Решение уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию и численному решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных двумерных областях с бесконечными границами, имеющими критические точки.

Стремительный прогресс современной радиотехники и микроэлектроники сопровождается быстрым развитием теории и проектирования волноведущих систем и обладает ярко выраженной тенденцией к исследованию коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона. При изучении волноводно-резонансных процессов в этом диапазоне длин волн возрастает потребность в точности проводимых расчетов и характеристик рассматриваемых систем. Размеры волноводных неоднородностей становятся соизмеримы с длиной волны, что требует рассматривать подобные задачи в многомодовом приближении, учитывая, таким образом, высшие типы волн и их дифракционное взаимодействие. Асимптотические методы и методы теории цепей не всегда могут обеспечить необходимую точность, а физический эксперимент часто является достаточно сложным, длительным и дорогостоящим, поэтому на первый план выходит разработка и обоснование математических методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке.

В современной электронике широкое применение находят различные волноведущие системы: многоканальные линии передачи, устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и другие устройства.

Математическое моделирование физических процессов, происходящих в этих системах, приводит к необходимости постановки, теоретического исследования и численного решения соответствующих краевых задач для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с границами, имеющими критические точки.

Физические и геометрические особенности области и границ определяют математическую специфику рассматриваемых краевых задач: бесконечность и многосвязность волноводных областей, учет условий Мейкснера в критических точках границ этих областей, учет при численном решении краевых задач многомодовости и резонансного характера электромагнитных процессов.

Возникает потребность в разработке и обосновании соответствующего математического аппарата, построении эффективных математических моделей, учитывающих эти особенности, в частности, необходимость обобщения хорошо себя зарекомендовавших при решении подобных задач численных методов на многосвязные волноводные области.

Теория регулярных и нерегулярных волноводов как самостоятельное направление исследований в прикладной электродинамике начала развиваться ещё в 50-х годах прошлого века в связи с интенсивным развитием радиолокационной (техники, электроники и освоением дециметрового и сантиметрового диапазона электромагнитных волн. Результаты теоретических и экспериментальных исследований волноведущих систем того периода отражены в обширной литературе, в частности, в монографиях [1−6], справочниках [7,8], многочисленных периодических изданиях [9−21]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных поперечных сечений, об особенностях распространения электромагнитных волн, точные и приближенные методы расчета, эквивалентные схемы различных волноводных нерегулярностей в теории цепей и т. д.

Начало строгой математической теории волноводов было положено в классических работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [11−13]. В работе [И] строго доказано, что любое поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних токов и зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции ТЕ и ТМ волн. В работах [12,13] проведены фундаментальные исследования, послужившие основой для создания строгой математической теории возбуждения радиоволноводов произвольным распределением заданного тока. Большой вклад в развитие математических методов исследования и расчета дифракции электромагнитных волн в различных волноведущих системах внесли работы П. Е. Краснушкина, Г. В. Кисунько, J1.A. Вайнштейна [2,9,10,14]. В работах А. Г. Свешникова [20,21] впервые были предложены условия излучения, получившие название парциальных. Данный подход позволил при определенных условиях выделять единственное решение задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в волноводе. Установленные теоремы необходимы при строгой математической постановке и дальнейшем численном решении рассматриваемых задач.

Таким образом, можно сказать, что после фундаментальных работ указанных авторов и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем превратилась в интенсивно развивающуюся строгую математическую теорию, определившую новое научное направление в математической физике.

Одновременно с развитием математической теории волноведущих систем развивались и численные методы их расчета. Решение задач распространения и дифракции электромагнитных волн на различных нерегулярностях в волноводе сводится к постановке и решению соответствующих краевых задач с учетом граничных условий и условий излучения [22−24]. Выбор математических методов решения поставленной краевой задачи прежде всего зависит от типа нерегулярности в рассматриваемой волноведущей области (волноводе) [25−27]. Эти нерегулярности носят обычно локальный характер, они могут быть сосредоточены в области порядка поперечных размеров волновода.

Если нерегулярный волновод мало отличается от регулярного или можно выделить какой-либо малый параметр, то достаточно эффективно применение методов, использующих асимптотические свойства решения при стремлении параметра малости к нулю [6]. Для расчета нерегулярных волноводов используются различные математические методы. Например, метод поперечных сечений [6], в котором требуется знание системы собственных функций соответствующей спектральной задачи в каждом сечении волновода, что делает это метод сложным для реализации в случае произвольной формы боковой поверхности волновода и ограничивает применимость метода достаточно частными случаями.

Достаточно распространено использование на практике метода частичных областей, позволяющего получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей. Формальная схема этого метода для задачи рассеяния на ступенчатом стыке двух произвольных волноводов была рассмотрена ещё в 1947 года Г. В. Кисунько [9]. Этот метод и его модификации применяются для расчета волноведущих систем, как с координатными, так и с некоординатными границами [4,9,28,44,45].

Весьма широкое применение для исследования нерегулярных волноводов получил предложенный и обоснованный А. Г. Свешниковым неполный метод Галеркина [15−19, 29−32]. Этот метод позволяет свести решение исходной краевой задачи к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе этого метода построены алгоритмы численного моделирования широкого класса волноведущих систем. Большой круг задач теории волноводов, в том числе с разной формой боковой поверхности и разными граничными условиями, с различным неоднородным заполнением внутренней области был решен при использовании неполного метода Галеркина и ряда его модификаций в работах А. С. Ильинского, В. П. Моденова и других авторов [33−39].

Для математического моделирования волноведущих структур различного типа, в частности со сложной формой боковой поверхности, где бывает трудно найти собственные волны для разложений полей, а также с неоднородным и анизотропным заполнением, весьма эффективно применение конечно-разностных методов и метода конечных элементов [40,43].

Отдельное место в решении волноводных задач занимает метод интегральных уравнений и его различные варианты [41,42,46,47]. Традиционно применяется ряд способов сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению. Так, например, интегральное уравнение можно получить с помощью формул Грина при сшивании представлений полей на границах частичных областей. Различные модификации рассматриваемого метода позволяют обойти ряд трудностей, которые могут возникнуть при решении рассматриваемых краевых задач с помощью других методов, применение которых порой бывает весьма трудоемким. Так, например, методом интегральных уравнений исследована разрешимость задачи дифракции на магнитодиэлектрическом теле [46].

Для решения волноводных задач в зависимости от ряда факторов применяются также вариационные методы [5], численно-аналитические методы [4,48,62,94], прямые проекционные методы [25,37,45,49−58] и другие.

При наличии в волноводе металлодиэлектрических нерегулярностей или частичного диэлектрического заполнения возникает необходимость обобщения традиционных подходов и методов на случай учета потерь в диэлектрике [59] или разработки дополнительного математического аппарата [26,27,60,61, 79,81,93]. Так для определения параметров частично заполненного волновода обычно достаточно исследовать его дисперсионное уравнение. К сожалению, такая возможность отсутствует в отношении большинства практически используемых волноводов, так как не всегда соответствующая задача имеет аналитическое решение.

Интересная специфика прослеживается при математическом моделировании волноведущих структур, содержащих нерегулярности с ребрами. В частности к ним относятся ступенчатые скачки поперечного сечения волновода, сочленения волноводов различного типа поперечного сечения (круглый и прямоугольный), системы щелей, различные диафрагмы и другие. При их моделировании возникает необходимость учета сингулярных особенностей полей в окрестности ребра (условия Мейкснера) [4,64]. Интерес к решению и разработке математических методов решения задач с ребрами стимулировался потребностями практики с самого начала развития математической теории волноводов. К настоящему моменту в этом вопросе накоплен значительный опыт, отраженный в обширной литературе [4,9,25,45,48,54−56,58,65,78,80,82,91].

В особый класс задач выделяется математическое моделирование волноводных узлов, имеющих в своей конфигурации сложную геометрию волноведущей области и границ: многоканальные разветвления бесконечными металлическими полуплоскостями как бесконечно тонкими, так и обладающими конечной толщиной, продольные и поперечные диафрагмы, последовательности одиночных и двойных ленточных диафрагм и т. д. Некоторые из таких структур представлены на рис. В. 1. Ню 7 а.

— г;

Cl.

U 1ш и.

Рис. В.1. Различные типы многосвязных волноведущих областей: а) — разветвление волновода бесконечно тонкой идеально проводящей полуплоскостьюб) — разветвление волновода идеально проводящей полуплоскостью конечной толщины (делитель) — в) — двойное разветвление волновода с добавлением переходного устройства (переходное устройство в данном случае описано линейной функцией) — г) — каскадное разветвление волноводад) -волноведущая система с разворотом (со стенкой и диэлектрическим заполнением) — е) -волноведущая система с разворотом (без стенки) — ж) — сочленение разветвленного и регулярного волновода (сумматор) — з) — последовательность одиночных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводеи) — последовательность двойных ленточных диафрагм конечной толщины в волноводе. Черные области — металл, разной штриховкой показаны различные диэлектрические заполнения областей. #|0- подающая волна.

Эти задачи крайне важны в современной микроэлектронике и волноводной технике. Основываясь на них можно реализовать различные устройства: делители и сумматоры, линии передачи, многозвенные фильтры, волноводные резонаторы и волноведущие системы с разворотами [63,65−77,8387,92].

Все рассматриваемые области обладают свойством многосвязности (см. рис. В.1), тем самым, определяя математическую специфику решения соответствующих краевых задач. Наличие у областей свойства многосвязности и бесконечности, а также критических точек границ вносит дополнительные трудности в математическое исследование, так, в частности, для электромагнитных полей в критических точках должны выполняться дополнительные условия (условие в форме Мейкснера) [4,64]. Для исследования данного класса задач применялись различные математические подходы и методы, с учетом указанных особенностей разрабатывались специальные численные алгоритмы.

К примеру, в [4] при использовании метода Винера-Хопфа решена задача о разветвлении в волноводе. Рассматривается разветвление основного волновода бесконечно тонкой полуплоскостью на две полубесконечные области в Н — плоскости при возбуждении их волной #10, падающей из области основного волновода. Таким образом, в данном случае изучается некая идеальная модель без анализа конечной толщины полуплоскости разветвления и условий на ребре. Однако реальные структуры содержат неоднородности, обладающие конечной толщиной, в связи с чем, возникает необходимость её учета.

В работе [88], используя некоторые результаты [90], рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине конечной толщины (случай Е-поляризации). Найдено аналитическое решение задачи в виде двух перекрывающихся разложений по прямым и обратным степеням электрической толщины пластины.

В качестве примера использования полученного решения выписана асимптотика коэффициента отражения от открытого конца волновода с толстыми стенками.

Разветвление на три канала в Е-плоскости рассматривается авторами [89]. Задача решалась методом Винера-Хопфа. Функциональные уравнения были получены методом Джонса, когда преобразование Фурье применяется непосредственно к волновому уравнению, причем граничные условия накладываются на преобразование Фурье, а не на сами функции. В работе получены выражения для полей.

Дифракция волн на разветвлениях плоских нерегулярных волноводов исследуется в работе [62]. Решение задачи ведется на основе следующего подхода. Используется модификация метода полуобращения, предназначенная для расчета дифракции волн в плавнонерегулярных волноводах с произвольным законом нерегулярности, содержащих также скачкообразные неоднородности специального вида. Идея данного подхода состоит в том, что при помощи неполного метода Галеркина задача дифракции сводится к краевой задаче для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в граничных условиях к которой матричные операторы в качестве главной части содержат матричные операторы специального типа.

Ряд важных исследований в этой области проведен А. С. Ильинским и его учениками. В работах [56,86,87] с использованием методик, применяемых к задачам с ребрами, рассмотрена задача о разветвлении волновода полуплоскостью конечной толщины.

Вопросов многоканального разветвления волновода касаются в своей монографии и авторы [25].

Однако, несмотря на приведенные примеры, к настоящему времени изучению задач распространения и дифракции электромагнитных волн в многосвязных волноводных областях уделено не достаточно внимания, в то время как многообразие технических применений волноведущих структур стимулирует проведение более точных теоретических исследований и разработки вычислительных алгоритмов на основе строгих математических моделей.

Исследование физических процессов, происходящих в описываемых структурах в двумерном случае, приводит к необходимости постановки и решения соответствующей краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязной бесконечной области с границами, обладающими критическими точками, в которых выполнено условие Мейкснера [4,64]. До сих пор данная математическая проблема рассматривалась лишь в частных случаях. Не было проведено полного теоретического исследования краевой задачи для различного типа границ и различного диэлектрического заполнения, не всегда должное внимание уделялось выполнению условия Мейкснера в критических точках.

В настоящей диссертационной работе проводится математическая постановка, исследование и решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в бесконечной многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной и кусочно-гладкой границами, обладающими критическими точками, в которых строго учитывается условие Мейкснера, заключающееся в требовании конечности энергии электромагнитного поля в любом ограниченном объеме Vp, содержащем критическую точку. С учетом особенностей типа границы многосвязной области [95−99,101,103,107,108] и заполняющей среды в диссертации разработаны вычислительные алгоритмы решения поставленной краевой задачи, а также проведено их строгое математическое обоснование [5,15,32,34,51,54,56,86,100,102−108,109−112, 115,117,122,125].

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач: 1. Математическое исследование краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки.

2. Разработка, математическое обоснование и численная реализация алгоритма решения исследуемой краевой задачи, основанного на применении интегральных условий проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-постоянной границей.

3. Разработка, математическое обоснование и реализация алгоритма решения рассматриваемой задачи, использующего неполный метод Галеркина и интегральные условия проекционного сшивания, для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей.

4. Использование построенных алгоритмов на практике при решении конкретных практических задач в радиофизике (исследование волноводно-резонансных процессов) и микроэлектронике (математическое моделирование делителей и сумматоров мощности, многозвенных фильтров и базовых элементов и функциональных узлов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ и оптического диапазонов [66,67]).

Работа состоит из 3 глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 114 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы и списка литературы, содержащего 126 работ.

Перейдем к краткому описанию содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца в многосвязной волноводной области с кусочно-постоянной границей и кусочно-постоянным заполнением. В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая математическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле. Постановка проведена с учетом многосвязности области и особенностей границы, определено множество критических (особых) точек границы. Условия излучения на бесконечности, выделяющие единственное решение краевой задачи, сформулированы в виде парциальных условий излучения. Поставлено условие в форме Мейкснера, определяющее поведение решения в окрестности критической точки границы, также необходимое для однозначной разрешимости краевой задачи. Во втором параграфе вводится понятие обобщенного решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области. В третьем параграфе сформулирована и доказана теорема существования и единственности для обобщенного решения. Далее в четвертом и пятом параграфах рассматривается реализация и обоснование сходимости вычислительного алгоритма решения поставленной краевой задачи. Построение алгоритма проводится на примере ключевой задачи о распространении и дифракции электромагнитной волны #10 на разветвлении плоского волновода полуплоскостью конечной толщины. Математическая задача заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца в указанной многосвязной области. Причем решение должно удовлетворять граничному условию Дирихле на идеально проводящих поверхностях, условиям излучения и возбуждения на бесконечности, интегральным проекционным условиям сшивания в плоскости стыка частичных областей, условиям Мейкснера [4] в критических точках границ. Алгоритм базируется на использовании метода частичных областей с представлением электромагнитных полей в каждой частичной области в виде разложения по нормальным волнам [14] соответствующего волновода. Коэффициенты разложения находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемой при применении интегральных проекционных соотношений сшивания [49,50,54,56]. Эти интегральные соотношения позволяют учесть условие в критических точках границ, условия сопряжения и граничное условие на участках металлической поверхности в плоскости сшивания электромагнитных полей, являющейся границей частичных областей. Полученная бесконечная система линейных алгебраических уравнений решается методом редукции. В пятом параграфе проведено обоснование сходимости решения редуцированной СЛАУ к точному решению краевой задачи. Известно, что для сходимости последовательности приближенных решений к точному решению краевой задачи достаточно непрерывности обратного оператора рассматриваемой системы уравнений А'1 в координатном пространстве амплитуд нормальных волн /,. В конце приведены выводы первой главы.

Вторая глава посвящена решению уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в многосвязных волноводных областях с кусочно-гладкой границей. В первом параграфе второй главы представлена физическая и математическая постановка задачи распространения и дифракции электромагнитной волны #10 в нерегулярном волноводе (плоский случай). Решение краевой задачи сводится к отысканию решения уравнения Гельмгольца во внутренней области волновода, удовлетворяющего граничному условию первого рода. Это решение должно также удовлетворять парциальным условиям возбуждения и излучения, условию в критических точках границ (условие Мейкснера) и условиям сопряжения на границах частичных областей. Во втором параграфе описывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Алгоритм базируется на применении неполного метода Галеркина [15], однако тот факт, что рассматриваемая область является многосвязной, требует дополнения используемого метода интегральными проекционными соотношениями сшивания [54,86]. Рассматриваемый нерегулярный волновод отображается на регулярную полосу за счет перехода к другой системе (в общем случае не ортогональных) координат. Далее, применяя неполный метод Галеркина и проекционные условия сшивания, накладываемые на границах подобластей, рассматриваемая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом прогонки [113]. Пользуясь аналогичностью энергетического соотношения для точного и для приближенного решений поставленной краевой задачи, в третьем параграфе проводится исследование существования и единственности приближенного решения. В четвертом параграфе исследуется сходимость приближенного решения к точному при стремлении N -«оо. В конце сделаны выводы по результатам второй главы.

Третья глава посвящена некоторым применениям представленных алгоритмов в радиофизике при исследовании явления резонансной дифракции и микроэлектронике при моделировании и проектировании устройств СВЧ, в частности базовых элементов систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ диапазонов [66,67]. В первом параграфе рассматривается многообразие практических применений многоканальных волноведущих устройств, дается классификация делителей и сумматоров мощности, фильтров. Во втором параграфе рассматриваются частные случаи моделирования реальных устройств, их теоретические исследования, сравнение с результатами, полученными другими методами, и физическим экспериментом. Второй параграф разделен на несколько подпунктов, в которых отражены результаты исследований. Проведено математическое моделирование и анализ результатов на примере ступенчатого сочленения волноводов, волноводно-диэлектрического резонатора, многоканальных делителей мощности. Приведены результаты расчета многозвенных фильтров на одиночных и сдвоенных ленточных диафрагмах. Используемый вычислительный алгоритм базируется на применении комбинации проекционного метода сшивания [54,50] и метода декомпозиции [77] (метода S-матриц).

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Результаты диссертационной работы докладывались на международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах:

1. VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» секция «Физика» подсекция «Математическая и компьютерная физика». Москва. Апрель 2000.

2. XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн. Москва. МФТИ (ГУ). Декабрь 2001.

3. X Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот». Фрязино. Август 2002.

4. IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн». Звенигород. Май 2003.

5. II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара. Сентябрь 2003.

6. III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград. Сентябрь.

2004.

7. Третьей всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Январь 2005.

8. XII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2005». Москва. Апрель.

2005.

9. IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Нижний Новгород. Октябрь 2005.

Результаты работы докладывались на научных семинарах:

1. Семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством профессоров А. Г. Свешникова и А. С. Ильинского (Март 2005);

2. Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова (Март 2005).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах [114−126].

Выводы второй главы.

В данной главе математически поставлена и решена краевая задача (2.1) -(2.6) для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом для случая многосвязных областей с кусочно-гладкой границей, имеющей особые точки, и кусочно-постоянным заполнением. При решении задач такого рода возникает ряд математических трудностей, а именно: удовлетворение граничному условию (2.3) на боковой поверхности SQ исследуемого волновода, которая может иметь довольно произвольную форму, а также на торцах металлических полубесконечных вставокучет многосвязности рассматриваемой областиудовлетворение условию Мейкснера в критических (особых) точках границы. Указанные особенности краевой задачи учитываются в разработанном вычислительном алгоритме, который основан на использовании неполного метода Галеркина [15,17,32] и энергетического сшивания полей на границах подобластей, а также дополнен формулировкой проекционных условий сшивания на многосвязном стыке нерегулярных волноводов.

Проводится теоретическое исследование и математическое обоснование предложенного алгоритма. Подробно исследуется вопрос о существовании и единственности приближенного решения (2.10) краевой задачи (2.7) — (2.9), для чего применяется специальная методика, основанная на использовании энергетических соотношений. А именно, рассматривая энергетические соотношения как для точного (2.36), так и для приближенного (2.59) решений, выводятся условия ограниченности, при выполнении которых приближенное решение (2.10) существует и единственно. Аналогичным образом, применяя энергетическое соотношение, проводится доказательство сходимости последовательности функций uN{%, ij) к точному решению задачи u (g, tf). Разработанный алгоритм реализован с помощью метода прогонки. На его основе разработан комплекс программ для расчета основных характеристик ряда структур.

Исследования, проделанные в настоящей главе, являются дальнейшим развитием идей метода Галеркина применительно к задачам о распространении электромагнитных волн в нерегулярных волноводных областях. Предложенный алгоритм модифицирован таким образом, что оказывается эффективным при рассмотрении широкого класса многосвязных волноводных областей и допускает обобщение на расчет структур со сложной формой боковой поверхности переходного устройства, с различным диэлектрическим, в том числе частичным, заполнением рассматриваемых волноведущих каналов и несамосопряженными граничными условиями.

Глава 3.

Некоторые радиофизические приложения.

3.1 Общие положения.

Быстрое развитие современной техники связи, систем радиолокации, радионавигации и других научных и промышленных отраслей, связанных с прикладной электродинамикой, ориентировано на использование коротких электромагнитных волн сантиметрового и миллиметрового диапазона, а также стимулирует разработку принципиально новых функциональных узлов и повышение требований к характеристикам уже существующих. Особое значение имеет бурно развивающееся во всем мире направление по созданию систем сверхбыстрой обработки информации (ССОИ) непосредственно на частотах радиосигнала в СВЧ и КВЧ областях электромагнитного спектра [66,67]. Создание эффективных, надежных и дешевых ССОИ в значительной степени опирается на успехи в микроэлектронике, когда СВЧ, КВЧ модуль ССОИ строится на объемных интегральных схемах (ОИС) и развитие методов моделирования и анализа новых базовых элементов.

Моделирование и проектирование СВЧ устройств [66−76,83−85] требует детального анализа электромагнитных волн в волноведущих системах достаточно произвольной конфигурации. Размеры волноводных неод-нородностей при этом соизмеримы с длиной волны электромагнитного поля, что приводит к сложной физической картине распределения полей. Описание и использование резонансных явлений в волноводных системах требует развития математических методов моделирования, в основе которых лежат строгие математические модели.

Широкое применение в современной микроэлектронике находят различные волноведущие системы, такие как: устройства деления и умножения электромагнитной энергии, многоканальные и многозвенные фильтры, волноводные резонаторы, металлические включения в волноводе, волноводные развороты, многоканальные линии передачи, а также функциональные узлы на их основе.

В настоящей главе на основе предложенных в диссертации алгоритмов рассматривается моделирование реальных СВЧ устройств, а также проводится сравнение полученных результатов с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.

3.1.1 Делители и сумматоры.

Многоканальные волноводные устройства деления-суммирования (УДС) мощности в СВЧ, КВЧ и оптическом диапазоне являются важнейшим компонентом большинства радиотехнических систем [68−76]. Такие делители мощности находят применение, например, в радиолокационной аппаратуре, трактах многоэлементных антенных решеток (АР), связной и измерительной технике, системах фазовой модуляции сигнала. Они предназначены для деления мощности источника в требуемом соотношении между большим числом выходных каналов. Вопросам проектирования и исследования подобных УДС посвящено множество публикаций. Однако выдвигаемые на практике все более высокие требования к техническим характеристикам радиосистем оставляют актуальным разработку математических моделей для волноводных делителей мощности и решение на их основе задач проектирования излучающих систем СВЧ, КВЧ и оптических частот.

Делителем мощности называется устройство, предназначенное для разделения (распределения) мощности между двумя или несколькими каналами (см. рис. В.1, а — г) — сумматором — устройство, сводящее в один канал мощность двух или нескольких источников СВЧ (см. рис. В.1, д — ж). Поскольку сумматор выполняет функцию, обратную делителю, то делителем и сумматором в большинстве случаев является одно и то же устройство. Простейшим является делитель мощности на два канала. Многоканальные делители или системы распределения мощности (СРМ), состоят из простейших двухканальных элементов деления. СРМ бывают параллельного, последовательного и смешанного типов.

Бывают волноводно-щелевые и полосковые делители мощности. Среди известных типов многоканальных делителей мощности (МДМ) большое распространение также получили делители, канализирующие СВЧ мощность в виде некоторой разветвляющей структуры. МДМ класса с разветвленной структурой обычно формируются из каскадно-включенных двухканальных делителей. За основу элементной базы делителя можно выбрать кольцевой мост. Также можно отметить синфазные и противофазные МДМ. Они осуществляют деление СВЧ сигнала в плоскости слоя диэлектрика (в одном этаже объемной интегральной схемы (ОИС)). Использование принципа ОИС [66,67] построение СВЧ модуля позволяет распределять СВЧ мощность в плоскости, перпендикулярной плоскости слоев диэлектрика (межслойное деление). Для этого целесообразно воспользоваться тройником. Таким образом, комбинируя базовые элементы ОИС (объемные тройники и многослойные переходы в виде их каскадного соединения), можно получить объемный МДМ.

При проектировании микроэлектронного устройства к делителю предъявляют следующие требования: функциональное назначение (в качестве балансного моста, ответвление части мощности или деление в требуемом отношении, суммирование, распределение мощности между излучателями антенной решетки) — полоса частот, в которой сохраняются заданные характеристикиамплитудои фазочастотные характеристикимощность, передаваемая по делителю, конструктивные характеристики, минимальные габаритные размеры, количество выходных каналов, распределение мощности, и другие. Делители мощности характеризуются следующими параметрами: коэффициентом связи (коэффициентом передачи) между входными каналами (плечами) — фазой коэффициента связинеравномерностью деления мощностикоэффициентом отражениякоэффициентом стоячей волны, развязкой между плечами и т. д.

Рассмотрим теперь устройства суммирования и умножения электромагнитной энергии. На практике в основном используются два способа сложения мощности [92]: попарное комбинирование устройств (бинарные сумматоры) и объединение N устройств в один узел (лучевые сумматоры). Бинарные сумматоры обладают существенным недостатком: при увеличении числа каналов растут собственные потери в них, понижая, таким образом, эффективность суммирования. Лучевые сумматоры лишены этого недостатка и, следовательно, являются более предпочтительными с точки зрения повышения эффективности сложения мощности. Основное преимущество схем на основе бинарных сумматоров заключается в простоте их анализа, поскольку все элементы этих схем имеют хорошо разработанное математическое описание (при условии, что линии передачи в первом приближении не взаимодействуют друг с другом). Анализ же многоканальных лучевых суммирующих структур, обладающих малыми потерями, амплитудным и фазовым балансом, высокой рабочей мощностью и малыми размерами при большом числе каналов N, представляет собой весьма непростую задачу. Наиболее эффективным способом их расчета и анализа является их математическое моделирование [69,70,74,122,125].

3.1.2 Фильтры.

Фильтры (частотно-селективные устройства) предназначены для подавления колебаний одних частот и пропуска колебаний других частот [25,59,63,68,72,75,76,83−85,93,123,124]. Подавление электромагнитных колебаний достигается обычно за счет отражения падающей волны от входа фильтра, причем рассеянием мощности в таком фильтре можно пренебречь. Существуют также поглощающие фильтры, обеспечивающие на всех частотах режим, приближающийся к согласованию.

В зависимости от положения границ пропускания и запирания на частотной оси (низшая частота и высшая частота) различают фильтры нижних и верхних частот (ФЕИ и ФВЧ), а также полосно-пропускающие и полосно-запирающие (режекторные) фильтры (ППФ и ПЗФ). Применение фильтров в микроэлектронике и радиотехнике необходимо, например, для частотного разделения каналов информации, подавления побочных излучений, для разделения СВЧ цепей и т. д.

Микроэлектронные фильтры можно разделить по способу реализации на несколько типов: волноводного типа с параллельно связанными полуволновыми резонаторами, на встроенных стержнях, на диэлектрических резонаторах, на одиночных полосковых линиях и другие.

Вообще говоря, фильтрующими свойствами обладает всякий полый металлический волновод, поскольку передача энергии по нему возможна лишь на частотах выше критической частоты для волны низшего типа. Полый волновод является простейшим ФВЧ, причем частота отсечки близка к критической частоте, зависящей от формы и размеров сечения волновода.

Тем не менее, в процессе совершенствования радиотехнических систем СВЧ диапазона широко используются новейшие достижения в области электроники СВЧ, современной элементной базы и материаловедения в сочетании с комплексным подходом к проектированию и оптимизации параметров фильтрующих устройств. Несмотря на то, что за последние годы предложено большое число конкретных вариантов СВЧ фильтров, интенсивный поиск новых типов фильтров на основе различных базовых элементов продолжается ив настоящее время.

В качестве базовых элементов фильтров СВЧ диапазона широко распространенно использование волноводно-диэлектрических резонаторов (ВДР), скачкообразных расширений волноводов (в частности, для реализации режекторных частотных фильтров), последовательности продольных ленточных диафрагм (обычно на их основе проектируются полосно-пропускающие и режекторные фильтры) и других систем. Моделирование перечисленных базовых элементов и фильтров на их основе также весьма удобно и эффективно проводить с помощью математических методов [25,52,53,59,77,115,119−126].

3.2 Результаты моделирования волиоведущих структур, включающих в себя разветвления и скачкообразные нерегулярности.

С помощью алгоритма приведенного в первой главе проведено моделирование ряда волноведущих структур: ступенчатое сочленение волноводов, волноводно-диэлектрический резонатор, волноводный разворот. Вычислительный алгоритм базируется на ключевой модели волновода, содержащей в себе основные неоднородности указанного типа (рис. 3.1, а). Проведено подробное исследование и сравнение полученных результатов.

О z а) х а.

О 1 z б).

Рис. 3.1. Рассматриваемые типы волноведущих структур, а — ключевая модель, включающая в себя основные типы скачкообразных нерегулярностейб — двухканальный волноводно-диэлектрический резонатор (ВДР). Черным цветом выделен металлразличной штриховкойобласти с различным диэлектрическим заполнением. I, II, III, IV, V — частичные области волноведущей структурыН10 — падающая слева волна.

3.2.1 Моделирование ступенчатого сочленения волноводов и анализ полученных результатов.

С помощью предложенного в первой главе алгоритма, основанного на применении проекционного метода сшивания (ПМС) [45,50,54], были составлены и реализованы в виде комплекса ЭВМ-программ алгоритмы решения нескольких задач, а также проведены исследования всевозможных дифракционных характеристик и сравнения с результатами, известными в научной литературе. Были рассмотрены задачи дифракции электромагнитной волны #10 на наиболее характерных нерегулярностях плоского волновода: скачке поперечного сечения, скачке диэлектрического заполнения и разветвлении волновода металлической полуплоскостью конечной толщины. Были исследованы качественные и количественные характеристики сходимости, проверено выполнение условия фазового синхронизма [80]. Все программы и расчеты реализованы в универсальной среде программирования MatLab 6.5.

На примере моделирования ключевой задачи о ступенчатом сочленении волноводов (рис. 3.1, б при d=0 вторую и пятую частичные области волновода для иллюстрации модели мы будем рассматривать как металлическую стенкускачок поперечного сечения) было проведено исследование явления «относительной сходимости» [80,82] (т.е. сходимости редуцированных решений к различным пределам в зависимости от выбранного способа усечения подсистем СЛАУ). Исследование показало, что наилучший результат (коэффициент отражения R = 0,5139 ±0,006 при фиксированных параметрах волноводов, а =, Ьа = 0,5 и длине волны X = 0,045) получается, если отношение числа волн, взятых в первом Nl и третьем Nm волноводах, равно отношению поперечных сечений первого и третьего волновода (т.е. N}/Nm = a/(ba)), а так же если номер N усечения СЛАУ лежит в интервале от 10 до 20 волн. Таким образом, можно сделать вывод о способе усечения исходной бесконечной системы. Отношение числа волн, взятых в волноводах должно быть равно отношению их поперечных сечений.

При исследовании внутренней сходимости оказалось, что значение коэффициента отражения «стабилизируется» (т.е. отличается от последующих в третьем знаке после запятой) при номере усечения СЛАУ N = 12.

Для иллюстрации эффективности используемого в работе проекционного метода сшивания [45,50,54,115,117] было проведено сравнение численных решений полученных с его помощью, с результатами, полученными двумя другими хорошо известными методами: методом моментов (ММ) и методом полуобращения матричных уравнений (МПО) (см., например, [48,62]).

В качестве модельной выбрана задача о рассеянии волны #10 на «нижней ступеньке» в волноводе (см. рис. 3.1, б при d=0). Результаты расчетов для методов ММ и МПО, а также параметры модели для сравнения взяты из [53] с использованием [44]. Так, ab/a = 0,501, к = а/А =, Ъ (практически во всех случаях, начиная с некоторого порядка N > 2к, исследуемые характеристики не зависят от к, поэтому здесь приведены данные со «средним» значением к = 1,3).

Сравнение трех методов показало, что проекционный метод сшивания обеспечивает хорошую сходимость и достаточную точность результатов. На рис. 3.2 видно, что график зависимости модуля коэффициента отражения r от порядка N усечения СЛАУ, полученный проекционным методом сшивания (на графике — красная линия с кружками), находится между графиками, рассчитанными с помощью метода моментов (зеленая линия с кружками) и метода полуобращения (синяя линия с кружками). Точным решением будем считать решение, найденное по МПО (метод полуобращения) при номере усечения N = 32, а именно модуль коэффициента отражения R = 0,478 578. Таким образом, исследуемый результат (решение, найденное с помощью проекционного метода сшивания) отличается от эталонного решения (МПО) лишь на несколько десятитысячных (см. рис. 3.2), что говорит о верно проведенных расчетах и об эффективности используемого метода.

R|.

0.478.

0.476.

0.474.

0.472.

0.470 iL 5 0.

25 N.

Рис. 3.2. График зависимости модуля коэффициента отражения |/?| от порядка N усечения.

СЛАУ при расчетах разными методами: проекционный метод сшивания (ПМС) — красная линия с кружками, метод моментов (ММ) — зеленая линия с кружками, метода полуобращения матричных уравнений (МПО) — синяя линия с кружками.

3.2.2 Моделирование волноводно-диэлектрического резонатора.

Волноводно-диэлектрический резонатор (ВДР) является одним из ключевых базовых элементов, использующихся при проектировании фильтров СВЧ диапазона. В данной работе рассматривается двухканальный волноводно-диэлектрический резонатор, представляющий собой металлодиэлектрическую волноведущую структуру, изображенную на (рис. 3.1, б). При использовании алгоритма первой главы было проведено математическое моделирование данной структуры [115] и детальное исследование различных дифракционных характеристик. Исследовалось поведение волны #10 при падении её на серию неоднородностей. В данном случае построение вычислительного алгоритма основывается на следующих формулах и предположениях. Заполнение волноводов диэлектрической проницаемостью конечно: x, z) = z<0,z>l, ?•' = 1, eIY =sY =?0,.

0< z </,.

V, 0.

Iff™, b.

Условия возбуждения и излучения, заключающиеся в отсутствии волн, приходящих из ±-оо, кроме падающей волны #10, будут иметь вид: m (X, Z) = <

00 z < 0: Ux, z)= (p (x)txp{iyz) + ?*>J (x)exp (-/"), n=l t/IY (x, z) = Ee: Y^Y (x) exp[irlJ (z-l)], b.

UY (x, z)^T"Y cpY (x) exp[/>"Y (z-/)], 0 0:

3.1).

Решение уравнения Гельмгольца во II и III частичных областях при 0.

Ux, z) = ?lA!!ri,(x)exp (ir!!z) + fiBy"1(x)exp[-iy!lI (z-/)], 0.

C/" '(x, z) = ECV" IWexp (^" z) +|]Z)>, Wexp[-//:" (z-/)], b.

3.2).

Условия проекционного сшивания: ux, z)[ym{x) dx=ux, z) i=Q (plm{x) dx+Um{x, z) lo.

P. (*) Л. r=0 aJE/1Y (x, z) dz J a-dUm (x, z) dz z=l.

3.3) z=/ ux, z)[ym{x) dx, о 0.

0 dz.

1 jn II, z.1 0 ^ p" (x) dx. m z=I.

Подставляя конечный ряд в виде (3.1) и (3.2) в проекционные соотношения (3.3) и, пользуясь соответствующим условием нормировки (см., например, (1.9)), получаем для искомых коэффициентов разложения редуцированную систему линейных алгебраических уравнений:

А&bdquo- + R = WXA + WXEXB+W2C + W2E2D, о 7 yWx -(W'f Гх R = Г2 А-Г2 Ех В, yl"oW2 — (W2)T Г] R = Г3 С — ГгЕ2Б,.

Т = МХЕХА + МХВ, Q = M2E2C + M2D,.

МХ?Г5Т = Г2ЕХА — Г2 В, (М2)7r4Q = Г3Е2С — Г3Д здесь обозначения отличаются от введенных в Главе 1, римские цифры заменены арабскими). Так Д&bdquo-0- столбец, зависящий от номера падающей нормальной волныR, A, B, C, D, Q, T — столбцы искомых коэффициентовWxd матрица, состоящая из элементов Wlp= JV" .

a dx, ь n0=, к =, 2,.ЫЪ- (W2y — транспонированная матрица W2, состоящая из элементов W2m =.

M')T = M (M2)T = M2- rr2, r3,rA, rsдиагональные матрицы постоянных распространенияЕЕ2 — диагональные матрицы экспонент. Считается, что N = JV, =N2+N3=N4+Ns, т. е. число учитываемых волн соответственно равно N}=N4,N2=N5- где N}, N2, N3,N4,NS — число волн в соответствующих частичных областяхиз этой системы, путем ряда преобразований получаем выражения для искомых коэффициентов.

В ходе работы было осуществлено сравнение численных решений полученных с помощью ПМС [115] для данной структуры с данными, полученными ранее экспериментально [83]. В работе [83] двухканальный ВДР исследовался на основе эквивалентной радиофизической схемы в одноволновом приближении. В общем случае резонансные частоты каждого ВДР различны, поэтому можно ожидать, что в результате интерференции волн, прошедших через каждый канал, появятся нули или полюсы затухания. Параметры установки и результаты для сравнения были взяты из [83] с использованием [63], а именно размеры волновода d = 1,21 см, а-Ъ- 1,06 см и диэлектрическое заполнение второй и третьей частичных областей s11 =sm =2,25. Типичные характеристики двухканального ВДР приведены на рис. 3.3 (график зависимости коэффициента передачи, а в дБ от частоты / в ГГц, где, а = 101g (l -|/?|2)-1).

На рис. 3.3 зеленой линией с точками обозначена экспериментальная кривая, а красной линией с кружками — кривая, посчитанная с помощью проекционного метода сшивания. Из графика видно, что расчетные и экспериментальные данные находятся в хорошем соответствии, точно совпадают резонансные частоты (/0=Ю, 6 ГГц) и значения коэффициента передачи. В частном случае, если из одного канала удалить диэлектрик, то это повлияет в основном на форму амплитудно-частотной характеристики вблизи резонанса. Небольшое расхождение между экспериментом и расчетом в левой части графика можно объяснить тем, что в расчете не учитывались потери, зависящие от вида реальных граничных условий и характеристик диэлектрика.

Рис. 3.3. Амплитудно-частотная характеристика двухканального ВДР, где коэффициент передачи, а = 10 lg (l -1/?|2)" '. Экспериментальная кривая — зеленая линия с кружками, кривая, посчитанная с помощью ПМС — красная линия с кружками.

На примере задачи о двухканальном волноводно-диэлектрическом резонаторе (см. рис. 3.1, б) было проведено исследование АЧХ в зависимости от варьирования начальных данных. Так резонансная частота /0 и высота амплитуды резонанса изменяются при задании различных интересуемых параметров. На (рис. 3.4 и 3.5) приведены некоторые результаты для различных начальных данных.

Так исследовалась зависимость амплитуды резонанса от изменения мнимой части диэлектрического заполнения: е" = е'" =е, + ie2.

Вычисления производились для фиксированных размеров волновода: а = 0,023 м, с! = 0,02 м, а-Ь = 0,06 м (3.4).

При этом фиксировалась вещественная часть диэлектрического заполнения ?¦,=2,25 и варьировалась мнимая ег. На рис. 3.4 приведены полученные результаты: (/) — кривая, соответствующая е2 =0,0001- (II) — е2 =0,001;

III)-е2 = 0,005- (IY)-e2 =0,01.

Рис. 3.4. Зависимость амплитуды резонанса от изменения мнимой части диэлектрического заполнения. Красные кривые посчитаны в зависимости от заполнения: (I) — е2 = 0,0001- (II) — е2 — 0,001- (III) — е2 = 0,005- (IY) — е2 = 0,01. Зеленая кривая с кружкамиэкспериментальная кривая [83].

Таким образом, из рисунка видно, что амплитуда резонанса заметно уменьшается при увеличении мнимой части диэлектрической проницаемости (см. рис. 3.4).

Далее исследовалось поведение резонансной частоты /0 в зависимости от изменения диэлектрического заполнения. Рассматривались два случая. Вычисления производились при фиксированных начальных данных (3.4).

Тангенс угла потерь tg (p = ey «10 4. Полученные результаты приведены на е рис. 3.5, где введены обозначения: (1)-е» = еш =2,25 + /0,0003, fx =10,6ГГц;

II) — е" = еш = 9,4 +/0,005, /2 = 9,52ГГц. f2 Ю fl 11.

S ГГц.

Рис. 3.5. Зависимость резонансной частоты от изменения диэлектрического заполнения.

Красные кривые I и II рассчитаны в зависимости от заполнения:

I) — е" = еш = 2,25 + /0,0003, fx = 10, в ГГц- (II) — е" = е'" = 9,4 + /0,005, /2 =9,52/71/.

Зеленая кривая с кружками — экспериментальная кривая.

При увеличении реальной части диэлектрической проницаемости наблюдается смещение резонансной частоты влево (см. рис. 3.5).

Представленный математический аппарат открывает перспективы исследования и построения эффективных алгоритмов решения целого класса задач теории волноводов, связанных с математическим моделированием различного рода резонансных волноведущих структур. Алгоритм позволяет провести строгий учет омических потерь в стенках и диафрагмах, допускает обобщение на расчет волноводов со слоисто-диэлектрическим заполнением, а также позволяет решать задачи синтеза.

3.2.3 Моделирование многоканальных делителей мощности.

На основе рассмотренного во второй главе диссертации алгоритма разработан комплекс программ для расчета и анализа основных электродинамических характеристик многоканальных волноводных делителей мощности (см. рис. 2.1) в зависимости от их геометрических параметров. Проведены исследования двухканального и трехканального делителей мощности. Для трехканального симметричного волноводного делителя мощности (см. рис. 2.1) в таблице 1 приведены значения квадрата модуля коэффициентов прохождения Tbj в разных волноведущих каналах bj в зависимости от их размеров при фиксированном размере внешнего волновода. Ширина внешнего волновода a = h = 23 мм, металлические полуплоскости обладают постоянной толщиной / = 0,14 мм, ширина среднего волновода уменьшается от некоторого значения (Ь2= 8,02 мм) до предельного значения (&2=0,02 мм), при котором трехканальный волновод стремится к двухканальному, при этом значение частоты фиксировалось / = 9,34 ГГц.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Математически поставлена и решена краевая задача для уравнения Гельмгольца в многосвязных волноводных областях, с границами, имеющими критические точки, в которых выполнены условия Мейкснера, и кусочно-непрерывным заполнением.

2. Для областей с кусочно-постоянной границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и реализован алгоритм решения этой задачи, основанный на проекционных условиях сшивания, записанных в интегральном виде.

Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи.

Доказана сходимость численного решения редуцированной системы линейных алгебраических уравнений к точному решению задачи.

3. Для областей с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывным заполнением разработан, математически обоснован и численно реализован алгоритм решения рассматриваемой задачи, в основе которого лежит неполный метод Галеркина с применением интегральных проекционных условий сшивания.

Доказаны существование и единственность приближенного решения.

Доказана сходимость приближенного решения к точному решению краевой задачи в пространстве L,.

4. Получены новые физические результаты с использованием численной реализации рассматриваемых алгоритмов решения краевой задачи.

5. Проведено исследование предлагаемых математических моделей на примере многоканальных делителей мощности и многозвенных фильтров, а также сравнение полученных результатов вычислений с данными физического эксперимента и результатами других вычислительных методов.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова Владимиру Павловичу Моденову за научное руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание, помощь и поддержку.

Хотелось бы также выразить искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, доценту Андрею Леонидовичу Делицыну за научное сотрудничество, помощь и ценные советы.

Автор благодарна руководителям семинара «Численные методы электродинамики» профессорам А. Г. Свешникову и А. С. Ильинскому и всем участникам, за внимание к работе и полезные замечания, а также всем сотрудникам кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.