Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями: Приложения к уровням эллиптического типа

Пусть К — компакт на замкнутой комплексной плоскости С, f (z) -комплекснозначная функция, определенная на К. При целых неотрицательных п через.

Rn (f, K) = inf{||/ - R\^K: degi? < n} обозначила наименьшие равномерные уклонения на К функции / от рациональных функций R (z) степеней degi? < п. Первые обратные теоремы теории рациональных аппроксимаций были установлены А. А, Гончаром и Е. П. Долженко. Оказалось, что, в отличие от полиномиального случая, достаточно высокая скорость убывания величин Rn (f, K) гарантирует только лишь аппроксимативные дифференциальные свойства функции /, например, асимптотическую моногенность (т.е. комплексную дифференцируемость) в заданной точке zq € моногенность почти всюду или вне исключительного множества малой положительной меры и т. п. Связь асимптотических свойств функций (и, вообще, линейных дифференциальных операторов) со скоростью их приближения и метрическими характеристиками компакта К изучалась в работах А. А. Гончара, Е. П. Долженко, А. Г. Витушкина, В. К. Дзядыка, А. А. Пекарского, В. Н. Русака, Е. А. Севастьянова, В. В. Андриевского и других авторов (см., например, работы [11], [12], [21−27], [29], [30], [45j, [46], [52], [53]).

В первой главе диссертации найдены некоторые условия на плотность компакта К, достаточные для асимптотической моногенности функции f (z) в наперед заданной точке z0? К при условии достаточно быстрого убывания величин Кп (/, К). Это условие сформулировано в чисто геометрических терминах локальной пористости компакта (в окрестности точки zq). Получены также достаточные для асимптотической моногенности функции f (z) условия на плотность К в терминах локальной аналитической емкости.

Во второй главе диссертации затронуты вопросы, относящиеся к интерполяционной проблеме Неванлинны и Пика. Именно, для односвяз-ной жордановой области G С С найдены условия на последовательности zj} С G и {cij} С С, достаточные для существования конечного решения / в классе Смирнова Ep (G), р > 1, следующей интерполяционной задачи: j = 1,2,., (1) где = p (zj, dG) — эвклидовы расстояния от ^ до Разрешимость задач типа (1) в классах Харди исследовалась ранее В. П. Хавиным, Ф. А. Шамояном, H.S.Shapiro, A. Shields, J.В. Garnett, P.L.Duren (см., например, [8], [34], [62], [68]) и другими авторами. Обычно в подобных задачах рассматриваются интерполяционные по Карлесону (универсальные) последовательности узлов Zj и при этом существенно используется карлесоновость дискретной меры ц, сосредоточенной на множестве {zj} и такой, что fJL (zj) — Pj. В диссертации условие универсальности ослабленов качестве узлов интерполяции допускаются последовательности {zj}, для которых.

S ({*j}) = supEp 0 и г 6 dG. В данном случае указанная мера р, уже, вообще говоря, не является мерой Карлесона и для оценок минимальнных Ер-норм решений / задачи (1) известные методы не применимы. В основном теореме 4.1 второй главы для каждой последовательности {zj}, удовлетворяющей ограничению (2), указаны некоторые неулучшаемые условия на {"?}, достаточные для существования конечного решения задачи (1), и устанавлен точный порядок константы интерполяции.

Третья глава диссертации посвящена некоторым задачам о разделении особенностей функций. Эти задачи возникли в теории аппроксимаций и восходят к работам А. А. Гончара, Л. Д. Григоряна, А. Г. Витушкина, В. П. Хавина, А. А. Пекарского, Е. А. Севастьянова, P. LPoreda, в которых рассматривалась задача об оценках регулярных компонент мероморфных (субгармонических) в области GcC функций / с заданными граничными свойствами (см., например, работы [6], [13], [14], [17], [19], [33], [47])). Оценки граничного роста решений эллиптических уравнений в областях R" получены в работах В. А. Кондратьева, Ю. А. Алхутова, П. В. Парамонова (см., например, работы [1], [44]).

С предыдущими задачами тесно связана задача о плотности распределения множества особенностей функций с заданными граничными условиями вблизи 8G, в частности, обобщенная задача Е. А. Горина о распределении в G полюсов последовательности простейших дробей Оп (deg (c)" — п) с единичными вычетами, достаточно быстро приближающих на dG заданную непрерывную функцию / (см. работы Е. А. Горина, Е. Г. Николаева, А. О. Гельфонда, В. Э. Кацнельсона [15], [42], [9], [33], [18] и работы других авторов). Такого рода задачи возникают, например, в теории потенциала при распределении единичных зарядов, имеющих заданный потенциал /.

В третьей главе в терминах гриновых потенциалов и емкостей получены оценки .//-норм компонент мероморфных функций в единичном круге А, имеющих определенный рост вблизи его границы дА. Получены также оценки 17-норм потоков решений уравнения Пуассона в, А через дА. Доказан аналог теоремы С. Н. Мергеляна об аппроксимации дробями Qn на не разделяющих плоскость компактах К функций /, непрерывных на К и аналитических во внутренних точках на К и получены некоторые результаты о распределении полюсов дробей (c)".

Результаты диссертации докладывались на школах-конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 1999, 2000 гг.), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы» (Суздаль, 2000 г.).

Результаты диссертации докладывались также на научном семинаре в ВГПУ по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. В. Жикова (1995;2001 гг.).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

1. Введем характеристику ш (К, г) — меру геометрической пористости компакта К С С в его точке z. При г > 0 положим и (К, z, г) = sup{p", К)(- z Г2: С € СК, C-z.

Определим подмножество (конечной пористости относительно ядра Ко-ши) Сди (К) компакта К как множество всех точек z таких, что и (К, z) = и){К, z, оо) < оо.

Сходное с предыдущим понятие меры пористости компактов было впервые введено Е. П. Долженко в 1967 году и оказалось очень полезными в теории граничных свойств функций и в теории приближений. В заметке [77] отмечалось, что условие 2 € Са (К) необходимо и достаточно для существования в точке г оценки бернштейновского типа |-R'(-z)j < А (К, z, deg .й)||Д||ооД Для рациональных функций R со свободными полюсами (т.е. оценка зависит лишь от степени deg R рациональной функции R и от ее sup-нормы Ц-йЦсоДна К). Кроме того, как простое следствие леммы 4 работы [19], в точке z € Са (К) получается точное по порядку степени deg R неравенство.

1 R!(z).

Отметим, что оценка (4) в точке z? К может иметь место даже в том случае, когда К является лишь счетной совокупностью точек, достаточно «частой» в окрестности В § 3 рассматриваются вопросы о массивности подмножеств Са (К) в случае связных компаков К, имеющих спрямляемую внешнюю границу (периметр), т. е. объединение границ всех смежных с К областей. Например, доказана.

Теорема 1. Если К — континуум, внешняя граница которого имеет конечную длину, то множество К Са (К) имеет нулевую плоскую меру Лебега.

В § 4 установлены вспомогательные неравенства для разностных отношений рациональных функций в точках z G Са (К).

В § 5 найдены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции / в заданой точке z компакта К в терминах скоростей убывания при п оо наилучших равномерных приближений Rn (f1K) функции / рациональными дробями R степеней deg R< п и величин ш (К, z, г), г 0.

Напомним определение моногенности по Э. Борелю и Д. Е. Меньшову ([2], [39], [40]). Пусть К Э z — неизолированная точка сгущения компакта К. Скажем, что комплекснозначная функция / имеет в точке z моногенный дифференциал относительно К, если она определена всюду К и существует (зависящее от К, /) число A (z) со свойством.

КС) — № = A (z) ¦ (С — z) +Ц (- Z), К Э С.

Пусть z является точкой положительной тез2-плотности компакта К. Функция / называется асимптотически моногенной в точке z относительно К (в дальнейшем пишем / € MN2(K, z)), если она имеет в? моногенный дифференциал относительно К П Е, где Е — некоторый компакт, для которого z является точкой (полной) тез2-плотности, т. е. mes2(A (z-г)Е) — Щг2), где A (z-r) = {С: j (— z |< г}. В этом случае число A (z) = fas (z) определяется однозначно и называется асимптотической производной относительно множества К. При условии f’as Е MN2{K, z) аналогично определяется асимптотическая производная f (a2J (z) (относительно К) второго порядка и т. д.

Пусть {Sk}^Li ~ некоторая последовательность чисел > 1. Определим при 0 < г < 1 целочисленную функцию N®. Если 2к > г" 1 при всех к 6 N, то полагаем N® = 1. В противном случае полагаем.

N® -= шах{к: Sk2k < г~ к е N}.

Теорема 2 [71]. Пусть — некоторая последовательность чисел Sk > 1. Тогда, если при г —V 0 имеем и>(К, z, г) ES Skx = о (1) & Sk2kRAf, К) < оо, т, о / G MN2(K, z). В частности, если при некотором е € (0,1] имеем, w (K, z, r)ner = о (1) при г 0, и In1−6nR?,(/, if) < оо, mo / € MN2(K, z).

В § 5 доказана также теорема об аппроксимации на подмножествах компакта К линейных дифференциальных операторов вида Dffl (f) aN{z)f{jP (z) +. -f aQ (z)f (z) с комплекснозначными коэффициентами ап-> п — 0, JV, где N — фиксированное натуральное число. Пусть существует набор компактов К = Ко D К D. D KN, в котором для всех номеров 1 < п < N имеем w (Kn^uz, r) = о (1) и u (Kn-uz) < А (К) при г —> 0 и z? Кп. Пусть, кроме того, во всех своих точках компакт К^ имеет положительную mes2-iuioTirocTb. Тогда справедливо следующее предложение.

Теорема 3. Если.

ОС.

M (f)? nAr" 4nl+enRn{f, K) < 00, е > О, га=1 то функция f имеет относительно Kjq все асимптотические производные до порядка N включительно. Кроме того, D (nR2*(z)) —>^asHf (z)) пРи s —> оо для рациональных функций наилучшего приближения R2*(z) равномерно по z б К^, где rtNR2s{z)) = aNta (z)Bgz) + a0, s (z)R2s (z), a an^s (z) —> an (z) при s —? oo равномерно no z на К. При этом sup-норма D^(f (z)) на Кх оценивается через imaxri j|a"|joo, i{M (f).

В § 5 показано также, что условие 2-? Са (К) нельзя ослабить ни в теореме 2, ни в других аналогичных теоремах из § 5, а при z Е Са (К) нельзя также существенно ослабить и условия на скорость убывания величин Rn (f, К).

В § 6- § 8 при изучении сходных вопросов о моногенности / применяется аппарат аналитической емкости. Пусть К — компакт на С, z? К, G{K, z) — связная компонента множества СК, содержащая точкз^ z. Напомним, что аналитической емкостью компакта К относительно точки 2 называется величина 'Уг (К) = sup{^'(z)|}, где sup берется по всем голоморфным в области G (K, z) функциям Ф, удовлетворяющим условиям Ф (г) = 0 и 8ир{|Ф (С)|: С € G (K, z)} < 1 (см., например, [6], [7]). Для произвольного множества М С С и точки z ф М полагают 7Z (M) — sup{yz (K)}, где sup берется по всем компактам К С М.

Введем одно обобщение класса рациональных функций. Скажем, что при фиксированных z G С и п? N однозначная функция Ф (() принадлежит классу A (z, n), если область ее определения на С (т.е. полная область аналитичности в смысле Вейерштрасса) содержит точку z и является не более чем п-связной.

В § 8 установлены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции /(() в точке 2 континуума К в терминах локальной аналитической емкости (в окрестности точки z) и скоростей убывания при п —у ор наименьших уклонений.

Ф"(/, ЛГ)=шГ{||/-Ф||оол}. где нижняя грань берется по всем функциям Ф? A (z, п), аналитическим на К. Приведем один результат.

Теорема 3 [71]. Пусть К — континуум и некоторая последовательность чисел Tk € (0,½) удовлетворяет условиям.

ЕГ=1^гкЪ (А{г-П)К) <оо- < ос.

Тогда f eM’N2(K, z).

В § 8 получены также достаточные условия и для усиленной асимптотической моногенности MNi (K, z), где мерой исключаемых множеств служит длина обхвата их границ.

2. Вторая глава посвящена одной обратной задаче теории интерполяции о весовой интерполяции функциями из класса Смирнова Ер. Скажем, что односвязная жорданова область G С С принадлежит классу, А Альфорса [46], если ее граница 7 содержит более одной точки, локально спрямляема и имеет конечную 1-плотность.

0(7) sup{mesi (7 П <5)/diam (<5)} < 00 > где sup берется по всем открытым кругам 6. Напомним, что некоторая последовательность Л = {zj}f=1 С G называется интерполяционной по Карлесону, если для любого набора комплексных чисел {aj}JL1 Е I00 с нормировкой a7||joo = sup{| сij j: j G N} < 1 задача (1) имеет конечное решения / в классе Смирнова Е°°(6?) (см., [8], [16], [34], [68]).

Через w — j{zj) — 0 и (fj (v) > 0 з некоторой фиксированной точке v? G. Далее, пусть в G сходятся произведения.

М*) = ПФа,(г) = ФА (*)ММ> э е N. Известно (теорема Карлесона), что следующее свойство отделимости.

1ФАг?(^)М, ^ = г>(А) > о, j = i, 2,., является характеристическим для интерполяционности А. Шапиро и Шилдсу принадлежит следующий результат (см. [68]). Если последовательность, А является интерполяционной в круге (или в верхней полуплоскости) G. то при р > 1 для любой последовательности {aj}JLi с условием нормировки IjajJJip = (Е |%'р)1^ = 1 существует конечное решение / из класса Харди НP (G) задачи (1) и при этом для Нр-нормы справедлива оценка f\p, G

В главе 2 исследуется задача (1), в которой вместо интерполяционных последовательностей допускается более широкий класс Л (G) последовательностей А, удовлетворяющих свойству (2). Отметим, к примеру, что в случае G Е, А для выполнения свойства (2) достаточно следующее условие ослабленной отделимости: а при зф s, (5) при некотором фиксированном aG (0,1),.

Пусть точкам Zj 6 А € A (G) приписаны некоторые неотрицательные веса Sj. При 1 < р < оо и целых к, I определим (конечные или бесконечные) величины:

Dk = sup pj/p<2k fy Qk = ?pj/ptp-W) si> Bi = 2~k/PDk-При p > 0, Ifpf l/q = 1 положим.

K (p-p, G, Л) = ЕГ=1^YZk eT (! +1 — fc)2;

K (p, G, A) — supp>0 K{p-p, G, Л) — ?( 0 Д (р, Лг). Сформулируем основной результат § 2.

Теорема 4 [69]. Пусть в области G? А задана последоват, елъ-ностъ A G A (G). Тогда имеем следующую оценку Lp (dG)-нормы.

Определение. Пусть, а > 0. Последовательность чисел ds > 0, s G Z, будем называть а-регулярной, если при всех целых I выполняются неравенства.

E6°l/+i ds < аф.

В § 4 на основании теоремы 4 установлена следующая теорема об интерполяции в классе W.

Теорема 5 [69]. Пусть G G А, последовательность {Zj}? A (G) состоит из попарно различных точек, и заданы комплексные числа {aj}^. Тогда при 1 < р < оо, ± + | = 1 и Sj =| aj || Фдj (zj) найдется решающая интерполяционную задачу (1) функция /? ~ЕР, причем для ее W-нормы имеем оценку ii/iug < ailing, g, a-.)||pj7 < A2Kl^(p, G, A).

Если, дополнительно, последовательность.

2 ~k/pDk а-регулярна при некоторых р > 0, а = а (р), то.

Сделаем некоторые замечания о точности теоремы. Если выполнено неравенство.

R (q, G,—)\p, • ||Д (р,(?, А-.)||9>7 < К I ^ при некотором 6 > 0, то ||/||p, g > А- -)\Рп. В случае р — 2 и а-регулярности последовательности для выполнения последнего неравенства достаточно условие.

Наконец, при п > 4 в единичном круге, А для множества {^j-jW = {(1 — l/nje*27^-1)/" }^ минимальное решение задачи (1) при | aj |= 1 удовлетворяет неравенству ||/||Р)д > А5К1/р (р, А, Л).

В § 5 главы 2 изучаются близкие к предыдущему вопросы полноты систем дробей с полюсами, удовлетворяющими условию (5), Фан-Цзи и С. Я. Хавинсоном ([64], [65]) введены понятия О (Р) и о (Р) полноты систем в нормированных пространствах (относительно некоторой нормы или полунормы Р), когда при аппроксимации учитывается не только величина наименьшего уклонения приближаемого элемента от приближающих полиномов, но и величины коэффициентов этих полиномов. Пусть задана бесконечная последовательность положительных чисел {Mi, М2,.}. Для вещественного n-мерного вектора {/Зь • • • ,/Зп} введем норму Минковского.

Р (/Зь-.,/?")= max {| & |/М*}. (6).

Система элементов { О существует натуральное п = п (е) и коэффициенты • • - ,/Зп такие, что одновременно.

Пусть в единичном круге, А задана бесконечная последовательность {(j}> удовлетворяющая условию ослабленной отделимости (5) и точки которой занумерованы в порядке неубывания их модулей. Предположим также, что число N (X, r) всех точек П {С • | С !< г} удовлетворяет условию iV (A, r) > А/(1 — г) с некоторым, А > 0. В этих предположениях справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть Р задается формулой (6), где Mk = етк неубывают при к = 1,2,. и Ит^^ооrrik/к = оо. Тогда система дробей {^г^" } является о (Р) полной во всех классах Lp (dA)/Hp (A) (р > 1).

3. Перейдем к основным результатам третьей главы. Пусть множество К — замкнуто в единичном круге А. При р > 0 определим класс.

Н*(К) всех функций, однозначных аналитических в АК и удовлетворяющих условию ограниченности роста вблизи <9 А: h{f, p)~sup{f (z) l (l-l^l)1^: z е АК] < оо.

Скажем, что множество К разделимо, если при любом г е (0,1) существует некоторая окружность у — {(: |? |= п} с г < гг < 1, не имеющая общих точек с К. Для разделимого множества К и функции / G Н*(К) определим максимальный интеграл типа Коши: т=sup|i-/ш|, if|> 1,.

7 27 г h (— z где верхняя грань берется по всем не имеющим общих точек с К окружностям 7 с центром в точке z — 0.

Пусть /i — неотрицательная борелевская мера в круге, А с конечной и положительной полной вариацией Тогда а-потенциалом Грина меры ji назовем следующий интеграл.

МО = /lnJ (z,()dfi (z) — /ta© = /(J°(^C)-l)^W, «€(0,1) — где положено J (z, 0 — ! 1 ~ I / 1 ^ ~~ С !• П° «-потенциалам, как обычно, определяются a-емкости ГринаСа (К, дА) конденсатора [К, дА]: Са = sup j|/ijj, где верхняя грань берется по всем мерам /i, указанного класса, для которых Да© < 1 всюду в A, suppц С К.

Теорема 7 [71]. Пусть замнутое в, А множество К С, А разделимо и при некотором, а? [0,1) имеет конечную гринову а-емкость. Тогда для любой функции / G Н*(К) (р > 1) максимальный интеграл типа Коши If (z) принадлежит классу Lq (dА) при 1 < q < р и.

ШкдА < A (P, q, a)h (f, P) CQ (K, dA).

Следствие. Пусть функция / мероморфна в, А и число ее полюсов, лежажих в каждом кольце вида {z: j г |? [1 — 2-s, 1 —2~s~1)}, ограничено некоторой константой А, Пусть, кроме того, f • В g н*(0), р > 1, где В — произведение Бляшке, распространенное на все полюсы функции f. Тогда при 1 < q < р максимальный интеграл типа Коши If (z) принадлежит классу Lq (dА) и, а < A (p, q) h (f, p) B.

Далее, в § 1 рассмотрена в единичном круге Д краевая задача для уравнения Пуассона.

Au = -f (z), u (C)aд = <Ж), (7) где и е С2(А) П С (А), ср € С (дА), / G С (A), supp / С А, так что при р > 0 имеем.

Я (/, р) := 8иргед |/(z)|(l — < оо.

В уравнениях математической физики и в теории гармонических аппроксимаций важную роль играют оценки 1Лнорм решений и задачи (7), а также №~норм потоков этих решений через границу о>А, т. е. величин.

Щи, р, дА) := {jQ.

Некоторые задачи, связанные с оценкой потоков поставлены в работе П. В. Парамонова [44].

Теорема 8 [79]. Пусть в условиях задачи (7) имеем <р — 0. Предположим также, что Q-емкость Со конденсатора [supp f, dА] конечна. Тогда при любых р > 1 и ё > 0 справедлива оценка.

Щщр, дА) < A H (f, p) • С0пш (е + С0), где величина, А зависит лишь от р и S. При оценке потока П (г*,<9А) {такой же, как предыдущая оценка при р = 1) условие <р — 0 можно опустить.

Кроме того, выполнено неравенство j"(z)| < 1 всюду в круге А, за возможным исключением некоторого его подмножества, гиперболическая плоская мера (т.е. (1 — ()~2dmes2(()-Mepa) которого не превосходит величины АСп1+6(е + С), где С = \f\L4A). du (z) dn (z) v lu} dz\ -ЩщдА): — L du (z) ад dn (z) d z.

Далее, при любых р > 1 и, а Е [2/р, 1 + 1 /р) справедлива следующая оценка Ьр-нормы решения А (р, Oi) CQ\fp2-a\LP{A], p (z) = 1 — z2.

Ю.А. Алхутовым доказано предыдущее неравенство при, а = 1 без каких-либо ограничений на носитель функции /. Это неравенство установлено им и в плоском, и в многомерном случаях для областей с достаточно регулярными границами.

В § 2 главы 3 получены некоторые прямые теоремы аппроксимации наипростейшими дробями Q'(z)/Q (z) = Tij=1(z — Zj)~l и исследован вопрос о распределении полюсов Zj аппроксимирующих дробей. Например, в случае аппроксимации нуля, имеет место.

Теорема 9 [76]. Пусть множество всех нулей многочлена.

Q (z) лежит вне замыкания круга, А и М := ИФ'/фЦоо^д < 1/Ю. Тогда справедливо точное по порядку величин М и п неравенство.

2min{|zj|: j = 1, ., n} > п > 2.

Эта теорема может быть обобщена на более широкий класс функций.

Именно, предыдущее неравенство остается справедливым и при условии нормировки М — \Q'/Q + /||оо, ад < 1/Ю? гДе / ~ функция класса Харди Н°° во внешности замыкания круга А, /(оо) = 0. Теорема 8 дополняет следующий результат работы [18]:

1 п дающий удовлетворительную оценку расстояний лишь при достаточно больших значениях Minn (в качестве щ (М) можно взять 4 М² -f 4).

Теорема 10 [76]. Пусть г > 0 и К — континуум такой, что любые две его точки можно соединить спрямляемой кривой, лежащей в К, длины < г. Далее, пусть P (z) — отличный от 0 многочлен степени п > 0 и ЦРЦооД < 1. Тогда при любом к > 6 г существуют два многочлена Qs (z), s = 1,2, степени < (n+ 1) к такие, что.

О' rk.

Это утверждение легко распространяется на целые функции Р. На основании теоремы С. Н. Мергеляна [67] и теоремы 10 получается следующее утверждение.

Теорема 11 [76]. Пусть компакт К не разбивает плоскость С, функция / непрерывна на компакте К и аналитична в его внутренних точках. Тогда / может быть равномерно приближена с любой точностью на К наипростейшими дробями вида Q'/Q, где Q — многочлен.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Алхутов Ю. А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб, 1998, Т. 189(1), С. 3−20.

2. Borel Е. Lecons sur les fonctions monogenes uniformes d’une variable complexe. Paris, 1917.

3. Бочтейн A.M., Кацнельсон В. Э. Оценки норм проектора в одном пространстве аналитических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1970. N 42. С. 81−85.

4. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.:Мир, 1964.

5. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей. Известия АН СССР, сер. матем. 1962. Т. 26.

6. Витушкин А. Г. Аналитическая емкость в задачах теории приближений Ц УМН. 1967. Т. 22JV6. С. 141−199.

7. Гамелин Е. Равномерные алгебры. М.:Мир, 1973.

8. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

9. Гельфонд А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Матем.сб. 1966. Т.71 (113). С. 289−296.

10. Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд. «Наука», М., 1966.

11. Гончар А. А. О наилучших приближениях рациональными функциями // ДАН СССР. 1955, т.100, с.205−208.

12. Гончар А. А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, т.25, с.347−356.

13. Гончар А. А., Григорян Л. Д. Об оценках норм голоморфной составляющей мероморфной функции // Матем.сб. 1976. Т.99. С. 634−638.

14. Гончар А. А., Григорян Л. Д. Об оценке компонент ограниченных аналитических функций // Матем.сб. 1987. Т.132. С. 299−303.

15. Горин Е. А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1962. N4. С. 506−508.

16. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М: Наука, 1965.

17. Данченко В. И. О разделении особенностей мероморфых функций // Матем.сб. 1984. Т.125(167). С. 181−198.

18. Данченко В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. T.185JV8. С. 63−80.

19. Данченко В. И. О рациональных составляющих мероморфных функций и их производных // Analysis Mathematica. 1990. Т. 16. N4. Р. 241−255.

20. Данченко В. И. Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью // Матем.сб. 1996. Т.187.АЮ. С. 33−52.

21. Дзядык В. Л.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977.

22. Долженко Е. П. О приближениях на замкнутых областях и о нуль-множествах. // ДАН СССР, 1962, т.143, N 4, с.771−774.

23. Долженко Е. П. О дифференцируемости комплексных функций. // ДАН СССР, 1960, т.130, N 1, с.17−20.

24. Долженко Е. П. О производных числах комплексных функций. // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1962, т.26, с.347−360.

25. Долженко Е. П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций // Матем.сб. 1962. T.56.N4. С. 403−432.

26. Долженко Е. П. Рациональные аппроксимации и граничьте свойства аналитических функций // Матем.сб. 1966. Т.69(111) С. 497−524.

27. Долженко Е. П., Севастьянов Е. А. Приближение рациональными функциями в интегральных метриках и дифференцируемость в среднем //Матем. заметки. 1974. Т. 16JV5. С. 801−811.

28. Долженко Е. П. О зависимости граничных свойств аналитической функции от скорости ее приближения рациональными функциями // Матем.сб. 1977. Т.103(145) С. 131−142.

29. Долженко Е. П. Некоторые точные интегральные оценки производных рациональных и алгебраических функций. Приложения // Analysis Mathematica. 1978. Т. 4. IV4. Р. 247−268.

30. Долженко Е. П. Оценки производных рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1963. Т. 27.М. С. 9−28.

31. Долженко Е. П., Данченко В. И. Отображение множеств конечной альфа-меры посредством рациональных функций // Известия АН СССР, сер. матем. 1987. Т. 51JV6. С. 1309−1321.

32. Карлесон JI. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир. 1971.

33. Кацнельсон В. Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1967. Вып.4. С. 58−66.

34. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М.- Мир. 1984.

35. Ландкоф Н. С. Основы современой теории потенциала. М:. Наука. 1966.

36. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.:Гостехиздат, 1956.

37. Мельников М. С. Оценка интеграла Коши по аналитической кривой // Матем.сб. 1966. T.71.N4. С. 503−514.

38. Мельников М. С. Аналитическая емкость и интеграл Коши // ДАН СССР. 1967. Т.172.АП. С. 26−29.

39. Меньшов Д. Е. Об асимптотической моногенности // Матем.сб. 1936. T.l.iV43. С. 189−210.

40. Menchoff D. Les conditions de monogeneite. Paris, 1936.

41. Menchoff D. Sur la generalization des conditions de Cauchy—Riemann // Fund. Math. 1935. V.25. P.58−97.

42. Николаев Е. Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Сер. Матем, мех. 1965./V5. С. 23−26.

43. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения М.:Наука, 1977.

44. Парамонов П. В. О гармонических аппроксимациях в С^норме // Матем.сб. 1990. Т.181 С. 1341−1365.

45. Пекарский А. А. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации // Матем.сб. 1984. Т.124 С. 571−588.

46. Pekarskii A.A. Best rational approximations in the complex domain // Trudy Mat.Ins.Steklov. 1989. V.190. P.231−243.

47. Пекарский А. А. Оценки производной интеграла типа Коши с ме-роморфной плотностью и их приложения // Матем.заметки. 1982. Т.31. N3. С. 389−402.

48. Пекарский А. А. Шталь Г. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах Lp при р < 1 // Матем.сб. 1995. Т.186 С. 119−130,.

49. Poreda S.I., Saff Е.В., Shapiro H.S. Fundamental constants for rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. УЛ89. P. 351−358.

50. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.Д950.

51. Привалов И. И. Субгармонические функции. М.-Л.Д937.

52. Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск. Издательство БГУ. 1979.

53. Севастьянов Е. А. Некоторые оценки производных рациональных функций в интегральных метриках // Матем.заметки. 1973. T.13.iV4.C. 499−510.

54. Селезнев А. И. О функциях, моногенных на нигде не плотных замкнутых множествах и множествах типа Fa. -ДАН СССР, 1957, т.125, N 5, с. 591−594.

55. Тепяковский Д. С. Обобщение одной теоремы Меньшова о моногенных функциях // Известия АН СССР, сер. матем. 1989. Т. 53. N4. С. 886−896.

56. Тепяковский Д. С. О голоморфности функций, которые задают отображения, сохраняющие углы // Матем.заметки. 1994. Т.бб.А^б.С. 149−153.

57. Толстов Г. П. О криволинейном и повторном интеграле. -Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1950, т. 35.

58. Трохимчук Ю. Ю. Непрерывные отображения и условия моногенности. -М., 1963.

59. Трохимчук Ю. Ю. О конформных отображениях. // ДАН СССР, 1958, т.121, N 3, с. 430−431.

60. Федоров B.C. О моногенных функциях // Матем.сб. 1935. Т.42. С. 485−500.

61. Федоров B.C. Моногенность // Матем.сб. 1946. Т.18. С. 353−378.

62. Хавин В. П. Пространства Н°° и L1 /Hq // Записки научн. семинара. ЛОМИ 1974. Т.39. С. 120−148.

63. Хавинсон С. Я. Об одной экстремальной задаче теории аналитических функций. // Успехи матем. наук. 1949. Т.4. Вып.4(32). С. 158−159.

64. Хавинсон С. Я. Об аппроксимации с учетом величин коэффициентов аппроксимирующих агрегатов. // Труды МИАН. 1961. Т.60. С. 304−324.

65. Хавинсон С. Я. Некоторые вопросы полноты систем. // ДАН СССР, 1961, т.137, N 4, с. 733−736.

66. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир. 1980.

67. Уолш Д. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М. 1961.

68. Shapiro H.S., Shields A.L. On some interpolation problems for analytic functions // Amer. J. Math. 1961. V.83. P.513−532.

69. Данченко Д. Я. Об интерполяции в классах Ер // Матем.заметки. 1999. Т.бб.ЯЗ.С. 149−153.

70. Данченко Д. Я. Некоторые интегральные неравенства для главных частей мероморфных функций // Деп. ВИНИТИ. N3335 — 87.1987. С. 1−19.

71. Данченко Д. Я. Скорость приближения рациональными функциями и асимптотическая моногенность // Деп. ВИНИТИ. N2355 — 87.1987. С. 1−24.

72. Данченко Д. Я. Некоторые интегральные неравенства для логарифмической производной многочлена j j Деп. ВИНИТИ. N2991 — 91.1991. С. 1−16.

73. Данченко Д. Я. Некоторые неравенства бернштейновского типа для рациональных функций // Материалы конференции молодых ученых. Изд. Владимирского гос. педагогического университета. 199SС. 142−144.

74. Данченко Д. Я., Данченко В. И. Об оценке компонент аналитической функции через гринову емкость // «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ И ПРИБЛИЖЕНИЙ» Труды 8-й Саратовской зимней школы. Изд. Саратовского университета. 1996. С. 41−43.

75. Данченко Д. Я., Данченко В. И. Об одной интерполяционной задаче в Ер // «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЙ» Труды 9-й Саратовской зимней школы. Изд. Саратовского унив. 1997. С. 53.

76. Данченко В. Й., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями. Матем.заметки. 2001. Т.70. вып. 4, с. 553−559.