Многочастотные колебания в связанных системах нелинейных автогенераторов

Изучение нелинейных колебательных систем занимает важное место во многих разделах физики и техники. Особую актуальность исследования в этом направлении приобрели в 20 веке, с быстрым развитие радиотехники, в связи с появлением таких нелинейных элементов как электронная лампа, полупроводниковый триод, т.к. такие проблемы, как устойчивость колебаний, изменение частоты колебаний с течением времени и т. д. появляются только в нелинейных системах. Наиболее удобными для изучения являются системы с малой нелинейностью, т. е. такие системы, которые близки к линейным системам. С этим связано, например, большое количество методов исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части, т. е. систем достаточно близких к линейным, так что при нулевом значении параметра система вырождается в линейную [2, 3, 12, 24, 31, 33, 34, 46]. Исследование систем с большой нелинейностью требует индивидуального подхода к каждой конкретной системе и представляет с математической точки зрения довольно трудную задачу.

Среди нелинейных систем особый интерес представляют автоколебательные системы, т. е. системы, которые преобразуют энергию постоянного источника в энергию колебаний. Примером автоколебательной системы может служить радиотехнический автогенератор. В системах с одной степенью свободы, стационарные автоколебания всегда являются периодическими [3, 19, 27, 28]. Если же число степеней свободы больше одной, то периодичность вообще говоря, может не иметь места. Таким образом, при исследовании автоколебательных систем определился круг задач, связанных с нахождением условий существования асимтотически устойчивых установившихся колебаний в нелинейных радиотехнических генераторах [3, 4, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 23, 27, 28, 48, 51]. Наиболее исследованными в этом отношении являются генераторы с одним и двумя связанными контурами [3,19,27, 28,48, 51]. Данная работа посвящена исследованию колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами, математическая модель которого предложена Непринцевым В.И.

Lf^ и^ и.

Vr-Tjfc—тпгл[ |глтпj | «w j.

Мз +.

Xt.

Ы Ri Cl Xj.

Хл Кг Сг эвт т т.

L3 Вз Сз.

Колебания в данной системе могут быть описаны системой шести нелинейных дифференциальных уравнений. х[ = ж2,.

2~ 1 I VLlCi 12 3 VhGi.

Х^ — ¾ ((Mmi-M2)Si 72⁴ = -721¹+ ^—-21 ~ 21 / 3:2 ~ 721)^3-^4 + r (721M1 — M2) {2S2Xl — 353a?-.)jC2 4 = a?6, /Ш*) -M, ГтзА^.. -ft. fa + т")*, ^ +)(25зЖ1 35зх?)ж2).

72 72 V^iCi где ari, Ж3, Ж5- описывают изменение напряжения в контурах с течением времени, а коэффициенты выражаются через параметры элементов, входящих в данную схему.

Целью данной диссертационной работы является:

— Приближенное нахождение многочастотных режимов автоколебаний в автогенераторе;

— Разработка методов приведения систем к стандартному виду метода усреднения, позволяющих применять для этой цели вычислительные машины;

— Нахождение условий асимптотической устойчивости, одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний;

— Выяснение типов асимптотически устойчивых колебаний при заданных параметрах автогенератора, которые могут зависеть от начальных условий;

— Разработка методики подбора параметров автогенератора с заданными характеристиками колебаний.

Как правило, системы дифференциальных уравнений, описывающие нелинейные автоколебательные системы не поддаются точному решению. Для решения таких задач применяются различного рода приближения, комбинируя аналитические и численные методы. Среди аналитических методов мощным инструментом являются методы возмущений (асимптотических разложений) по малым значениям параметра или координаты [2, 3, 12, 24, 31, 33, 34, 35, 36, 46], которые основаны на идее разложения искомого решения в ряд по степеням малого параметра. Обычно такие степенные ряды являются расходящимися, однако приближенное решение, которое получается путем обрыва степенного ряда, на п-м члене, дает хорошее приближение точного решения. Заметим, что построенные таким образом приближенные решения стремятся к соответствующим точным решениям не с увеличением числа п, а при фиксированном п и стремлении к нулю малого параметра.

В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, интенсивно развиваются численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Однако, эти два различных направления не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Асимптотические методы, в отличие от численных, позволяют исследовать качественную картину поведения решений. Кроме того, при численном интегрировании уравнения удобно в качестве начального приближения использовать приближенные решения, полученные асимптотическими методами.

Рассмотрим некоторые методы для систем с малым параметром при нелинейных членах.

Одним из первых таких методов явился метод Ван-дер-Поля (или метод медленно меняющихся амплитуд) [3,48]. В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассмотрел уравнение вида d2x 0 dxч с малым положительным параметром е. При этом обычно полагалось (уравнение Ван-дер-Поля):

Для получения первого приближения Ван-дер-Поль предложил метод «медленно меняющихся «коэффициентов: он представил истинное решение в виде функции, выражающей гармонические колебания х = acos (cjt + ф) с медленно меняющимися амплитудой, а и фазой ф. Эти величины находятся из дифференциальных уравнений с разделенными переменными da, Нф где, А (а), 5 (о)-некоторые функции амплитуды, просто определяемые через заданное выражение /(ж,.

Метод Ван-дер-Поля оказывается удобным, когда для решения задачи достаточно ограничиться первым приближением по малым параметрам. Метод не дает рецептов для построения высших приближений.

Еще один метод — метод малого параметра[3, 27, 35, 36]. Основная идея этого метода основана на том, что периодическое решение автоколебательной системы должно быть близко к одному из периодических решений соответствующей консервативной системы. Последнее решение в методе малого параметра называется порождающим. Основная задача метода в большинстве случаев состоит в нахождении этого порождающего решения и определении малых поправок к нему.

Рассмотрим теперь метод, который применяется в данной работеметод усреднения Крылова-Боголюбова [3, 6, 8, 10, 12, 19, 28, 32, 35, 43, 45, 47, 49, 51].

Этот метод применяется к так называемым уравнениям в стандартной форме, т. е. уравнениям вида dx '.

При помощи соответствующей замены переменных многие задачи об исследовании автоколебаний в квазиконсервативных системах в принципе могут быть сведены к решению уравнений в стандартной форме. Основная теорема этого метода приводится в § 3. Данный метод и различные его модификации очень часто используется при исследовании разнообразных систем нелинейных дифференциальных уравнений, например при исследовании уравнений математической физики [21, 24, 33, 38], нелинейных систем со случайными параметрами [7, 22, 27, 37], систем дифференциальных уравнений с запаздыванием [6, 26, 40, 42] и т. д. [25, 46].

Заметим, что все изложенные здесь методы расчета автоколебаний основаны на близости рассматриваемой системы к линейной и поэтому, естественно, дают одинаковые результаты в первом приближении по малому параметру. Поэтому для получения первого приближения можно использовать любой из этих методов с одинаковым успехом. Отметим, что кроме приведенных здесь методов, существует еще целый ряд методов расчета колебаний в нелинейных системах [3, 4, 14, 27, 35,36, 48].

Итак перейдем к изложению основных результатов работы.

Рассматривается автогенератор на трех связанных контурах.

В первой главе приводится постановка задачи, подробно рассматриваются законы управляющие работой электрических цепей, выводится математическая модель колебаний в автогенераторе на трех связанных контурах. Затем полученная система приводится к виду с малым параметром. В первой главе показано, что математическая модель колебаний напряжения в контурах автогенератора имеет вид системы шести дифференциальных уравнений с кубической нелинейностью. х = х2, (Mi.Si, , Mi (.

— -Ж1 + ¦— - Лх I — Жз Ч—.——, rr2.

W^iCi / y/LC хъ — X/^j f (Mij2i-M2)Si.. V. ¦. , 72⁴ = ~721®1+ -^J^Q—h ~ «^1721J Я2- (1 + 721)^3-^4 + Ы1М1 — M2)(2S2Xl — 353®?)®2.

5 +.

VLlCi.

4 = хъ.

M2(^)-M3)Sl /732Ч I 732 (72 + 732)^5 + Щ^{232Х1 ^.

12 72 y/l>C где r = t[JLCi, t € R-время, x' — dx®/dT, Aj = RiCi/y/L^C[,.

Aij = RiCj/y/ЦСг, = LfCi/CLiCO, 7*- - 2/iC,-/(2,iCi).

В таком виде система уравнений плохо подходит для исследования. Большинство методов исследования нелинейных систем разработано для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части, вида: х' = Ах + ef (x), т. е. систем достаточно близких к линейным, так что при нулевом значении е, система вырождается в линейную. При этом предполагается, что параметр е является «малым», в том смысле, что он может принимать лишь достаточно малые по абсолютной величине значения. Исходя из этого система уравнений приводится к виду с малым параметром. Пусть 0 < £±-приращение к величине Si, и е = ?ijfLrC — малый параметр. Вводя обозначения:

К22 = J^L — Л&bdquoк41 =.

42 = -72.

Si.

4з г) (^1721 — м2) — А1721 + А21 j ,.

721 + 1.

44 =.

45 =.

А2.

72'.

62 =.

7з.

21— + Л31 72 ез.

64 =.

— 732 7372'.

732 А-32.

7з72 7з 7з 72.

7з' 252 02 =-, 1.

З53 о 3 = —, ei мы получаем, что система уравнений в векторной форме принимает вид: х' = Ax + ef{x), (2.1) с постоянной матрицей А: А.

0 1 0 0 0 0.

— 1 #22 -1 0 0 0.

0 0 0 1 0 0.

41 #42 #43 #44 #45 0.

0 0 0 0 0 1.

0 #62 #63 #64 #65 #66.

2.2) и векторной функцией = где F21 = Mi, F41 = ~(М1721 — М2), F61 = ~ М3).

72 7з 72.

Таким образом, система дифференциальных уравнений описывающая изменение напряжений в автогенераторе записана в виде (2.1) с малым параметром е. Отметим, что нас интересует, прежде всего, изменение напряжения с течением времени в первом контуре х (т).

Во второй главе с помощью разработанной методики, система дифференциальных уравнений приводится к стандартному виду метода усреднения. Приводится основная теорема метода усреднения. При помощи метода усреднения получена усредненная система уравнений, найдены особые точки усредненной системы уравнений, получены критерии существования одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний в автогенераторе, получены критерии асимтотической устойчивости данных колебаний, доказано, что нулевое решение системы, при Mi > 0, является неустойчивым. Доказана теорема о взаимосвязи устойчивости одночастотных, двухчастотных, трехчастотных колебаний при заданных параметрах автогенератора. Большинство аналитических преобразований и усреднение системы дифференциальных уравнений проведены при помощи пакета программ Maple [9]. Перейдем к рассмотрению результатов, полученных во второй главе.

При исследовании колебаний в автогенераторе нас, прежде всего, интересуют квазипериодические решения, исходя из этого для матрицы, А доказывается следующая теорема. Пусть — вещественные чис о.

F2i (1 + 52®I 0.

4l (l + fal 0 и (1 + S2X1.

S3xf))x2 Ssxl))x2.

2.3) ла. Приведем условия, при которых вырожденная система х' — Ах имеет только квазипериодические решения.

Теорема 2. Пусть матрица, А имеет, вид (2.2), тогда условия.

43⁶⁵ — КА1Кьь ~ ^45⁶³ — Ььь = 0, (4.1).

44-^66 — #43 + Кц — KqqK42 — #43 #66 #22 ~ #65 + #43#65+.

Х64#22#45 — #44#65#22 — KmK4s — ЬЬ — (Ь + Ь1) Ь = 0, (4.2) Х44#66 — #4з + 1 ~ #65 + КтК22 + КмК22 -bl-bl-bl = 0, (4.3).

44#65 ~ К66К41 — #64#45 — #43#65#22 + #45#62 ~ #65#42+.

43#66 + #ез#22#45 = О, (4.4).

-#64#45 — КиКтК22 — #44 + К43к22 + КиК65 + #42 + #65#22~.

-#бб + #43#бб = 0, (4.5).

22 + #44 + #66 = О (4.6) необходимы и достаточны для того, чтобы общее вещественное решение однородной системы х' — Ах имело вид х (т) = CRe{eiblT h{) + C2/m (e*blT/n) + C3Re (eib2T h2) + C4/m (ei62T/i2)+.

C5Re (eihTh3) + C6Im (eib3Th), (4.7) где Ci, C2, C3, C4, C5, Сб, — произвольные вещественные постоянные,^, h2, hs — линейно независимые собственные векторы, отвечающие соответственно собственным значениям ibi, ib2, ib% матрицы А.

Уравнения, для которых применяется метод усреднения, должны быть приведены к стандартному виду, т. е. к виду у'(т) = е?(т, у).

Для системы (2.1) такое приведение возможно с помощью замены переменной х = (ехрАт)у, где у — новая неизвестная векторная функция. Однако, для этого нужно находить ехрАт, или вещественную фундаментальную матрицу линейной системы х' = Ах. В целях упрощения вычислений, система (2.1) сначала сводится к одному дифференциальному уравнению шестого порядка, т.к. при этом легко выписывается общее решение такого уравнения, а затем с помощью замены переменных, учитывая условия (4.1)-(4.6), приводится к стандартному виду метода усреднения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.1). Положим.

5.1).

Х2 = Х’ь xz = -Хх + К22Х2 + eF2i (l + S2xi — S3xl))x2 — х2,.

Х4 = #3, хь — -^[K^xi + К42×2 + К4 $х3 + + eF4i (l + S2xi — Szx))x2 — S4], х'6 = Kq2x2 + #63³ + KQ4X4 + К65×5 + К66хб + eFq 1(1 + S2X1 — Ssxj))x2. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Система дифференциальных уравнений (2.1) с помощью замены переменных (5.1) сводится к уравнению шестого порядка относительно х.

5.2) xf] - {Ки + К22 + K66) xf] - (#63#45 + К65К41 — К65К43) Х1 (—Кб6#43 — #62#45 + #64#45 + #65#42 — #65#44 — #63К22#45-f.

66#4i + К65К43К22) х'1 — (К65 — КтК44 — 1 + #43 — К44К22.

— КтК22) х^ - (К65#44#22 + #43 + #65 — #65#43 ~ #64#22#45+ +#66#42 «#бб#44 — #41 + #66#43#22 + К^КАЪ)х'{ - (-#65#44 + #44—#42 + #66 + #64#45 «#66#43 «#65#22 + #66#44#22 ~ К4зК22) х{^ =.

12 е[((-2 К66Ки + 2#б5 + 2 K43) F21 + 2 Яц)5зК)3 + (((-2 #65#44+ +2 #64#45 — 2 K66K43) F2i — 2 Ke^SzXi + ((12 + 12 K%Q)F21X'[~.

— 20F2143))S3 + ((#65#44 + #66#43 «K6iK45)F21 + #66#41)52)И)2+ + (((-#65#43 + #63#45)*21 + ^б!#45 — #65F4l)53(*i)2+.

— 6 #66#44 + 6 #65 + 6 #43)^21 + 6 F41) x'i + (-10 xf] + (8 #66+.

8 #44)43V2l)S3 + ((#65#43 — #63#45)*21 + #65*41 — F6i#45)S2)si.

— 30 F21(x'tfSz + (((3 #66#44 — з #65 — 3 #43)F21 — 3 + (5 + (-4 K44 — 4 #бб)^Р)^21)52 + (#65#43 — #63#45)#21 + #65#41~ — ¦^61 #45)^1 + (((#66#43 ~ #65#44 + #64#45)*21 ~ #66⁴¹ К + ((#66+ +#44)Ж[4) + (#43 + #65 ~ #66#44)^f> - 45)№l + #4l43))^3(^l)2+ +(((6 #44 + 6X66) i^lK)2 — 20 x’lF2lxf})S3 + (((X65#44+ #66#43~ -#64#45)#21 + K66F4l) x'l + ((-#44 «#66^^ + («#43 ~ #65 + #66#44)^Р+.

5))F21 — f4i43))s2)®I + ((3#44 — 3#66)#2iW)2 + IO.