О решении краевой задачи для параболических систем на плоскости

Настоящая диссертация посвящена исследованию гладкости решения второй краевой задачи для линейных параболических систем с одной «пространственной» переменной в области (неограниченной как по «временной», так и по «пространственной», переменной) с негладкой «боковой» границей.

На плоскости переменных х и t рассматривается однородная линейная параболическая по И. Г. Петровскому [23] система уравнений:

1изЕ— -А (х,/)^-г + В (х, 0 — + С (х,$)и = 0, (х, ОеК2+, (0.1) с% ¿-к ск где := Я х (0,+<�х>), Еединичная матрица размерности ЫхЫ {ы > 1), А (х,/) = В (х, 0 = (Ьц{х4^, С (х, 0 = (сц (х,())1м — матрицы размерности N х N, элементы которых есть функции, определенные в .

К настоящему времени достаточно полно разработана теория параболических потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для одного уравнения, позволяющая получать конструктивные решения краевых задач (см. Жевре [11], Камынин [14−20], Бадерко [2−8], Черепова [41, 42], а также библиографию, приведенную в [5]). Эта теория позволяет, в частности, решать задачи в нецилиндрических областях с негладкими «боковыми» границами. Заметим, кроме того, что метод потенциалов составляет теоретическую основу численного исследования краевых задач методами интегральных уравнений (см., например, Дотре, Лионе [10]), чем объясняется все более растущий в последние годы интерес к этому методу.

В отличие от одного уравнения, метод потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для параболических систем только начинает развиваться. Первыми работами в этом направлении были работы Пискорека [24−26], где доказана формула «скачка» для производной (которая в этой работе называется «трансверсальной») векторного потенциала простого слоя, обобщающая известную формулу «скачка» для конормальной производной скалярного потенциала простого слоя, а также решена соответствующая краевая задача для системы (в цилиндрической области), обобщающая вторую краевую задачу для одного уравнения. В работах Тверитинова [34−39] была исследована гладкость векторного потенциала простого слоя для систем с одной «пространственной» переменной (я=1) и установлена однозначная разрешимость в анизотропном пространстве.

Гельдера (определения анизотропных пространств Гельдера см. ниже) краевых задач для системы (0.1) в областях на плоскости с негладкими «боковыми» границами (удовлетворяющими условию Жевре, см. ниже (0.2)). Затем в работе Зейнеддин [12] была получена разрешимость для такой системы второй краевой задачи в более широких классах Дини при минимальном требовании на гладкость «боковой» кривой (условии Дини-Гельдера) Во всех этих работах область предполагалась ограниченной по «временной» переменной t.

Для случая одного уравнения, в работах Бадерко [7] и Шевелевой [42] были рассмотрены краевые задачи в неограниченных по «временной» переменной t областях и установлена принадлежность их решений.

1+а. пространству Гельдера Ся+" '2 (о) функций, экспоненциально растущих при г->+оо. Череповой [41, 42] были получены оценки для старших производных решений (а именно, для д и) краевых задач, характеризующие возможный дх1дх] рост этих производных при приближении к негладкой по t «боковой» .

1+а границе области класса С+" '2. Бадерко [8] показала, что если повысить условия на гладкость функций из граничного условия, то решение задачи с косой производной уже принадлежит пространству С2+а²~{о), т. е., в.

О Л х ' частности, его старшие производные непрерывны в замыкании области, хотя боковая" граница по-прежнему является негладкой по? поверхностью.

1+а 1+а класса С2. Все эти результаты были получены методами теории потенциалов, порожденных фундаментальным решением уравнения, и теории интегральных уравнений.

Целью настоящей диссертации является получение аналогичных результатов для решений второй краевой задачи для параболических систем с одной «пространственной» переменной.

В первой главе рассматривается вторая краевая задача в неограниченной по ли по? области на плоскости с негладкой, вообще говоря, «боковой» границей. Устанавливается принадлежность ее решения пространству Гельдера функций, экспоненциально растущих при -> +со. Кроме того, доказываются оценки для старших производных этого решения, характеризующие их возможный рост при приближении к «боковой» границе области.

Приведем определения используемых в работе анизотропных пространств Гельдера.

Пусть О — область в Ы^, и Л > 0, 0< а <1, и пусть целое N>1. к+а к+а.

Через Сл 2 (о), к = 0, 1, 2, обозначаем линейные пространства (вектор)-функций имеющих в? производные ——0<21 + т<�к, для которых конечны ск величины:

II о||(«) |» (*>0|.

Ци-^ := вир-1—вир еХр{Л/| (х, 1),(х+Ах, 1+А1}=П д*|+|д*|*о, дг>о, а х, и (хА и.

Ах" +1А/| 2 ехр{я (? + Д/)} и ~||(1+а) ГУ*"') к-П||. := вир—эир ч «ОЧр ——-^ ?2 доо эир п ехр{Д/}.

Эи ск П.

1+а) ди, а а).

Здесь и далее для любой функции (вектор-функции) и (хположим: А= и (х + ДхД + АО —, и для любого вектора Ь = (Ь1,., Ь") (или матрицы А) под |Ь) (соответственно,.

А|) понимаем максимум из модулей компонент Ъ (элементов А). к+а, ., , к+а к+а— /— -/—.

Пространства С0 2 (О^ обозначаем также через С 2 Пространства меСд+а~(о): м|-=0 =0, к = 0,1, а при к = 2 и[=й = 0, — = о1, 1=0 ] обозначаем через Ск+а'~г (о,) (здесь и далее нуль в правой части равенства и =0, и = (щ,., им), понимаем как нулевой вектор). Пусть К+ := (0,+оо).

Для любого /? е (ОД)? через С/(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций (р:, для которых конечна величина.

Через С°(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций ср: -", непрерывных в К+, для которых конечна величина.

Через С°(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций ИЛ, непрерывных в, для которых конечна величина.

Пространства {р е С{(к+):р (о) = о}, е С°(к+):<�р (о) = о} и реС°(к+):р (о) = о}, обозначаем соответственно через С^ЙГ), С0 (к^) и.

С° (к-). о Я х '.

Под значениями (вектор)-функции определенной в О, и ее дки (х, А, производных к = 1,2, на границе да всегда подразумеваем предельные значения «изнутри» О.

Через С, с везде обозначаем положительные постоянные, не зависящие от переменных х, конкретный вид которых для нас не важен. В выражениях вида, А < С||/|| всегда подразумеваем, что С не зависит от/.

Всюду предполагается, что коэффициенты системы (0.1) удовлетворяют следующим достаточным условиям существования фундаментального решения для этой системы уравнений в полуплоскости а) условие равномерной параболичности оператора Ь существует число? > 0 такое, что для любой точки (*,/) е, вещественные части ¡-л — корней уравнения б) коэффициенты ау, Ъц, су, /,/ = 1, системы (0.1) принадлежат йЦ А (х, 0-//Е||=0 удовлетворяют неравенству:

Ке/л> 5 а анизотропному пространству Гельдера С'2 (и^ ] при 0 < а < 1.

В полуплоскости Л* выделяется полуограниченная область еЫ' :х>Х ($ с негладкой, вообще говоря, «боковой» границей где функция X: -> И удовлетворяет условию Жевре [11]:

1+а.

В области О рассматривается вторая краевая задача:

Ьи = 0 в О, с начальным условием.

0.3).

0.2) и[=о=0, х>Х (о).

0.4) и граничным условием дх.

0.5).

Основным результатом первой главы является следующая.

Теорема 1. Пусть для коэффициентов оператора Ь из (0.1) выполнены условия а) и б), а для функции X, задающей «боковую» границу области — условие (0.2). Тогда существует число Л0 >0 такое, что, если Я1 >Я0, то, для любой вектор-функции у/ е СТ существует единственное классическое г 1±? (— решение и (х,$ задачи (0.3)-(0.5) принадлежащее пространству С (О), и имеют место оценки:

0.6).

С\г, I Ах|а [<й-1 (х, г) + </" > (х + Ах, г)]ехр{А/}, (0−8).

Г1 (*,/)+ ¿-~1(х>* + А')]х х [ехр{Я,/} + ехр{Я, (г + А?)}], (°-9) где (х, (х + Ах, (х, ^ + А?) 6 О, с/(х,^)=тт|Р-Л|1, Р^х^еОЛ = (х (г), г) ех, 1.

Р-Л^ := х-+ ^-— параболическое расстояние между двумя точками Р=(х, 0 и, А = (х (т), т).

Замечание 1. Существование и единственность классического решения задачи (0.3)-(0.5), принадлежащего для любого конечного Т> 0 пространству.

Гельдера С1+а'~(о.т) (с оценкой (0.6) в 0. т), где аг =ап{0<�кг), следует из работ Тверитинова [35−39].

В случае одного уравнения (И= 1), оценка (0.6) вытекает из работ Бадерко [7] и Шевелевой [43], а оценки (0.7)-(0.9) — из работы Череповой [42].

Теорема 1 доказывается методами работ [4, 7, 42, 43]. д2и (х,{) дх1 д2и{х д2и (х,().

А, ас2.

Основным инструментом для доказательства теоремы 1 служит векторный потенциал простого слоя г и<�р{х,*) := |г (х, Х (т), т}р (т)с1т, (х, г) еК2+, 1 °) о порожденный фундаментальной матрицей решений г (х, г,^, т) [44] системы (0.1), где <р = (<�рх,.,(ры) — вектор-функция. После предварительного изучения в §§ 1, 2, 3 необходимых для дальнейшего свойств фундаментальной матрицы решений, исследование гладкости потенциала простого слоя проводится в § § 4, 5. Затем в § 6 мы исследуем гладкость решения системы интегральных уравнений, которая получается из подстановки решения в виде потенциала простого слоя в граничное условие (0.5). Из этих результатов мы окончательно получаем утверждение теоремы 1 в § 7.

Заметим, что полученные результаты о гладкости потенциала простого слоя могут быть использованы в исследовании гладкости решений и других краевых задач (например, первой краевой) в бесконечной по «времени» области.

В § 7 приводится пример решения задачи (0.3)-(0.5) с ограниченной функцией у/ш условия (0.5), которое экспоненциально растет при t ->+оо.

Во второй главе диссертации показывается, что если повысить условие на гладкость функции у/ из граничного условия (0.5) (в этом случае требуется, чтобы она удовлетворяла условию Гельдера с показателем то решение задачи (0.3)-(0.5) оказывается принадлежащим пространству.

2+" /.

Гельдера т. е., в частности, его старшие производные непрерывны в, а (ср. с оценками (0.7)-(0.9) теоремы 1), хотя условие на гладкость «боковой» границы остается прежним (условие Жевре (0.2)). Ранее такой результат о регулярности решения (в ограниченной по t области) был известен при значительно более сильном условии на гладкость «боковой» границы, (см. [33]), а именно, условии:

2+а.

ХеС 2 ([О, Г]). (0.11).

Основным результатом второй главы является следующая.

Теорема 2. Пусть для коэффициентов оператора Ь из (0.1) выполнены условия а) и б), а для функции X, задающей «боковую» границу области О, -условие (0.2). Тогда существует число Л'0> 0, такое, что если Лх > Л[, то для любой вектор-функции у/<=С~т{К+) существует единственное классическое решение и (х^) задачи (0.3)—(0.5), принадлежащее пространству С2+а'^~(о) и.

ОД, к ' справедлива оценка:

Замечание 2. Существование решения из класса С1+аг1″ (а), для о я, у ' достаточно большого Л > 0, следует из теоремы 1.

В случае одного уравнения (N-1), утверждение теоремы 2 вытекает из результатов Бадерко [8]. При более сильном условии (0.11) утверждение теоремы 2 в конечной по / области вытекает из результатов Солонникова [33] о разрешимости краевых задач для параболических систем общего вида.

Теорема 2 доказывается методом, которым был получен результат работы Бадерко [8]. Основным инструментом для ее доказательства служит специальный векторный параболический потенциал: 1.

Т<�р{х, г) := |г (х — Х{гГг-(х (г), т))р (т)с/т, о где оо о.

1- «параметрикс», а именно (см. [40]).

Z{x, f, A (?, r)):= expwcr x V{a, tA^, T))da, (x, t), (^)eR2, t > 0,.

О ТГ J.

0.12).

0, t< 0, здесь i — «мнимая» единица), где матрица v (a, t-A (^, r)) есть решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений at удовлетворяющее начальному условию.

F (c7,0-Afer)) = E.

Ранее потенциалы такого типа (для одного уравнения с одной «пространственной» переменной) рассматривались в работах Исаковой [13] и Э. Гасымова [9]. Потенциал Тд> обладает более высокими свойствами гладкости, чем потенциал простого слоя, благодаря тому, что его ядро Y имеет более слабую, чем фундаментальное решение Г, особенность. Свойства специального потенциала Tq> изучаются в § 8 диссертации. Заметим, что гладкость потенциала Тер (так же, как и гладкость потенциала простого слоя) имеет самостоятельный интерес, поскольку он может быть использован в решении и других краевых задач для параболических систем. Затем, после предварительного исследования в § 9 некоторых свойств плоского параболического потенциала, необходимых для дальнейшего, в § 10 исследуется разрешимость системы интегральных уравнений первого рода, которая получается из подстановки решения краевой задачи (0.3)-(0.5) в виде суммы потенциала Тер и плоского параболического потенциала в граничное условие (0.5). Из этих результатов мы окончательно получаем утверждение теоремы 2 в § 11.

Основная часть результатов диссертации содержится в [29−32].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук Бадерко Елене Александровне за предложенную тему и постоянное внимание к работе.