Некоторые вопросы, связанные с модификациями уравнения синус-Гордона

Нелинейное уравнение Клейна-Гордона.

4Лм)-4(м) = /(*(м)) (1) является одним из классических уравнений теории нелинейных волн. Обзор задач, приводящих к этому уравнению, можно найти, например, в монографии Р. Додда [1]. Это уравнения встречается в теории магнетиков, теории дислокаций, теории джозефсоновских переходов.

Частным случаем уравнения Клейна-Гордона является уравнение синус-Гордона (2).

Первоначально оно появилось в геометрии. Его можно получить с помощью построений, которые делал Чебышев в работе «О кройке одеж-ды» (1878 г.). В 1901 г. уравнение (2) использовал Гильберт при доказательстве непогружаемости плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство.

Впоследствии уравнение (2) оказалось важным для математической физики и получило название синус-Гордона (Sine-Gordon).

В ряде современных практических применений (например, нестационарный эффект Джозефсона) в левой части уравнения синус-Гордона появляется слагаемое с первой производной по времени (так называемое возмущение): z" xx (х, t) — % (х, t) + az’t (x, t) = sin (2 (ж, ?)). (3).

На малом интервале времени этим слагаемым часто пренебрегают [5], что, по мнению практиков, допустимо, в то время как для продолжительных интервалов времени аналогичное пренебрежение, может привести к потере решения специального вида — решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.

Этим термином будем называть решение вида ip (x, t) = g (x-v-t), отличное от константы, у которого д (?) стремятся к константам при? —> +оо и при? —сю, и у которого д' (?) стремятся к нулю при? —>• +оо и при? —У — ОО.

В статьях Fiore [3] показано, что при таком пренебрежении теряются некоторые решения солитонного типа, которые являются частным случаем решений типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.

Цель работы состоит в исследовании существования решения и значимости вклада от возмущения для уравнения Клейна-Гордона и конкретной модификации синус-Гордона. Основные задачи исследования:

1. Исследовать вопрос существования решения задачи Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона в бесконечной полосе.

2. Оценить пределы отклонений решения задачи Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона от невозмущённого.

3. Изучить некоторые свойства решений специальным образом модифицированного, а затем возмущенного уравнения синус-Гордона.

Научная новизна.

1. Найдены достаточные условия существования в бесконечной полосе решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Гордона.

2. При этих достаточных условиях получена универсальная оценка ширины той полосы, где решения существуют (Теорема 1).

3. Получена количественная оценка относительной погрешности решения возмущенного уравнения Клейна-Гордона при замене уравнения на невозмущенное (Теорема 2).

4. Доказано существование решения типа волны, сглаживающейся на бесконечности, невозмущённого модифицированного уравнения синус-Гордона. Получена связь между параметром возмущения, направлением и скоростью движения волны возмущённого модифицированного уравнения синус-Гордона.

Указанные здесь основные результаты являются новыми, полностью обоснованны и получены автором самостоятельно. Точные формулировки основных результатов приведены нрже.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Диссертация носит теоретический характер.

Гезультаты диссертации могут найти применение при изучении эффекта Джозефсона[5], а также в других нелинейных задачах, приводящих к уравнению Клейна-Гордона[1] и их модификациям. Результаты работы могут быть использованы для исследования нелинейных сейсмических эффектов и процессов, в технологиях связи, в волновой генетике.

В первой главе показана актуальность темы и описана используемая терминология.

Во второй главе доказано существование решения в полосе задачи Ко-ши возмущённого уравнения Клейна-Гордона. Рассмотрим уравнение: if U (я, t) = а2 ¦ (рхх (X, t) + b О, t) (fit {х, t) + f {(f (ж, t)), (4) где, а = const, а ф О, |Ь (ж, ?)| < ?>, ЪХ (х, t) < В±-, bt (ж, ?)| < ?>2, с = — const, / задана и дифференцируема на всей числовой оси и ее производная ограничена |/' (</?)| ^ М. Поставим для него задачу Коши:

Lp (x, t) t=o= фо (х), <�х<+оо. (5).

Теорема 0.0.1. Существует Н такое, что для любого 0 < h < Н задача Коши (4−5) имеет решение в полосе.

О^t ^ h < Н = 1 у'{B + a^ + h))2 + М/2 +{В + а{Ь1 + b2))j где h = Ъ2 =.

Рассмотрим еще одно уравнение сри {х, t) =а2 ¦ (рхх (х, t) + / (<р (х, t)), (6) Поставим для него ту же задачу Коши (5).

Введем обозначения: т = max | (х, у) |, щ = max | ~2 [Ъу{х}у) — -аЪх (х, у))|, п2 = т&х^{Ьу{х, у) + аЪх (х, у)), М = тах|^/'|. Обозначим решение задачи Коши (6−5) через <р* (x, t), а решение задачи (4−5) — через р> {х, t).

Теорема 0.0.2. Если (р ф 0, то в условиях предыдущей теоремы для любых х и t из полосы 0 ^ t < Н справедливо:

ШдХ ^ * 1 8таН + 2 (щ + п2) а2Н2 max (р ^ 1 — 2Ма? Н2 д где, А — треугольник с вершинами в точках (х — at 0), (x-t), (х + at- 0).

Третья глава посвящена изучению наличия решений типа бегущих волн, сглаживающихся на бесконечности, а также уединенных волн. Автором доказаны две следующие теоремы.

Теорема 0.0.3. При v ф ±1 у уравнения.

Ухх (х, t) — (fu {х, t) = sin (<р (.X, t)) + sin (3 •.

1) при > 1 [ 13(«г-1), / / ЗК-1) ,.

94, 9з.

2) при 0 < < 1 9f I 3(1-^), Л f I 3(1-^2) 7 * = J y 8 (— eos3 (g)) * = J y 8 (1 — eos3 (g)).

92 91.

Теорема 0.0.4. Уравнение u (xj t)+a- (я, t) = sin (ip (x, t)) + sin (3 •.

1) при, а < 0/ а) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая влево, со скоростью |г>| > 1;

Ъ) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая вправо, со скоростью |г>| < 1;

2) при, а > 0: a) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая влево, со скоростью |г>| < 1/ b) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая вправо, со скоростью |г>| > 1/.

3) при любом, а ф 0: a) уединенная волна, бегущая вправо, со скоростью V = 1- b) уединенная волна, бегущая влево, со скоростью и = — 1.

Методы исследования — методы последовательного приближения, построения фазовых портретов, оценивания функций и интегралов, асимптотические методы, численные методы и моделирование.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертационной работы были представлены на.

• ежегодных семинарах МГУ им. М. В. Ломоносова «Асимптотические методы математической физики «под руководством профессора Шама-ева А. С. (г. Москва, 2008;2011 г. г.),.

• семинаре «Геометрия в целом» под руководством доцента Розендор-на Э. Р. (г. Москва, 2008 г.),.

• семинаре в вычислительном центре под руководством профессора Соколова Д. Д. (г. Москва, 2011 г.),.

• «VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике» (г. Кисловодск, 2006 г., весенняя сессия).

• «VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике» (г. Адлер, 2007 г., осенняя сессия),.

• «XII Всероссийский симпозиум, но прикладной и промышленной математике «(г. Казань, 2011 г., весенняя сессия),.

• Международный семинар «Partial Differential Equations» (г. Капут, Германия, 2011 г.).

Публикации по теме диссертации.

По результатам исследований, выполненных в процессе работы над диссертацией, опубликовано 4 научные работы, все статьи из перечня ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 18 наименования/Объем работы 71 страница машинописного текста.

Основные результаты исследований, выполненных автором в рамках настоящей работы, заключаются в следующем:

1) Доказано существование решения в полосе задачи Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона,.

2) Получена оценка относительной погрешности решения задачи Коши в полосе при замене возмущённого уравнения Клейна-Гордона невозмущённым.

3) Доказано, что невозмущенное уравнение (3.4) имеет решения типа уединенной волны. Получены формулы для этих решений.

4) Доказано, что возмущенное уравнение (3.22) при определенных условиях на параметр возмущения имеет решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, но не имеет решений типа уединенной волны. Получены эти условия.

Доказано существование решения типа уединённой волны возмущённого модифицированного уравнения синус-Гордона (3.22) в случае единичной, но модулю скорости. Получена формула этого решения (см. формулу 3.26).

5) Проанализировано влияние возмущения на решение типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, для возмущенного модифицированного уравнения синус-Гордона (3.22) (см. таблицы (3.2) и (3.3) на страницах 64 и 65).

Публикации по теме диссертации.

В1) Е. А. Данилова, «Примененные метода последовательных приближений к решению задачи Коши для уравнения (ри = а2(рхх + Ь (х, ?) + / Обозрение прикл. и промышл. математики, 2006, том 13, вып.2, с.305−306.

В2) Оценка правомочности упрощения задачи Коши для уравнения гиУ = б1 (и, и) хи + 62 {и, 2у + F (г)", Обозрение прикл. и промышл. мате-матикщ 2007, том 14, вып. З, с.531−532.

ВЗ) Е. А. Данилова, «Исследование свойств решений одного нелинейного дифференциального уравнения», Обозрение прикл. и промышл. математики, 2011, том 18, вып.2, с.266−268.

В4) Е. А. Данилова, «Об отсутствии решений солитонного типа для одной модификации уравнения синус-гордона», Известия высших учебных заведений. Поволжский регион, 2011, № 3 (19), с. 32−36.

Заключение

.