Разработка и исследование методов идентификации нелинейных динамических объектов на основе принципа инвариантности к преобразованиям случайных сигналов

Актуальность темы

исследования. Как известно, нельзя обеспечить качественное управление системой, если ее математическая модель не известна с достаточной точностью. В связи с этим, проблема идентификации, то есть построения математической модели объекта по экспериментальным данным, является исключительно важной.

Во множестве случаев существует необходимость проведения идентификации в широком смысле, когда априорная информация об объекте либо незначительна, либо вообще отсутствует. В этом случае для идентификации объекта необходимо решение ряда дополнительных задач, связанных с выбором класса модели, а именно, модель должна быть статическая или динамическая, линейная или нелинейная и так далее. В настоящее время теория идентификации в широком смысле не получила еще достаточного развития из-за отсутствия формализованных подходов выбора класса модели и поэтому находится в стадии становления.

Второй актуальной проблемой является то, что в настоящее время в наибольшей степени разработаны методы идентификации стационарных линейных динамических объектов, хотя на практике в задачах управления, как правило, мы имеем дело с нелинейными динамическими объектами (НДО). Идентификация же НДО даже в стационарном случае встречает существенные затруднения, поскольку такие объекты не удовлетворяют принципу суперпозиции. Существующие методы идентификации нелинейных динамических объектов делятся на две группы: методы, строящие линейные и существенно нелинейные модели. Линейное представление нелинейного объекта во многих случаях не является адекватным целям идентификации, а в некоторых случаях вообще не имеет смысла. Пример тому — система экстремального регулирования. Методы же дающие нелинейное представление неточны и громоздки и поэтому далеки от практического применения. Если установлено, что объект, подлежащий идентификации, нелинейный динамический, то, как правило, переходят к упрощённым моделям нелинейных динамических объектов. Наиболее известными примерами таких моделей является множество моделей типа Гаммерштейна-Винера, представляющих собой различные комбинации последовательного соединения статических нелинейных и динамических линейных элементов. Основной сложностью создания таких моделей является то, что внутренние сигналы в них недоступны для измерения, в силу чего существующие методы идентификации НДО даже в рамках моделей типа Гаммерштейна-Винера достаточно сложны. При этом открытым остаётся вопрос: Какая из вышеуказанного множества моделей будет описывать идентифицируемый объект наиболее точно.

Исходя из сути таких моделей, с точки зрения простоты их построения, по мнению автора, представляет интерес подход, основанный на принципе инвариантности к преобразованиям случайных процессов в отдельных элементах моделей типа Гаммерштейна-Винера и заключающийся в поиске таких характеристик, методов, условий идентификации, которые позволяли бы сначала идентифицировать любой один из элементов объекта типа Гаммерштейна-Винера вне зависимости от параметров оставшихся. Задача же идентификации оставшихся элементов при одном известном существенно упрощается.

Из вышесказанного прямо вытекает актуальность, во-первых, разработки методов формализованного выбора класса модели, с одной стороны, адекватного идентифицируемому объекту, с другой стороны, допускающего существование эффективных методов их построения, и во-вторых, разработка одновременно простых и эффективных методов идентификации нелинейных динамических объектов на основе представления таких объектов моделями типа Гаммерштейна-Винера с формализацией процесса выбора модели из этого класса.

Целью работы является разработка методов формализованного выбора класса модели в условиях априорной неопределённости о классе объекта, а так же разработка и исследование новых методов идентификации стационарных нелинейных динамических объектов в рамках моделей типа Гаммерштейна-Винера.

В соответствии с указанной целью в рамках диссертационной работы поставлены и решены следующие задачи:

1) разработка новых методов и программного обеспечения идентификации стационарных1 нелинейных динамических объектов в рамках моделей Гаммерштейна и Винера;

2) исследование свойств оценок используемых в этих методах конкорреляционных характеристик;

3) исследование метрологических показателей разработанных методов идентификации;

4) разработка формализованного подхода к выбору класса модели идентифицируемого объекта в условиях априорной неопределённости.

Методы исследований. Включённые в диссертационную работу результаты получены при использовании методов теории идентификации динамических объектов, теории вероятности, математической статистики, теории случайных функций, системного анализа путём аналитических выкладок и машинного экспериментирования.

Научная новизна диссертационного исследования заключается, во-первых, в предложенной и обоснованной оригинальной идее идентификации НДО в классе моделей типа Гаммерштейна — Винера. Она основана на появлении у отдельных характеристик связи случайных процессов (ХССП) при определённых условиях идентификации свойства инвариантности к преобразованиям случайных сигналов в тех или иных звеньях моделей типа Гаммерштейна — Винера и заключается в выборе.

1 В дальнейшем, слово стационарный опускается модельного представления НДО через такие ХССП, которые позволяют выделять отдельные идентифицируемые элементы модели типа Гаммерштейна — Винера, когда другие элементы становятся как бы прозрачными, т. е. когда модель НДО становится инвариантной к другим элементам объекта, если они принадлежат к определённым ранее классам. В рамках указанной идеи впервые на основе конкорреляционных и условных ХССП разработаны и исследованы методы идентификации НДО в классе моделей Гаммерштейна и Винера.

Во-вторых, впервые предложена идея вектор-идентификации, а именно, идентификации с помощью априорно определённой системы моделей, в рамках которой на основе инвариантных к преобразованиям случайных сигналов характеристик решена задача формализованного выбора класса модели идентифицируемого объекта в условиях априорной неопределённости о классе объекта.

Таким образом, на защиту выносятся:

1. Метод идентификации нелинейных динамических объектов в классе моделей Винера на основе применения конкорреляционных ХССП.

2. Метод идентификации нелинейных динамических объектов в классе моделей Гаммерштейна на основе применения условных ХССП.

3. Метод вектор-идентификации, позволяющий осуществлять формализованный выбор класса модели идентифицируемого объекта в условиях априорной неопределённости о классе объекта.

4. Результаты аналитического и машинного исследования предложенных методов.

Практическая значимость диссертационного исследования. Комплекс разработанных методов позволяет путём незначительного усложнения средств идентификации линейных динамических систем эффективно решать задачи практической идентификации НДО в условиях априорной неопределённости о классе объекта в рамках моделей.

Гаммерштейна и Винера. Простота программной и аппаратной реализации предложенных методов расширяет область практического применения методов теории идентификации в целом. Метод вектор-идентификации позволяет выбрать класс модели, адекватной идентифицируемому объекту, что повышает соответствие получаемой в процессе идентификации модели реальному объекту.

Реализация результатов исследования. Результаты диссертации реализованы при выполнении гранта Минобразования РФ 1998;2000 гг. «Теоретические основы системного моделирования сложных технических объектов» по направлению «Информатика. Кибернетика», гранта Минобразования РФ 1998;1999 гг. «Университеты Россиифундаментальные исследования», гранта по ЕЗН Минобразования РФ 1999— 2000 гг. «Исследование методов и средств искусственного интеллекта применительно к компьютерному анализу данных». Результаты работы приняты к внедрению в процесс проектирования изделий НИИ электронных приборов и используются в учебном процессе НГТУ, что подтверждается актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы обсуждались на: The Fifth International Conference Computer Data Analysis and Modeling (Minsk: BSU, 1998) — третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998) — международной научно-технической конференции «Научные основы высоких технологий» (Новосибирск: НГТУ, 1997 г.) — The third Russian — Korean International Symposium on Science and Technology (Novosibirsk: NSTU, 1999) — Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции «Научный потенциал Сибири» (Новосибирск: 1996, 1997 г. г. (в 1996 г. отмечены Дипломом III степени)) — конкурсе студенческих научно-исследовательских работ кафедры ВТ НГТУ (Новосибирск: НГТУ, 1996 г. (отмечены Грамотой за II место)) — 9 студенческой конференции в рамках Дней науки (Новосибирск: НГТУ, 1996 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, глава (40 с.) отчёта по НИР (гос. per. № 01.990.4 265, Новосибирск, 1999, 145 е.), 4 работы приняты к публикации и находятся в печати.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии, трёх приложений. Диссертация содержит 120 страниц основного текста, 45 рисунков, 9 таблиц.

Результаты исследования базового метода МНК на линейных МО с помощью пакета ГОЕМЯ были подробно описаны в [8]. Для удобства сравнения трёх методов:

МНК идентификации линейных МО, ККМНК идентификации ДЛЭ МО Винера и.

УМНК идентификации ДЛЭ МО Гаммерштейна, исследования методов ККМНК и УМНК проводились в соответствии с исследованиями метода МНК, описанными в [8]. Использовались те же типовые МО ДЛЭ трёх видов, характеризующиеся неколебательной (I), слабоколебательной (II) и среднеколебательной (III) ИПФ [8].

По причине того, что оценки ИПФ и АЧХ ДЛЭ разработанными методами не несут информации об истинном масштабе ИПФ и АЧХ МО, а исследователя интересует только информация об их форме, для оценивания точности идентификации введена новая метрологическая характеристикаотносительная среднеквадратическая ошибка идентификации нормированной характеристики (в дальнейшем для краткости просто среднеквадратическая ошибка идентификации), которая, например для отсчётов ИПФ имеет вид: где Ь^ - количество отсчётов ИПФ. Нормировка проводится по нижеследующему алгоритму:

1. Находится значение максимума идентифицируемой характеристики модельного объекта к^х и номер отсчёта этого максимума I.

2. Найденные в результате идентификации отсчёты оценки идентифицируемой характеристики умножаются на коэффициент •.

Ниже представлены результаты исследований по сравнению среднеквадратических ошибок идентификации ИПФ линейного МО методом МНК, и ИПФ ДЛЭ МО Винера и Гаммерштейна соответственно.

4.4) h’j = hj •, j = 1, L^. методами ККМНК и УМНК. Далее, при упоминании метода ККМНК будет иметься в виду, что он используется для идентификации ДЛЭ МО Винера, а при упоминании метода УМНК будет иметься в виду, что он используется для идентификации ДЛЭ МО Гаммерштейна, при этом названия МО будут опускаться.

На рис. 4.3 и рис. 4.4 представлены зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ e^Q от частоты регуляризации Qp при различных уровнях некоррелированной широкополосной (ШП) помехи на выходном сигнале для соответственно объектов (I) (рис. 4.3) и (III) (рис. 4.4). Как видно из графиков, из-за меньших ошибок на высоких частотах для метода ККМНК, он менее критичен к точности выбора частоты регуляризации сверху. Это объясняется фильтрующими свойствами преобразования случайных сигналов через свою ФР при нахождении ККФ.

В дальнейшем исследовались только методы с частотной регуляризацией =28.5 р/с.

При изменении частоты среза С2Х входного сигнала (рис. 4.5) для методов ККМНК и УМНК была замечена необходимость незначительного увеличения по сравнению с алгоритмом МНК ширины спектра входного сигнала. Это иллюстрирует общую большую чувствительность ошибки идентификации методов ККМНК и УМНК к условиям проведения эксперимента. Дальнейшие результаты приведены для Qx = 40 р/с.

При изменении шага дискретизации, А t = 1- A/q посредством параметра / (рис. 4.6) каких либо существенных отличий в выборе параметра / в методах KICMHK и УМНК по сравнению с МНК не отмечено и оптимальное значение / находится в широких пределах. Для дальнейших исследований взято значение At = 5- АtQ = 0.05 с.

Рис. 4.7 во всех случаях подтверждает уменьшение погрешности идентификации при увеличении интервала усреднения (параметр рт) при вычислении корреляционных и конкорреляционных функций.

Рис. 4.8 отражает идентичность методов в наличии оптимального значения количества отсчётов L^ идентифицируемой ИПФ. Такое положение объясняется тем, что для всех методов с уменьшением параметра Ljq, с одной стороны, уменьшается мерность матрицы решаемой системы уравнений и возрастает параметр рг, а, с другой стороны, возрастает ошибка из-за усечения хвоста ИПФ, и ухудшаются условия стационарности используемых отрезков реализаций сигналов.

Проведённые сравнения указывают на то, что у рассмотренных методов при работе с линейными элементами имеются общие закономерности появления погрешностей. В добавление к этому, методы ККМНК и УМНК обладают дополнительной погрешностью из-за отличия закона распределения входного сигнала от нормального, а метод УМНК имеет дополнительную погрешность в определении оценки ИПФ из-за погрешности определения выходной характеристики СНЭ, которая идентифицируется первой.

Рисунки 4.9 и 4.10 отражают зависимости ошибок идентификации ИПФ от уровня некоррелированной (чёрные линии) и коррелированной (серые линии) ШП помехи на выходном сигнале Зу в случае At -5- Д^о = 0.05 с (рис. 4.9) и At = At0 = 0.05 с (рис. 4.10).

При At0 = 0.01с обеспечивается хорошая базовая (в отсутствие помех) точность идентификации, однако параметр рт принимает минимальное значение, в результате чего с увеличением уровня некоррелированной помехи ошибка идентификации резко возрастает. При A/q =0.05 с базовая точность методов понижается, однако параметр рг существенно возрастает (примерно в 10 раз), вследствие чего помехоустойчивость увеличивается.

Рис. 4.3. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ е! ю от частоты регуляризации Ц, при различных уровнях некоррелированной ШП помехи на выходном сигнале для МО (I) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК (справа).

Рис. 4.4. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от частоты регуляризации Q. p при различных уровнях некоррелированной ШП помехи на выходном сигнале для МО (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК (справа).

Рис. 4.5. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от частоты среза Q. x входного сигнала для МО (I), (II) и (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК (справа).

Рис. 4.6. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от шага дискретизации At=lAt0 посредством параметра / для МО (I), (II) и (III) для методов МНК (слева), УМНК посередине) и ККМНК (справа).

Рис. 4.7. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от интервала усреднения (параметр рг) для объектов (I), (II) и (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК справа).

Рис. 4.8. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ е^ от количества отсчётов Lh идентифицируемой ИПФ для объектов (I), (И) и (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и.

ККМНК (справа).

Рис. 4.9. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от уровня некоррелированной (чёрные линии) и коррелированной (серые линии) ШП помехи на выходном сигнале ду в случае А/=5? А/0=0.05 с для объектов (I), (II) и (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК справа).

Рис. 4.10. Зависимости относительной среднеквадратической ошибки идентификации ИПФ eho от уровня некоррелированной (чёрные линии) и коррелированной (серые линии) ШП помехи на выходном сигнале 8у в случае Ai=i0=0.05 с для объектов (I), (II) и (III) для методов МНК (слева), УМНК (посередине) и ККМНК (справа).

Результаты машинных экспериментов, отражённые на рисунках, прямо свидетельствуют о возрастании ошибок идентификации с увеличением уровня помехи и степени колебательности ИПФ. Увеличение уровня помехи с увеличением её коррелированности иллюстрирует статистический подход к помехоустойчивости. Так же необходимо сделать заключение о худшей помехоустойчивости методов ККМНК и УМНК вследствие наличия дополнительных, по сравнению с МНК, погрешностей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Проведён обзор, систематизация, классификация и анализ существующих методов идентификации нелинейных динамических объектов (НДО) в зависимости от класса строящейся в процессе идентификации модели. На основе данного анализа сформулирована необходимость разработки новых одновременно простых и эффективных методов идентификации НДО с формализацией выбора класса модели.

2. Разработан конкорреляционный метод идентификации НДО в рамках новой модели, являющейся частным случаем модели Гаммерштейна-Винера. Метод основан на применении конкорреляционных ХССП, инвариантных к преобразованиям сигналов в статических нелинейных элементах предложенной модели.

3. Разработан метод идентификации НДО в рамках модели Винера, основанный на применении конкорреляционных ХССП.

4. Разработан метод идентификации НДО в рамках модели Гаммерштейна, основанный на применении условных ХССП, инвариантных к преобразованиям в динамическом линейном элементе.

5. Аналитически и с помощью машинного экспериментирования исследованы метрологические показатели методов идентификации НДО в рамках модели Гаммерштейна и модели Винера.

6. С помощью машинного экспериментирования исследована помехоустойчивость методов идентификации НДО в рамках модели Гаммерштейна и модели Винера к коррелированным и некоррелированным аддитивным помехам.

7. Исследованы свойства оценок конкорреляционных функций, используемых в разработанных методах. Проведён сравнительный анализ свойств оценок корреляционных и конкорреляционных функций, находимых по методу эмпирических характеристик. Отмечена в.

139 определённых случаях лучшая эффективность свойств оценок конкорреляционных функций по сравнению с корреляционными.

8. В рамках вариативного моделирования разработан метод вектор-идентификации, отличительной особенностью которого является представление сложного объекта системой более простых моделей, обладающих системным свойством эмергентности. Рассмотрен пример применения вектор-идентификации для выбора класса модели (статичность либо динамичность, линейность либо нелинейность, в случае нелинейности — выбор модели Гаммерштейна, Винера либо общего вида) объекта идентификации в условиях априорной неопределённости.

9. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные методы идентификации.

Отличительной особенностью комплекса разработанных методов является тот факт, что появилась возможность путём незначительного усложнения средств идентификации линейных динамических объектов эффективно решать задачи практической идентификации НДО в условиях априорной неопределённости о классе объекта в рамках моделей типа Гаммерштейна-Винера.