорости вероятность упасть выше, чем на большой.

Аттракторы экономического хаоса. Инвесторы при определении справедливой цены пользуются информацией о доходах, управлении, новой продукции и текущей экономической обстановке. Кроме того, они учитывают готовность других инвесторов платить за те или иные акции. Если инвесторы видят, что тренд соответствует их позитивным ожиданиям, они начинают покупать по примеру других. Смещение меняется, когда цена достигнет верхней границы справедливой величины. Кроме того, принципиально изменить ситуацию может новая информация относительно ценных бумаг.

Исследования финансовых рынков США показали, что на них есть четкие инварианты. Сегодняшняя информация какое-то время влияет на будущее по затухающей кривой и, по статистике, приблизительно через 48 месяцев память о событии теряется. В среднем, рыночные показатели, отстоящие на 42 и более месяцев, не соотносятся и не коррелируют. Причем в системе имеется шум для периодов короче 20 дней, то есть тренды плохо различимы в этих пределах.

Фрактальная структура рынков в результате порождает тренды, непериодические циклы и много «справедливых цен». Кроме того, нелинейные системы склонны к внезапным драматическим переменам. В нормальном распределении изменения имеют место при накоплении значительного количества событий. Большие изменения могут быть разрывными и внезапными. Редкие резкие перемены вызываются изменением периода колебаний, что порождает новые фрактальные последовательности (с новой размерностью).

Теория хаоса позволяет измерить динамику неопределенности и найти порядок ее нерегулярности. Она свидетельствует, каким сложным может быть поведение, заключенное в простых детерминистических уравнениях. Она показывает нам порядок в природе, но предупреждает, что мы живем рядом с неопределенностью. Теория хаоса говорит, что рынки не эффективны, но при этом предсказуемы.

Человечество много лет находилось под обаянием ньютоновской физики, основанной на линейных отношениях и предполагающей, что:

— каждая причина имеет прямое следствие; - все системы стремятся к равновесию; - природа упорядочена.

Нелинейные системы имеют дробные фрактальные размерности и заполняют пространство по своим нелинейным законам подобия. Единственного решения в нелинейных системах нет, зато часто есть бесконечное множество решений, заключенных в ограниченной части пространства.

Выделяют три класса нелинейных систем, важных для описания экономики и прочих реальных процессов. Каждый из них имеет собственный тип аттрактора (область решений):

· «Точечный аттрактор». Пример такой системы — качающийся маятник, который сила трения со временем останавливает в одной точке. Система «притягивается» (attract — английское слово, обозначающее «притягивать») к начальной точке равновесия.

· «Предельный цикл». При условии, что трения нет, маятник будет вечно колебаться и представлять собой регулярную периодическую систему. Эконометрика рассматривает экономические системы как равновесные (с точечным аттрактором) или колеблющиеся вокруг точки равновесия (с предельным циклом). Эмпирически такой взгляд не подтверждается. Экономические ряды характеризуются непериодическими циклами, типичными для нелинейных систем

· «Странный аттрактор». Если мы случайно изменяем сообщаемую маятнику энергию через равные временные промежутки, то результирующее движение будет различным и непериодическим. Однако оно ограничено максимальной амплитудой маятника и законами физики (сила тяготения и пр.). Результатом такого движения является хаотический, или странный аттрактор (Мандельброт назвал его «фрактальным»). Странные аттракторы заключают в себе ряд возможностей, при которых равновесие становится ограниченной областью с бесконечным множеством решений в пространстве. Есть разные формы совместной жизни мужчины, женщины и ребенка; все это виды равновесий, называемых «семья». Многочисленные человеческие сообщества зарабатывают деньги производством и продажей услуг или товаров, но все юридические лица такого рода именуются фирмами. Системы притягиваются к формам, которые являются их воистину «странными аттракторами» .

Большинство хаотических, естественных аттракторов — это случайные (нерегулярные) фракталы. Уравнения, описывающие реальные процессы, имеют плавающие параметры, потому что мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров. Поэтому такие системы часто переходят от точечного аттрактора к предельному циклу или даже сразу к странным аттракторам.

Для оценки текущей ситуации в нелинейной теории были введены показатели Ляпунова: положительный показатель дает информацию о том, насколько быстро разбегаются близлежащие точки, отрицательный — как долго система восстанавливается после испытанного ею возмущения.

Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы:

· Точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями (-,-,-) по всем трем осям пространства: процесс сходится к точке.

· Трехмерный предельный цикл имеет два отрицательных показателя и один равный нулю (0,-,-): предельные циклы имеют две размерности, конвергирующие одна в другую, и одну размерность, в которой нет изменений.

· Трехмерные странные аттракторы характеризуются показателем (+, 0,-). То есть они в значительной степени зависимы от начальных условий (+) и имеют тенденцию сильно менять будущее поведение при малых изменениях начальных условий. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется тем, как далеко могут удалиться значения, прежде чем вернуться к умеренным пределам аттрактивной области. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала объясняется тем, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость возвращает цены в разумный диапазон.

Теперь, наконец, надо сказать, что мы можем твердо оценить надежность только такой системы, уравнения, движения которой нам известны. В реальности мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Японский рынок более сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка — пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы выжить. Неопределенность и сложность факторов, ее определяющих, позволяет ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму — он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача — обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А. М. Ляпуновым в 1891 г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Идея Ляпунова очень проста, рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова. Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве

Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

1. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

2. Функция Ляпунова неотрицательна;

3. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектораскорости в любой точке отрицательно:

;

Рис. 1 — Функция Ляпунова В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол б. Если угол б тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к началу координат. Если, наоборот, б острый, то траектория стремится от начала координат. Очевидно, что в первом случае система устойчива, а во втором случае — нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова. Теорема Ляпунова (эскиз формулировки).

Пусть найдется функция такая, что ее производная вдоль траектории системы отрицательна, т. е. выражение отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т. д.

Один из важнейших классов нелинейных систем, для которых можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия единственной нелинейности F (x) в системе, как в методе гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно выбрать в виде:

В случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы.

2.2 Показатели Ляпунова Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность.

При вычислении показателей Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики обычно рассматривают систему трех нелинейных дифференциальных уравнений или одного логистического отображения

здесь, а — параметр уравнения.

Такое отображение в конечно-разностной форме дает в широком интервале значений параметра не только периодические, но и хаотические решения, отличающиеся по некоторым своим свойствам от соответствующих непрерывных решений. Конечно-разностный вид этого уравнения соответствует временному предоставлению статистических данных: они указываются для определенного временного интервала — квартала, года.

Если в системе — мера начального расстояния между двумя исходными точками для параметра порядка (переменной), то спустя малое время t = k расстояние между траекториями и (k — порядковый номер итерации), выходящими из этих точек, становится равным [6]

где — показатель Ляпунова (рис. 1). Расстояние между двумя расчетными соседними траекториями определяется величиной

Аналогичные предположения можно высказать, если обращаться к другим отображениям, в том числе применяемым в анализе фазовых переходов. На рис. 2, а представлены регулярные колебания _k (показатель Ляпунова < 0), на рис. 1, б — возникновение хаотических пульсаций (> 0).

В отличие от классической динамической теории фазовых переходов Ландау-Халатникова, для которой реализуется одно из двух устойчивых состояний ₁ (или ₂) при возрастании одного из параметров, например, времени последействия, описываемая переменная начинает осциллировать в малой окрестности одной из фаз (рис. 2, а). Для таких движений показатель Ляпунова принимает отрицательное значение.

На рис. 2, б имеет место переход к хаотическому состоянию, что подтверждается положительным значением показателя Ляпунова. Детерминированный хаос имеет место вблизи аттрактора ₂(<0), который был задан начальным значением ₀(<0). На этом рисунке фиксируются небольшие «хаотические флуктуации» параметра порядка, лежащие в пределах, совместимых с сохранением данной фазы (гомофазные флуктуации). В этом случае время жизни детерминированной траектории (t_r) является ограниченным.

На рис. 2, в фиксируется хаотическая динамика параметра порядка, связанная с гетерофазными флуктуациями. Здесь ₁, ₂ — параметры порядка, соответствующие равновесным временным фазам. В этом отношении переменную _k можно трактовать для данного отображения как некоторый параметр порядка, смысл которого устанавливается при решении конкретных задач в системах со структурными превращениями, в том числе в экономических системах.

Показатель Ляпунова для отображения зависит от параметра a, и он может быть вычислен по формуле

_k+1= (_k)

Для других отображений возникают многопараметрические зависимости от других управляющих параметров.

Если анализ ведется на макроэкономическом уровне, то для такой системы можно указать область параметров, в которой решение ведет себя хаотически, — это область детерминированного хаоса > 0. При > 0 соответствующий макроэкономический режим является локально неустойчивым и хаотическим; при = 0 — нейтрально устойчивым; при < 0 — устойчивым и периодическим.

Рис. 2. Хаос и эволюция «расстояния» между двумя итерациями отображения при заданных отличающихся начальных условиях.

Расстояние между двумя соседними траекториями и (k — порядковый номер итерации) определялось величиной _k= a) ₀ = 10^-3, = -0,22; б) ₀ = 10^-3, = 0,70; в) ₀ = 10^-8, = 0,76.

Энтропия Колмогорова. Энтропия Колмогорова — важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, — молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как:

где {P_i} — вероятности для системы оказаться в состояниях {i}, есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе.

Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Определение метрической энтропии — необходимый элемент комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе фазовых переходов в различных системах.

Время, за которое система забывает начальные условия. При определении информационной энтропии в виде S (t) = K₀t (t) со сколь угодно большой точностью огрубления фазового пространства 0 энтропия максимума не достигает. Анализ существенно упрощается, если зафиксировать конечный порядок огрубления фазового пространства ₀, тогда за время t_r область = ₀ расширяется до предельного значения В результате время жизни фазовой траектории связано с метрической энтропией К₀ = соотношением:

Отметим, что в формуле Г. М. Заславского предельное значение нормировано:

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени t_r, а на временах, больших t_r, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова: K₀ = > 0.

Вычислив, таким образом, K₀, можно определить время разбегания двух соседних траекторий за время t_r t_r/t₀. При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно заданной экономической системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить, будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непредсказуемому поведению фазовой траектории, анализ таких явлений чрезвычайно важен для практики, так как начальные условия задаются всегда с ограниченной точностью. Например, курс валюты на торгах задается с ограниченной точностью. Энтропия Колмогорова может служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K₀ = 0), хаотического (K₀ > 0) и случайного (K₀).

Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются близкими.

Для хаотического движения первоначально близкие точки расходятся экспоненциально.

Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.

Далее рассмотрим особенности хаотических свойств курсов валют.

2.3 Хаотические свойства курсов валют Одни экономисты считают валютный рынок полностью детерминированным, другие полагают, что он ведет себя совершенно хаотически. Подход, который излагается в данной работе, сочетает в себе особенности как классического детерминистского, так и хаотического описаний поведения рынка. Детерминизм проявляется в существовании трендов, отражающих глобальный порядок, а хаотичность — в наличии локального беспорядка. Их сочетание в реальной жизни всегда кажется непознанным, а потому и непредсказуемыми для большинства являются скачки курсов основных валют, так же как и других макроэкономических переменных. Особенно важно это для экономик регионов, обладающих мощными топливно-энергетическими ресурсами, открытыми относительно внешних связей.

Цель этого раздела — продемонстрировать возможность применения методов нелинейной динамики к анализу хаотических состояний валютного рынка. Для анализа использовались временные зависимости фунта относительно доллара и евровалюты для одного и того же интервала времени, начиная с 6 января 2004 года. Особенность этих временных рядов заключена в том, что временной интервал предоставления курсов — один час.

Здесь не предлагается описание новых торговых стратегий по покупке или продаже валюты или способов надежного прогнозирования валютных рынков, за исключением тех моментов, которые касаются определения времени прогнозирования. Определение времени прогнозирования, установление количественных критериев определенности состояния системы по анализу временных рядов — это то существенно новое, что привносится в экономическую теорию нелинейной динамикой.

Время достоверного прогноза. Две траектории курсов валют, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, должны экспоненциально расходиться за малое в среднем время, если исходить из того, что рынки валют хаотичны.

Рассуждать о том является ли совместная система четырех валют (евровалюты, фунта и рубля относительно доллара) системой с перемешиванием, если с течением времени (t_r) информация о начальных условиях в них полностью утрачивается можно по наибольшему показателю Ляпунова.

В данном примере был использован метод совмещения траекторий по начальному значению. Полученный ряд является частью хаотического аттрактора. Из рис. 3 следует, что в рассматриваемой системе двух валют (евро и фунт) можно выделить два характерных наклона относительно шкалы времени: первый наклон соответствует времени t_r1 час, второй — t_r2.

Рис. 3 — Увеличение первоначально близкой разницы курсов фунта и евровалюты со временем для начального момента времени 06.01.2004 г. График соответствует 183 ч непрерывного наблюдения Максимальное расстояние ограничено размерами аттрактора, чем и объясняется насыщение, наблюдаемое в конце недельного цикла. Как известно, ожидание определяет «степень разогретости» рынка [6], в то время как формирующиеся ценности в силу конечного капитала определяют ограниченность описываемого аттрактора.

Наибольший показатель Ляпунова в этом случае равен ₁ = 0,12, и время достоверного прогнозирования, как это следует из графика, равно t_r1~14 ч, т. е. соизмеримо с дневным временем продаж. За это время рассматриваемая система забывает начальные условия и выходит на плавно возрастающий уровень разницы курса валют; последнее время равно t_r2~100 ч. Это время соизмеримо с периодом еженедельного (или близкого к нему десятидневного) цикла продаж. Эти выводы, полученные методами нелинейной динамики, отражают реальную ситуацию на торгах валют, когда покупателями и продавцами игра строится по дневному и недельному (десятидневному) циклам.

Эти примеры по валюте в полном объеме отражают достоверность расчетных данных, так как даны с шагом 1 час, а не 1 год, что приводит к определению более обоснованных временных трендов.

Таким образом, объясняется практическая значимость показателей Ляпунова для исследования динамики индексов фондовых рынков.

Заключение

В соответствии с поставленной целью все поставленные перед нами задачи были успешно реализованы. Что позволило нам придти к определенным выводам.

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к ряду важнейших открытий. Обоснование эргодической гипотезы Больцмана для определенного класса систем, доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера), введение энтропии Колмогорова, подковы Смейла и У-систем Аносова стимулировало развитие новых направлений современной математики и математической физики, отражающих всю глубину проблем, рассматриваемых в нелинейной динамике. В результате было показано, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то, возможно, лишь потому, что-либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Таким образом, проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики, фондовые рынки), стала общей для многих направлений современной науки.

В связи с этим в последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса.

Развитие этих методов, а также знание закономерностей самоорганизации дает возможность в самом прямом смысле вмешиваться в деятельность существующих биосистем и управлять их динамикой.

Развитие теории динамических систем дает возможность по-новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А. М. Ляпуновым в 1891 г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Согласно последним исследованиям, современные рынки являются нелинейными системами, что очевидно для специалистов. Поэтому их отличают следующие характеристики:

1) долговременные корреляции и тренды как результат обратной связи;

2) колебания между «справедливыми» состояниями и критическими точками;

3) временные ряды прибылей имеют фрактальную структуру, то есть фрагмент каждой траектории будет подобен траектории в целом;

4) надежность прогнозов тем более уменьшается, чем более далеким является прогнозируемый момент (сильная зависимость от начальных условий и слабеющая, но долговременная память).

В реальности мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Японский рынок более сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка — пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы выжить. Неопределенность и сложность факторов, ее определяющих, позволяет ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму — он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача — обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.