Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию Ьрразделимости дифференциальных операторов класса Трибеля при 1 ^ Р ^ и получению соответствующих коэрцитивных неравенств. Ранее такие оценки были получены Трибелем для 1 < р < +оо. Таким образом, новизна работы заключается в том, что рассмотрены неисследованные ранее случаи р = 1 и р = -foo. При этом доказано, что постоянные числа, фигурирующие в оценках коэрцитивности, не зависят от р. Этого не было у Трибеля даже при 1 < р < +оо.

Методика, которая использована в диссертации отличается от методики Трибеля. Кроме теоремы разделимости этой методикой получены интегральные представления функций для некоторых весовых классов С. Л. Соболева. Также этой методикой установлена плотность финитных функций в весовых пространствах функций.

Термин разделимость ввели английский математик В. Н. Эверит (W.N. Everitt) и шведский математик М. Гирц (М. Gierz). В своих работах [1−5] они изучали разделимость оператора Штурма Лиувилля p[y] = -y" {x) + q (x)y (x), (0.1) и его степеней.

Результаты этих работ позже были усилены в работах [6−12, 16−19]. В частности в работе Бойматова К. Х. [6] разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какойлибо гладкости на потенциал q{x). Отелбоев М. [16] исследовал разделимость (0.1) в весовом пространстве Z/2,fc (-0> гДе открытый отрезок вещественной прямой.

Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой Т. Т., Муратбекова М. Б. [20], Грипшпупа Э. З., Отелбаева М. [21] и др. авторов.

Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривались в работах Абудова А. А. [22], Биргибаева А. [23|, Бир-гибаева А., Отелбаева М. [24], Бойматова К. Х., Лизоркииа П. И. [14], В. Н. Эверитта, М. Гирца [36−38], Аткинсона Ф. В. (Atcinson F. V.) [39], Эвапса В. Д., Цеттла A. (Evans W.D., Zettl А) [40], Исхокова С. А. [41| и других авторов. В работах [22, 42, 43, 45, 46] рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе [46] допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора за счет слабого возмущения линейного оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [15, 20, 21, 24, 25, 46, 47, 57, 58].

В работе Гриншпуна Э. 3., Отелбоева М. [21] доказано, что нелинейный оператор Штурма — Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в Li (—оо, +оо). Это показывает, что L (I) (/ = (—оо, +оо)) является «естественным» пространством в задаче о разделимости оператора Штурма — Лиувилля.

Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе Бойматова К. Х. [7]. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [8, 10, 15, 25, 26, 29].

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на десять параграфов, а также списка литературы, включающего 68 названия. Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером параграфа, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию резольвенты оператора класса Трибеля.

В первом параграфе приведены определение дифференциальных операторов класса Трибеля и другие необходимые определения и обозначения используемые в работе, а также постановка рассматриваемых задач. На основе определения (см. [13]. с. 511) дифференциальных операторов, принадлежащего Хансу Трибелю, имеем следующую постановку задач.

Пусть Q С Rпроизвольной интервал, т. е. О, = (а- 6), причем —оо ^ а < Ъ ^ +оо и pit) G С°°(Г2) — некоторая весовая функция, такая что.

I. lim pit) — lim p (t) = -f-oo, p (t) ^ 1- t->a+ t->b.

II. = Л = 0,1,2,.

В частности, в каждом ограниченном интервале существует функция р (х), для которой /о-1 (х) по существу совпадает с d (x) = dist (x, dQ).

Пусть тнатуральное число, vвещественные числа, причем v > р + 2 т. Положим ае/ = -i-(i/(2m — /) + pi), / = 0,1,. 2m.

Класс Трибеля p (t)) состоит из всех дифференциальных операторов вида т²¹ 2″ «» 1 jk, а = E^wmo⁷ + Е *G.

1—0 к=О.

Здесь bi (t) € C°°(Q), (/ = 0, m) — вещественные фуикции, все производные, которых (включая саму функцию) ограничены в ?7, то есть для всех к = 0,1,2,. dk.

Mt) sup ten +oo. dtk.

Далее требуется, что при некотором с > 0 для всех t? ?1 выполняются неравенства bo{t)>ct (-1)mbm (t)^c, (-l)%(t) ^ О, I — 1,2,. .m — 1.

Наконец, ak (t)? C°°(Q), (к = 0,2m— 1) — вещественные фуикции такие, что для всех j = 0,1, 2,. a{p (t) = о (pmh+j (t)) при t, а + и t^b-.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение.

Au = f, где AGSl^pW), ue^fi), SlcRi, f Е Lp (Cl).

Для определенного выше класса Трибеля дифференциальных операторов в пространстве Lp при 1 ^ р ^ -f-оо требуется исследовать разделимость и получить соответствующие коэрцитивные оценки.

В следующих четырех параграфах главы I изложены полученные автором результаты.

Приведем эти результаты.

Во втором параграфе получены некоторые вспомогательные леммы и неравенства по отношению весовой функции, коэффициентов оператора и фундаментального рещения уравнения с оператором класса Трибеля, которые применяются для оценки норм интегральных операторов.

Положим эе, = —-(v (2m-l)+fj, l), I = 0,2m, q (t) = b0(t) р320 (t), 5(t) = q~" (t), 2rn где.

0 < с < b{0kt) < +oo, к = 0,1, 2,., m G N, аэ0 = v > ^+2m, и =.

2m.

Q = (a, b), -oo ^ a < b ^ +00, q (t) G C^fi).

— некоторая положительная функция.

Лемма 0.1. Пусть в, аеположительные числа, 4ае ^ в. Пусть p (t) Е C1(Q) — некоторая, полоэ/сительная функция такая, что p'(t)^cp2(t), (О 0). (0.2).

Тогда для всех t, r? Q, Ур, v Е R и Vm E N таких, что v > p, + 2m, — r|gw® ^ 1 выполняются неравенства p®^2p (t), p{t)^2p®. (0.3).

Лемма 0.2. Пусть выполнены условия леммы 0.1 и неравенства q (t) ^ 2q{r) ^ 4g (i). Предположим, что для всех t Е П где эегг = —(z/(m — /) + /лЛ, / = 0,1, 2,. т. Тогда для всех r, t Е Q т таких, что 6t — гqw{r) ^ 1- справедливо неравенство.

— p^'M^WI < ае0−120е2'+шр®2'(г). (0.4).

Обозначим через Xe (t, T) — — 1(т))~ характеристическую функцию множества t, T):9t-T⁶®}, (0.5) где x (t) — 1″ если t ^ 1 и х (£) = 0, если |t| > 1. Положим fit (г, в) = {t Е П: 6t — т < 5(т)}, г Gfi, б") =. {г Е ft: 9t — r| ^ 5®}, t E Q.

Лемма 0.3. Пусть функции 5(t), q (t) и числа ге, 9 такие Dice объекты, что и выше. Тогда для всех t, T G ft справедливо mes ft,(r, в) ^ 2Г^М, (0.6) mes QT (t, в) ^ 2u}+1e~1q-uj (t). (0.7).

Положим оо.

1 Г e*s (f-r) = — /^-ds, (0.8).

Rj (t, r)= (j^J Ro (t, r),.

0.9) где iмнимая единица, (—1)mрЖ2т (т)Ьт (т) = 1, t, т G Q, s € R, Л > 0. Для j = 1, 2,., 2m — 2 имеем 00.

Rj.

Sieis (t-T).

0.10).

— oo ?(-I)V*2'MMT)52< + A /=0.

Лемма 0.4. Пусть выполняются неравенства q (t) ^ 2д (г) ^ 4д (£) г/, имеют место (0.8), (0.9), (0.10). Тогда при t ф т, t, r 6 О и для j — 0,1, 2,., 2га — 1 справедливы оценки d? dP d? jR0{t, r) dP jRo (t, r) ^(^D-I (t), причем.

0.11) (0.12) (0.13).

В третьем параграфе получается так называемое «основное тождество», которое состоит из финитной функции, равной сумме интегральных представлений.

Через Bk (Q), где k ^ 0- целое число, обозначается класс измеримых функций u{t) таких, что к ess sup 2. u^t) < +оо. ten i=0.

Подкласс класса Bk (Q) состоит из финитных функций u (t) € Вк (£1).

Пусть q (t) G С1^) — положительная функция такая, что q'(t)^W+" (t) — (0−14) где ае > 0. Напомним, что q (t) = /9ae°(i)60(^) и ш = ½т. Положим ОД = = ?>(#(* «где функция 0 при > 2 и = 1 при < 1. (0.15).

Обозначим.

Fx{t, r) = т) До (*, т), (0.16) где i, refi, веДь, А > о, (-i)mA>!B2m®bTO® = 1.

Предварительно, до получения основного тождества рассматриваются следующие леммы.

Обозначим через Bfoc{yi)-класс измеримых функций таких, что к ess sup ^^ |и^ (t) | < +00, teJ j=Q для любого компактного подмножества J С ?1.

Лемма 0.5. Пусть выполнены условия перечисленные выше. Тогда для любой функции w (t) G B[oc (Q,) функция w (t) = J F (t, r) w®dr (0.17) n принадлежит классу Bf™(Q). При этом, если w G i? g (Q) — mo w e Blm (Q).

Лемма 0.6. Пусть p№ 2l (t)bi (t) E C2l (Q), I = Tjnuq (t) = px°{t)b0(t) E.

G C (f2). Тогда для всех I = 1, 2,., т и, а = 1, 2,., 21 при t —" а+, t —" Ь— выполняется оценка.

D (l (p^{t)bl{t)) = o (l)q{t). (0.18).

Обозначим через Н гильбертово пространство ½(^)-Лемма 0.7. Пусть D (A) плотно в Н. Пусть u, v G Сд" 00^) — произвольные функции и оператор A G p{t)) удовлетворяет следующему тождеству.

Au){t)v (t)dt = J u (t)(A*v)(t)dt. (0.19) n n.

Тогда оператор А* формально сопряженный к, А имеет вид тп 2m —1.

А- = Y^i-iyp^mm? + ]г (-i)kak (t)D*+.

1=о тп.

1=1 a+0=2l j=О а>0.

2m—1 Е С" 1)* Е Cafi{D°ak (t))D?, (0.20) где к= 1 а+Р=21 а>0 а (3 ' idt) (а + Р) к (d — -г^—, L>t ~.

Учитывая лемму 0.6 и учитывая, что функции af.{t) и ее производные до порядка 2 т — 1 являются бесконечно малыми по отношению к функции p^k+l{t) при t а+, 6—, поэтому, отбрасывая бесконечно малые слагаемые в (0.20), имеем оператор Аэквивалентный оператору А*, в виде.

ТП = (0.21) 1=0.

Следовательно, операторы, А и А* самосопряженные.

Основной результат § 3 получен в следующей лемме, которая применяется при построении регуляризатора.

Лемма 0.8. Пусть числа в, аей функция q (t) такие же объекты, что и выше. Тогда для любой функции v{t) Е i? gm (f2) справедливо равенство v{t) = D2tm J R0(t, T) ipe (t, T) v{T)dT + J q (T)Ro (t, T).

A J Ro (t, T).

2m p? ct / {Dlm-iRa{t, r))(D, m (t, T))v{r)dr+ n m—1 2m «.

1 i=l й.

0.22) где числа С32т и С^ соответственно за висят только от m, j и I, j.

В четвертом параграфе строится правый регуляризатор для оператора A (t, Dt) y{t) G 21^(0- p (t))~ класса Трибеля, который способствует получению резольвенты и оценки резольвенты для оператора класса Трибеля.

Рассмотрим оператор тп—1.

A (t, Dt) y (t) = D*mm) +.

1=1.

2m—1 ikak (t)Dk{y{t)) + q (t)y (t) + Ay (t), (0.23) k=0 где A > 0, Д = ~ {-l)mff*m (t)bm (t) = 1, q{t) = p^WboW, эе2/ = — (i/(m — 0 + mOj v E Ri, m e N. rn.

Здесь q (t) G CX (Q) — p (?) G C2m (fi) — положительная функция,: (a- 6), —оо a < b ^ +oo.

Будем говорить, что оператор, А = A (t, Dt) G 21™u (Q', p (t)), где v > p 2m, если оператор Л = A (t, Dt) имеет вид (0.23) и выполнены следующие неравенства:

Ig’WlW^W, (0.24) p (n)MI ^ CnPl+n{t), п = 1, 2, 3,. (0.25) dk.

Mt).

МЛ| = sup|6/(fc)(i)|, A- = 0,1, 2,., Z = 0, m — 1, (0.26) t dtk где Mk < +oo. dk dtk.

— aj (t).

J — 0, 2m — 1, (0.27) где as > 0, 4ас ^ в.

В дальнейшем через Lpj будем обозначать класс непрерывных операторов в LPti (Q,). Обозначим через' ||T||P)j норму оператора Т G Lpj. Если Тинтегральный оператор с ядром T (t, г), то через Т' будем обозначать интегральный оператор с ядром T*(t, r) = T (r, t).

Пусть l (t) G Cl (R{) — положительная функция такая, что l'{t) ^ жб-^Щг) (0.28).

Теорема 0.1. Существуют числа О, эе > 0- зависящее только от т, такие, что если оператор, А? p (t)) и выполнено неравенство l'(t) ^ cs5~l (t)l (t), то оператор Fx? Lpj, 1 ^ р < +оо, Л > 0. При этом для любой функции v Е A) (ft) функция w (t) = J Fx{t, T) v®dT? (0.29) n и удовлетворяет равенству (А + AE) w = v + Gxv, (0.30) где Gнекоторый интегральный оператор, такой, что.

GX, G*X Е LPii, \Gx\p, i ^ Н^дЦр,/ ^ -.

После получения равенства (0.30) для оценки норм интегральных операторов Gx и Gx, кроме других вспомогательных лемм, также применяется следующая лемма.

Лемма 0.8.Пусть ае > 0, р*21 (t)bi (t), q (t) Е C (ft) где I = l, m — 1, g (t) = p®°(t)60(?), ft = (а- 6) и ае/ = -^-(i/(2m — П + /-А т? N,.

2 т вещественные числа, причем и > р + 2 т. Тогда для всех I — 1, т — 1, j = 1, 2 т и р < 0 при t —а+, t Ь— выполняются неравенства p^(t)bi{t) ^ зед1″ 2^), (о- = (0.31) aeg^W. (0.32).

В пятом параграфе подытоживаются все результаты первой главы для получения оценки резольвенты оператора класса Трибеля.

Обозначим через 1 < р ^ +оо класс функций u (t)? Lpj (Q), которые имеют в Lpj (Q) обобщенные производные u'(t), и" it), ., и.

2т) ^ в смысле академика Соболева С.Л.

В пространстве LPii (Q) введем оператор Ар по формуле Ари = Аи, считая за область определения D (Ap) оператора Ар множество всех функций u (t)? Qp) таких, что Аи? LPi/(ft).

Теорема 0.2. Оператор Ар является замкнутым оператором в пространстве Lpj (Q). Для достаточно больших, А ^ До (Ао > 0) оператор Ар -± АЕ имеет непрерывный обратный в LPii (Q).

В ходе доказательства теоремы 0.2 получены следующие существенные оценки.

АР+ AE)1||Pii ^ 1, (0.33) + ЕУ%, 1 const. (0.34).

Теорема 0.3. Пусть выполнены условия перечисленные выше. Тогда для всех X' Е р (АрfХЕ) и достаточно больших, А ^ Ао (Ао > 0) таких, что ||Ар||Р)/ ^ ^Цг^ ф А) справедливы оценки.

0.35).

Щх'-хМ1)\р, 1 < N, (0.36) где М, Nнекоторые константы, зависящие от, А и А'. В процессе доказательства получена существенная оценка.

Ар — (У — А)^)-1!^ ^ < const, (А' ф А) (0.37).

Полученная оценка обобщает оценки (0.33) и (0.34).

Вторая глава диссертации состоит из пяти параграфов (§ 6 —§ 10) и посвящена доказательствам теорем разделимости и коэрцитивным оценкам в различных областях, а также получению интегральных представлений в весовых пространствах.

Рассмотрение в различных интервалах исследования разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля связано с тем, что одна построенная весовая функция pit) для конкретной одной из интервала являющейся: ограниченной, полуограниченной справа, полуограниченной слева, неограниченной — неприменима для других названных интервалов и также наоборот.

В шестом параграфе диссертации исследована разделимость дифференциальных операторов класса Трибеля на интервале (0, 1). Предположим, что q (t) Е ^((0,1)) и имеет место оценка g (f)| = 0(l)g1+w (t), (t —" 0+, 1—), (0.38) где.

Относительно весовой функции l (t) предположим, что l (t) Е С1 ((0,1))-положительная функция и выполняется оценка l'(t) = o (l)l (t)f{t), (* 0+, 1-). (0.39).

При выполнении оценок (0.38) и (0.39) для достаточно большого положительного числа Л легко можно получить неравенства эе.

0.40) q'(t)(q (t) +)1+". (0.41).

Теорема 0.4. Пусть 1 ^ р < +оо и, А? 2l^((0, l)-, p (t)). Тогда для любой функции г/еМ (0,1))ПИ^7ос ((0,1)), для которой Ау? Ьр ((0,1)) справедливы включения d21 dk P*4tMt)-^y (t), ak (t)^y (t) в Lp ((0,1)),.

0.42) k = 0, 2m — 1, / = 0, m. При этом выполняется неравенство i /р р

Й ^ М (II/IUp ((o, D) + lblUP ((o, D)), (0−43) где число М > 0 не зависит от р, у, /.

В процессе доказательства получены следующие важные оценки const, I = 0, 771.

0.44) dk const, k = 0, 2m — 1. (0.45).

LPm.

Оценки (0.44) и (0.45) при l{t) — 1 доказывают разделимость дифференциального оператора, А класса Трибеля в Lp (Q).

Главным результатом параграфа является следующая теорема. Теорема 0.5. Пусть у, f = Ay Е Loo ((0,1)). Тогда справедлива оценка.

2 т Е.

3=0 м.

Ьоо ((0,1)) ьс mi)) + ll2/IU=o ((o, i))), (°-46) где число М > 0 не зависит от у, /.

Для доказательства теоремы была применена следующая лемма. Лемма 0.9. Пусть выполняются неравенства (0.40), (0.41). Тогда для функции lp (t) = (1 + t2)~llpl{t) (0.47) для достаточно больших р ^ ро, ро ^ 1 выполняется неравенство l’p (t) ^ as (q (t) + Л)%(*), uj = ½т. (0.48).

В седьмом параграфе исследуется разделимость обыкновенных дифференциальных операторов класса Трибеля на положительной полуоси.

Пусть Q = R+ = (0, +оо). Пусть, А Е 21™v (R+i p (t)), где p (t), р, v, т-такие же объекты, что и выше. Класс функций и оператор Ар такие же, как в пятом параграфе.

Пусть (р G Cq>(Ri)~ неотрицательная функция такая, что ip (t) = 1 при |?| < 1 и y>{t) — 0 при |i| > 2. Положим оо.

F (t, r) = (2-K)~lip (6(t — т)5~1(т)) J eia<-t-ra (T, s) +)-1ds, (0.49).

— оо где 6(т) = р-«/2т (т)Ъ-½т (т), та а (г, 5) = ^(-1)У2'(^/(ф2/, r, t, Л > 0, sERl 1=0.

Теорема 0.6. Пусть 1 ^ р < +оо. Тогда для всех функций u (t) Е Lp (0: +оо) таких, что f = Аи G Lp (R+) выполняется неравенство о +оо 1/р *7П Г J7 Р.

-<> о dt < М (\f\Lp + 1Мк ((Я+))), (0.50) где число М > 0 не зависит от р, и, /.

Для доказательства теоремы 0.6 доказаны и применены следующие лемма и теорема.

Лемма 0.10. Пусть ядро F (t, r) имеет вид (0.49) и функция ip (t) выполняет вышеприведенное условие. Тогда при достаточно малых в > 0 и для всех r, t G R+ таких, что 9t — т ^ оператор F с ядром F (t, r) обладает следующим свойством:

Fx: CS?(R+) СПД+).

Теорема 0.7. Существуют числа в, Aq > 0 такие, что для всех р G [1- +оо] и, А ^ Ао, справедливо представление.

Ар + ХЕ)'1 = F (E + Qa), (0.51).

Теорема 0.7. Существуют числа 9, о > 0 такие, что для всех р 6 [1-+оо] и, А ^ Aq, справедливо представление сAp + E)~l = Fx{E + Qx),.

0.51) в котором норма оператора Qx: LP (R+) —> LP (R+) не превосходит ½.

С учетом теорем 0.6, 0.7 и лемм 0.9, 0.10 главный результат параграфа получен в следующей теореме.

Теорема 0.8. Пусть у, f — Ay 6 L00(R+). Тогда справедлива оценка.

2 т Е j=o o^vit) м.

Loo (R+).

Loo (R+) 1Ык (я+)) > (0−52) где число М > 0 не зависит от у, /. Весовая функция p (t) на R+ имеет вид pit) если 0 < t ^ 1 г' t, если 2 ^ t < +оо.

В восьмом параграфе исследовано и получено интегральное представление функций из весовых классов C.JI. Соболева на интервале (0,1) и на положительной полуоси R+. Введем весовое пространство.

W^pP^pT) функций y (t), определенных на отрезке О, с конечной нормой i/p.

0.53).

2 т Е.

1=0 п.

2 т y, w200m (n]P" /fn = J2.

1=0 dt oo ((0,l)).

0.54).

0.55).

Здесь p{t), as/, ц, и, m такие же объекты, что и выше.

Введем интегральный оператор F с ядром F (t, r) вида (0.49) ц> Е Cq>{R) — неотрицательная функция такая, что </?(?) = 1 при t < 1 и ip (t) = 0 при |?| > 2. Пусть Q = (0,1). При этом справедлива Теорема 0.9. Пусть 1 ^ р ^ +оо. Линейный оператор

FA:Lp (0,l)-> И^((0,1УУУ) справедливо интегральное представление 1 u (t) = J Fx{t, r)3/®dr, у E Lp (0,1), (0.56) о и выполняются неравенства ci\y\Lpm ^ ^ c2\y\Lp{од), (0.57) где числа с, с2 > 0 не зависят от у, и.

Пусть теперь Q = R+ = (0, +оо). С оператором, А Е 21 p (t)) свяжем весовое пространство (0.53) функций y (t) с конечной нормой (0.54), (0.55). о 2 т.

Через Wp {R+] (Р11, Рри) обозначим замыкание Cq°(R+) в пространстве Wpm (R+] рР¹, рРи).

Теорема 0.10. При 1 ^ р ^ Ч-оо выполняются равенства.

О 2 т.

D (AP) = W*m (R+] ff' f? v) =WP (R± (?u) — (0−58).

Для функций у it) E Wp7n{R + справедливо интегральное представление oo y (t)= J F (t, r) u®dr, и E LP (R+), (0.59) о где F (t, r) — ядро вида (0.49).77рм этом выполняются неравенства cilMlMAb) < y, W*m (R+', pWyn < c2\u\Lp{R+), (0.60) где числа с, с2 > 0 не зависят от у, и, р.

В конце параграфа приведено другое эквивалентное определение оператора Ар. Пусть, А Е p (t)). Введем в LP (R+) оператор А', с областью определения Cq°(R+), заданный по формуле.

А’у = Ау, у Е C™(R+). (0.61).

Пусть 1 ^ р < +оо, а А’р обозначает замыкание в LP (R+) оператора А'. Теорема 0.11. Для всех р Е [1, +оо) справедливо равенство Ар = А’р. В девятом параграфе исследованы и получены оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений с оператором класса Трибеля на всей оси в пространстве Lp (1 ^ р ^ +оо) с некоторым наперед заданным весом k (t).

Пусть ft = (-00, +00) = R. Пусть A E (Rp (t)), где p (t), p, v, m-такие же объекты, что выше. Пусть q (t) Е Cl{R) и q'(t) = o{l)q1+U}(t), t —У ioo, и = ½т. (0.62).

Напомним, что q (t) = (£)Ь0(^) — Далее, пусть l{t) Е СХ (Я) — положительная функция и.

J'(i)| = o (l)l (t)q" (t) (t ±00). (0.63).

Кроме того, пусть ?-(?) Е C1(i?) — положительная функция fc'(aO| ^ Mifc (i), Afi > 0. (0.64).

Получена следующая теорема.

Теорема 0.12. Пусть, А Е 21™"{Rp (t)), р < +оо. Тогда для решения y (t) уравнения Ау = / справедлива оценка.

2 т.

J2 тр*>^ H\kf\LpiR) + цадМд>). (0.65) j=о.

Если конечна правая часть (0.65) — число Л > 0 не зависит от у, f, р.

Для числовой оси R = (—сю, -foo) весовая функция p (t) имеет вид p (t) = t2 + 1.

В десятом параграфе исследованы оценки решений дифференциальных уравнений на произвольной области и получены L^- оценки решений уравнения Аи = /- u, / Е Loo (ft), где, А — дифференциальный оператор класса Трибеля, ft = (a, b), —00 ^ а < 6 ^ +оо.

Основной результат параграфа сформулирован в следующей теореме. Теорема 0.13. Пусть, А Е 21%&bdquo-(С2- p (t)), / Е А"(ft). Тогда для решения и Е Lqo (ft) уравнения Аи = / выполняется оценка.

2 т.

Ell^W^WIU^) ^ Mdi/U^n, + iMUoo (n)), j=0 где число М > 0 не зависит от и, f.

Для произвольного интервала ft = (а, 6), где —00 ^ а < b ^ +оо построена весовая функция p (t) в виде t2 + 1, если t Е ft = {(ab): а = —со, b = -{-со} i2, если? Е ft = {(а- 6): —оо < а < b = +00} i-a.

—-Ь если? Е ft = {(а- 6): —оо = а < 6 < +00}.

О t 1.

-—^у, если? Е ft = {(а- 6): —00 < а < b < +00}.

Также для коэффициентов оператора, А? p (t)) построены следующие функции k (t) = (-1)lm.

1 +(-1)г (т+0 + 1 m? N, t? ft, Z = 0,1,2,.

7 Г Л 1.

Вышепостроенные функции удовлетворяют всем условиям, имеющимся в определении дифференциальных операторов класса Трибеля по отношению весовой функции и коэффициентов оператора. Этим завершается Глава II диссертации.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию на межреспубликанской научно-практической конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физикивторые боголюбовские чтения» (г. Киев, 1992 г.) — международной конференции Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами (г. Душанбе, ТГНУ, 1996 г.) — республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (г. Курган-Тюбе, 1991 г.) — республиканской научной конференции «Математика и информационные технологии «(г. Душанбе, Институт математики (ИМ) АН РТ, 2006 г.) — республиканской научной конференции «Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений» (г. Душанбе, 2007 г.) — научно-исследовательском семинаре отдела функционального аиализа ИМ АН Республики Таджикистан «Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов «(руководители доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Бойматов К. Х. и доктор физ.-мат. наук профессор Исхоков С.А.), 1991;2008 гг.- общеинститутском семинаре ИМ АН Республики Таджикистан (руководитель семинара доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ, Рахмонов З.Х.).

1. Everitt W.N., Giertz. Some propertis of the domains of certain differential operators. Proc. London., Math. Soc. (3), 1971, 23, № 2, p. 301−324.

2. Everitt W.N., Giertz. Some inequalities associated with centain differential operators. Mathematica 1972. Bd 126. № 4. p. 308−326.

3. Everitt W.N., Giertz. Some propertis of the power of a formally seff-adjoint differential expression.Proc. London., Math. Soc. (3), 1972, vol 24, № 1, p.149−170.

4. Everitt W.N. Some propertis of the domains of the power of certain differential operators. Proc. London., Math. Soc. (3), 1972, vol 24, № 4, p.756−768.

5. Giertz M. Report from the conference on ordinary and partial differential equations held in Dundee. March 30-Apr 2.1976 Stockholm-Trita Math. 1976, 7.

6. Бойматов K.X. Теоремы разделимости для оператора Штурма-Лиувиля. Мат. заметки, 1973, т. 14, № 3, стр. 349−359.

7. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости. Доклады АН СССР, 1973, т. 213, № 5, с. 1009−1011.

8. Бойматов К. Х. Lp оценки обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР, 1975, т. 223, № 3, с. 521−524.

9. Бойматов К. Х. Об области определения оператора Штурма-Лиувилля. Диф. урав., 1976, т. 12, № 7, с. 1151−1160.

10. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения к краевым задачам.// ДАН СССР, 1979, т.247, № 3, с. 610−612.

11. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения.// Труды МИАН СССР, 1984, т. 170, с. 37−76.

12. Бойматов К. Х. Сильно выражающиеся эллиптическое дифференциальное операторы класса Трибеля. // Известия вузов. Математика, 1988, т.8, с. 39−47.

13. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Издательство «Мир», Москва 1980.

14. Бойматов К. Х., Лизоркин П. И. Оценки роста решений дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, с. 578−588.

15. Бойматов К. Х. Коэрцитивное оценки и разделимость для нелинейных операторов второго порядка. // Математические заметки, 1989, т. 46, выпуск 6, с. 110−112.

16. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штурма-Лиувилля.// Математические заметки. 1974, т. 16, с. 969−980.

17. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов. Доклады АН СССР, 1977, т. 234, ЖЗ, с. 540−543.

18. Измайлов А. Л. Гладкость решений дифференциальных операторов и теоремы разделимости: Канд. дис. Алма-Ата, 1978.

19. Раимбеков Д. Ж. Гладкость решений в Ь2 сингулярного уравнения. // Изв. АН Каз. ССР, Сер. физ.-мат., 1974, №, с. 78−83.

20. Аманова Т. Т. Муратбеков М.Б. Разделимость нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь{—оо, +оо). // Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, № 3, с. 57−59.

21. Гриншпун Э. З., Отелбаев М. О гладкости решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля в Ь{—оо, +оо). // Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, № 5, с. 26−29.

22. Абудов А. А. О разделимости одного оператора, порожденного операторно-дифференциальным выражением. // В сб: Спектральная теория операторов. Боку, 1982, с. 4 — 11.

23. Биргебаев А. Разделимость одного дифференциального оператора в Lp. Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, № 5, с. 26−29.

24. Биргебаев А., Отелбаев М. О разделимости нелинейного дифференциального оператора третьего порядка.// Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1984, № 3, с. 11−13.

25. Бойматов К. Х., Шарипов А. Коэрцитивное свойства нелинейных операторов Шредингера и Дирака. ДАН России, 1992, т. 326, № 3, стр. 393−398.

26. Бойматов К. Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. // ДАН СССР, 1988, т. 301, с. 1033−1036.

27. Отелбаев М. О гладкости решений дифференциальных уравнений.// Известия АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., 1977, № 5, с. 45−48.

28. Отелбаев М. О гладкости решений псевдодифференциальных уравнений и теоремы разделимости. В кн. Математические исследование, Кар. ГУ, Караганда, 1976, вып. 3, с. 92−102.

29. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn. // Труды МИАН СССР, 1983, т.161, с. 195−217.

30. Шарифов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциального оператора произвольного порядка. // Известия АН Тадж. ССР, 1989.

31. Бойматов К. Х., Шарифов А. Разделимость одного дифференциального оператора в Ь2.// Сборник тезисов П-ой всесоюзной школы по теории операторов. 1986, ч.З.

32. Биргебаев А. Гладкость решений нелинейного дифференциального оператора с матричным потенциалом. // Тезисы докладов VIII-ой республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике. Алма Ата, 1984, с. 11.

33. Биргебаев А. Оценки промежуточных производных одного разделенного оператора. // Тезисы докладов VI 1-ой Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда, 1981, с. 12.

34. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: «Наука», 1988.

35. Ойнаров Р. О разделимости оператора Шредингера в пространстве суммируемых функций. ДАН СССР, 1985, т. 285, с. 1062−1064.

36. Everitt W.N., Gierts М. An example concerning the separation property for differential operators. Proc. Roy. Soc Edinburgh, 1973, Vol 71. p. 159−165.

37. Everitt W.N., Gierts M. Inequalities and separation for Schrodinger type operators in L2(Rn). Proc. Rov. Soc Edinbugh 1977. Vol 79. p. 257−265.

38. Everitt W.N., Gierts M. A Dirichlet type results for odinary differential operators. Math. Ann., 1973, Vol 203. № 2, p. 119−128.

39. Atcinson F. V. On some results Everitt and Gierts. Proc. Roy. Soc Edinbugh A 1973. Vol 71. p. 151−158.

40. Evans W.D., Zettl A. Dirichlet and separation results for Schrodinger type operators. Proc. Roy. Soc Edinbugh A 1978. Vol 80. p. 151−162.

41. Исхоков С. А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. // В сб: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей. М. Издательство МГУ, 1984, с. 130−131.

42. Бойматов К. Х., Шарипов А. Коэрцитивные оценки и разделимость для дифференциальных операторов произвольного порядка. // Успехи мат. наук 1989 т. 44, вып. 3, с. 147−148.

43. Байрамоглы М., Абудов А. А. О существенной самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами.// В сб: спектральная’теория операторов. Баку, 1982, с. 12−20.

44. Рахимов З. Х. Оценки роста решений дифференциальных уравнений нечетного порядка, канд. дисс. Душанбе, 1993.

45. Мохамед А. С. Разделимость оператора Шредингера с матричным потенциалом.// Доклады АН Таджикистана 1992, т. 35, № 3. с.510−515.

46. Мохамед А. С. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричными потенциалам. // В сб: Тезисы Республиканской научной конференции «Теория приближения и вложения функциональных пространств» , — Караганда 1991, с. 88.

47. Каримов О. Коэрцитивное свойства нелинейных дифференциальных операторов второго порядка. Канд. дисс., Душанбе 2000.

48. Юсупов А. К. О разделимости обыкновенного дифференциального выражения с сингулярными коэффициентами. // Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18−21 апреля 1991 г. Курган-Тюбе, с. 108.

49. Левитан Б. М., Саргесян И. С.

Введение

в спектральную теорию. // М., 1970.

50. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. // М., 1954.

51. Крейн. С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве // М., Наука, 1971.

52. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. // М., «Наука», 1989.

53. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, том 3, М., «Высшая школа», 1989.

54. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. // М., «Наука», 1981.

55. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. II, «Наука», 1969.

56. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том пятый, изд-во физ. мат. литературы, М., 1960.

57. Никольский С. М., Лизоркии П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональное пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Известия высших учебных заведений, № 8 (315), 1988, с. 4−30.

58. Бакоева М. М., Исхоков С. А. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля с несимметричным матричным потенциалом. // Вест. Хорогского университета, 2002, серия 1, № 5, с. 43−51.

59. Бакоева М. М. Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов. Канд. дисс., Душанбе-2002.

60. Шодиев М. С. Разделимость операторов Штурма-Лиувилля и Шре-дингера в пространстве вектор-функций с взвешспо-суммируемыми компонентами. Канд. дисс., Душанбе 2000.

61. Гаибов Д. С. О разделимости дифференциальных операторов класса Трибеля на отрезке. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18−21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе 1991, с. 138−139.

62. Гаибов Д. С. Интегральное представление функций одного весового пространства С. Л. Соболева. //Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана. 18−21 апреля 1991 года, Курган-Тюбе 1991, с. 136−137.

63. Гаибов Д. С. Обыкновенные дифференциальные операторы класса Трибеля на полуоси. // Доклады АН РТ, т. XXXVI, № 12, Душанбе- 1993, с.571 574.

64. Гаибов Д. С. Оценки решений дифференциальных уравнений. // Международная конференция «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами.», Душанбе, ТГНУ, 17−19 ноября 1996 г., Тезисы докладов, с. 28.

65. Гаибов Д. С. Построение регуляризатора для операторов класса Трибеля. // Материалы научной конференции «Математика и информационные технологии», Институт математики АН РТ, 27 октября 2006 г., Душанбе 2006, с. 16 — 17.

66. Гаибов Д. С. Построение правого регуляризатора для сопряженного оператора класса Трибеля. // Доклады АН РТ, том 50, № 2, Душанбе- 2007, с. 5 10.