Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации

Актуальность работы.

Как известно, в нелинейной динамике выделяют два класса динамических систем: диссипативные [1−9] и консервативные [1, 4, 9 — 12]. Для первых характерным является наличие притягивающих объектов (аттракторов), отвечающих за возможность существования различных установившихся колебательных режимов, а для вторых — сохранение фазового объема в процессе временной эволюции. Если система характеризуется некоторым параметром, ответственным за величину диссипации, то при его изменении происходит превращение диссипативной системы в консервативную. В таком контексте консервативные системы являются в определенной мере «негрубыми», так как малейшее отклонение параметра разрушает свойство сохранения фазового объёма и переводит систему в класс диссипативных. В силу этого, такой переход оказывается очень сложным и требует специального изучения. В определенной мере можно говорить о «почти» консервативных системах, выделяя их в своего рода особый, «промежуточный» класс, требующий самостоятельного изучения [13 — 29]. В настоящее время проблема поведения таких систем изучена все еще мало, хотя важность её отмечена многими исследователями. В частности, имеется подход к их изучению, основывающийся на теории консервативных систем и рассматривающий диссипативность, как некоторое возмущеиие, выводящее систему из класса гамильтоновых (см., например, монографию [13] и цитированную там литературу). Возможен альтернативный подход, основанный на методах теории диссипативных систем с исследованием изменения их свойств при уменьшении уровня диссипации. При этом с точки зрения физики целесообразно исследовать примеры диссипативных систем, имеющих физическую мотивацию и, соответственно, ясный консервативный предел.

К настоящему моменту существует ряд работ, в которых обсуждается динамика систем с постоянным уровнем диссипации при его малых значениях на примере различных модельных отображений. Одним из важнейших специфических свойств почти консервативных систем является сосуществование при одних и тех же значениях параметров очень большого (сотни и тысячи) числа аттракторов. Так, одна из первых работ на эту тему [14] носит характерное название: «Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors» — отображение с более чем 100 сосуществующими низко-периодическими аттракторами. Помимо этой, существует ряд других работ, посвященных изучению слабо-диссипативной версии ротатора, находящегося под воздействием периодической последовательности импульсов [15, 16], а также отображения для двойного ротатора [17] с акцентом на изучении свойств сосуществующих режимов. Также можно указать аналогичную работу, посвященную исследованию модели ускорения Ферми [18]. В работе [19] в контексте слабо диссипативных систем исследуется так называемое отображение Богданова, демонстрирующее дискретную версию известной бифуркации Богданова-Такенса. В контексте изучения мультистабильности в слабо диссипативных системах укажем на обзор [20] и цитированную там в разделе, посвященном системам с малым уровнем диссипации, литературу, в частности, работы, посвященные изучению мультистабильности в системах механических осцилляторов [21 ] и колебаниям в моделях висячих мостов [22]. Различными авторами обсуждалась проблема существования хаотических аттракторов в слабодиссипативных системах и закономерности эволюции бассейнов притяжения аттракторов при изменении уровня диссипации и приближении системы к консервативному пределу [23 — 25]. Кроме того, следует отметить ряд работ, в которых авторы для систем различной природы, от моделей ускорения Ферми до оптических, описывают поведение, сочетающее в себе черты как консервативной, так и диссипативной динамики [26 -29].

В этом же контексте существенным является вопрос о сценариях перехода к хаосу, среди которых наиболее распространенным является переход через каскад бифуркаций удвоения периода. Такие переходы могут наблюдаться как в диссипативных системах (сценарий Фейгенбаума) [1 -9], так и в консервативных [1,4], однако их свойства во многом различны. В первом случае при увеличении управляющего параметра происходят последовательные удвоения периода аттрактора системы, накапливающиеся при изменении параметра к критической точке F. В консервативных системах наблюдаются удвоения эллиптических орбит, накапливающиеся к критической точке Н. При этом закон накопления бифуркационных точек к критической характеризуется своими константами скейлинга (самоподобия), соответственно 5⁴.6 692 016. и 5Н=8.7 210 972. [1 — 8, 30 -34]. Известны примеры сосуществования этих двух типов поведения в пространстве параметров, относящиеся к случаю отображений с фиксированным якобианом, отвечающим за уровень диссипации [35 -41]. Картина перехода от консервативного критического поведения к диссипа-тивному оказывается сложной (проблема, известная в литературе, как conservative-dissipative crossover [35,40,41]). С общей точки зрения введение любой, сколь угодно малой диссипации неизбежно приводит к появлению фей-генбаумовской критичности, начиная с определённого уровня удвоений [35 -41]. Поэтому важным является вопрос о возможности существования критических точек гамильтоновского типа в реалистичных моделях диссипативных систем.

Весьма конструктивными в контексте исследования соотношения свойств консервативных и диссипативных систем представляются радиофизические задачи и подходы, использующие различные типы колебательных и автоколебательных систем в форме разнообразных осцилляторов. В этом плане можно сформулировать задачу построения системы радиофизических моделей, находящихся под внешним воздействием и имеющих соответствующий консервативный предел. В качестве простейшей исходной системы можно выбрать осциллятор Дуффинга с линейным (вязким) трением и кубической нелинейностью, находящийся под импульсным воздействием постоянной амплитуды. Для такой системы с помощью метода медленно меняющихся амплитуд можно получить приближённое дискретное отображение, представляющее собой известное и популярное в нелинейной динамике отображение Икеды [8, 42, 43]. Следующим шагом может служить переход к автоколебательным системам типа осциллятора Ван-дер-Поля, включая введение в уравнения системы нелинейности диссипации, а также зависимости амплитуды внешнего воздействия от значения динамической переменной. Такой путь может привести к новому отображению в виде автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, которая, как мы покажем, может служить удобным объектом для сопоставления диссипативного и консервативного типов перехода к хаосу через удвоения периода. Наконец, дальнейшим развитием может являться переход к исследованию связанных эталонных моделей нелинейной динамики при малых значениях диссипации.

Цели и задачи исследования.

Целью настоящей работы является выявление особенностей перехода от диссипативной к консервативной динамике в радиофизических системах ос-цилляторного типа.

В ходе выполнения работы решались следующие задачи:

• исследование изменений устройства пространства параметров и фазового пространства при приближении к консервативному пределу на примере отображения для осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием (отображение Икеды);

• построение и исследование модели по типу осциллятора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, зависящей от значений динамической переменной, пригодной для изучения взаимосвязи диссипативной и консервативной картины критических явлений, связанных с переходом к хаосу через удвоения периода;

• исследование изменения устройства плоскостей управляющих параметров для систем связанных отображений Эно и стандартных отображений Тейлора-Чирикова при изменении диссипации и изучение возникающих при этом особенностей.

Методы исследования.

В ходе выполнения работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, для построения дискретных отображений, применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений методом медленно меняющихся амплитуд [44−46] и метод «дискретизации» [10, 13]. При численном исследовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпуновских показателей [8], для анализа устройства плоскости параметров консервативных систем в работе предложен оригинальный метод построения «карт разбегания». Для анализа динамики системы в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и портретов аттракторов [1 — 9]. Для анализа изменений структуры фазового пространства при изменении одного из управляющих параметров использовались метод построения бифуркационных деревьев [1, 2, 8] и множества бифуркационных деревьев на одной диаграмме [14], а также предложенный в работе метод построения модифицированных карт динамических режимов. Для численного анализа бифуркаций отображений использовалась программа Content [47]. Решение нелинейных дифференциальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка. Программирование осуществлялось на языках Delphi и Fortran, некоторые алгебраические преобразования выполнялись с помощью программы Mathematica.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. В отображении Икеды (двумерное отображение, являющееся моделью осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием) при малом уровне диссипации наряду с «основным» аттрактором, существующим при всех значениях управляющего параметра, наблюдается сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов с различными временами переходного процесса. В определённых интервалах значений управляющего параметра бассейн притяжения одного из «побочных» аттракторов может занимать большую часть фазового пространства, однако при увеличении параметра, отвечающего за удвоения периода, побочные аттракторы исчезают, и всё фазовое пространство занимает бассейн притяжения хаотического аттрактора, возникшего на базе «основного».

2. В приближенном дискретном отображении, описывающем автоколебательный осциллятор Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, нелинейным образом зависящей от значения динамической переменной, критическое поведение гамильтоновского (характерного для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах) типа наблюдается как феномен коразмерности два.

3. В системе связанных обратимых двумерных отображений при уменьшении диссипации происходят существенные изменения устройства плоскости параметров, управляющих удвоениями периода в подсистемах. В частности, возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода (фейгенбаумовской линии) с возникновением на концах разрывов критических точек различных типов (точек гамильтоновского типа и точек, ассоциирующихся с появлением решения уравнения репормгруппы в виде цикла периода 2), что позволяет разделить возникающие разрывы на два типа.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при расчётах апробированного в нелинейной динамике и широко используемого математического инструментария, включая численные методы, а также предусмотренной возможностью сравнения и совпадением результатов с известными для предельных случаев. При нахождении критических точек и констант скейлинга точность полученных результатов обеспечивается совпадением решений уравнений с несколькими различными начальными приближениями. Карты динамических режимов, построенные путем прямого численного моделирования, находятся в соответствии с результатами бифуркационного анализа и картами ляпуновского показателя.

Научная новизна работы.

В диссертационной работе впервые:

1. Изучено устройство плоскости параметров отображения Икеды при приближении к консервативному пределу. Для слабо диссипативного случая показано существование большого числа низкопериодических аттракторов, которые можно разделить на два типа по характеру их зависимости от управляющего параметра. Обнаружено резкое увеличение длительности переходного процесса, в начале которого слабо диссипативная система ведёт себя почти как консервативная. Показано, что при уменьшении уровня диссипации число побочных аттракторов, способных демонстрировать хаотическую динамику, стремится к нулю, однако в целом система способна демонстрировать хаотическое поведение при переходе к хаосу на основном аттракторе.

2. На примере системы Икеды предложен и реализован метод анализа устройства плоскости параметров в консервативном случае — «карта разбега-ния», который в определенной мере является аналогом метода карт динамических режимов в диссипативных системах. Этот метод оказывается пригодным и для систем с шумовым воздействием.

3. Введена в рассмотрение модель автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, представляющая собой осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием с амплитудой, управляемой текущей координатой осциллятора по квадратичному закону. В квазигармоническом приближении получено соответствующее дискретное отображение. В зависимости от внутренних и внешних параметров такая система может приводиться как к классическому отображению Эно, так и к традиционным автоколебательным моделям с импульсным возбуждением.

4. В предложенном отображении обнаружена критическая точка, характерная для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах (точка гамильтоновского типа). Эта точка выступает как феномен коразмерности два и является концевой для фейгенбаумовской линии перехода к хаосу через удвоения периода.

5. При значениях параметров, соответствующих существованию в такой системе в автономном режиме неустойчивого предельного цикла, обнаружена возможность инициированных внешним воздействием устойчивых квазипериодических движений и системы языков Арнольда устойчивых синхронных режимов разного порядка.

6. Проведено исследование структуры пространства параметров исходной системы дифференциальных уравнений в различных режимах функционирования автономной системы, которое показало хорошую степень соответствия построенному отображению.

7. Установлено, что для связанных отображений Эно при уменьшении уровня диссипации происходят существенные изменения в картине бифуркаций и критических явлений. На плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах, при уменьшении диссипации возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Выделены различные сценарии возникновения указанных разрывов. Они разделены на два типа по типу критических точек, которыми заканчивается фейгенбаумовская линия на краях разрывов. Обнаружена ситуация, когда отрезок линии Фейген-баума может заканчиваться критическими точками разных типов — точек га-мильтоновского типа Н и точек С, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода два.

Научная и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание особенностей взаимосвязи динамики диссипативных и консервативных систем и особенностей перехода между ними. Обнаружение гамильтоновской точки в автоколебательной модели с компенсированной диссипацией вносит вклад в теорию критических явлений на пороге хаоса. Выявленные особенности устройства плоскости параметров связанных слабо диссипативных отображений Эно (появление разрывов фейгенбаумовской линии, наличие у них концевых точек разного типа, появление и эволюция определенных бифуркационных структур) могут прояснить и упростить анализ других связанных слабо диссипативных систем со сложной динамикой. Предложенные в работе методы построения «карт разбегания» и «модифицированных карт динамических режимов» могут быть использованы при анализе различных консервативных и слабо диссипа-тивных систем.

Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний. В настоящее время результаты используются на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках учебных дисциплин «Консервативный хаос» и «Проблемы нелинейной динамики» для студентов 4 курса. Личный вклад.

Постановка задач и обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные экспериментыпроведено программирование всех задач. Апробация работы. Публикации.

Основные результаты работы докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2004;2010 гг.);

• конференции молодых учёных «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XIV и XV всероссийских школ «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008, 2010 гг.);

• VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);

• российско-французский семинар «Nonlinear science and applications» (Франция, Безансон, 2010 г.);

• X всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2006);

• I — V конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006 — 2010 гг.);

• школа-семинар «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007 г.);

• международная школа-семинар «Statinfo 2009» (Саратов, 2009);

• XIII и XV международные конференции «Foundations and advances in nonlinear sciences» (Беларусь, Минск, 2006, 2010 гг.);

• международный конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.);

• 36-я конференция центральноевропейского сотрудничества в статистической физике «МЕСО 36» (Украина, Львов, 2011 г.) — а также на семинарах базовой кафедры динамических систем Саратовского государственного университета и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН и на семинаре группы теоретической физики и сложные систем Института химии и биологии моря Университета Ольденбурга (Ольденбург, ФРГ).

Результаты работы использовались при выполнении государственного контракта Федерального агентства по науке и инновациям № 02.442.11.7237, аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектов РФФИ (гранты №№ 03−02−16 192,08−02−91 963), CRDF REC-006 (персональный грант для студентов), гранта Президента РФ № МК-905.2010.2. Частично результаты работы получены в ходе визита автора в группу профессора У. Фойдель в университете Ольденбурга, поддержанного Германской службой академических обменов (DAAD). Цикл работ автора, использованных в настоящей диссертации, удостоен медали РАН за лучшую научную работу студентов ВУЗов России по направлению «Физика и астрономия» по конкурсу 2008 года.

По теме диссертации опубликовано 27 работ, из них 5 в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций, а также 1 статья в рецензируемом журнале и 21 публикация в тезисах докладов и материалах конференций (из них 2 в электронном виде).

Структура и краткое содержание.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

3.3. Выводы.

1. Введены в рассмотрение модели консервативно связанных двумерных отображений с целью исследовать поведение связанных систем при эволюции подсистем от диссипативного к консервативному случаю. В качестве подсистем использовались отображения Эно и диссипативные версии стандартных отображений Чирикова-Тейлора.

2. Устройство плоскости параметров связанных отображений Эно, отвечающих за удвоения периода в подсистемах (Хь Х2), при уменьшении уровня диссипации претерпевает существенные изменения. Область квазипериодических движений, находившаяся в системе связанных логистических отображений вблизи диагонали плоскости (Хь Хг), расширяется в область существенно неравных значений X] и Х2.

3. Переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода становится двухпараметрическим. При определённом значении параметра диссипации фейгенбаумовская линия претерпевает разрыв с образованием очень большого числа бифуркационных линий (ситуация, охарактеризованная, как своего рода «бифуркационный взрыв»). Дальнейшее уменьшение диссипации ведёт к образованию ещё одного разрыва фейгенбаумовской линии. Таким образом, линия Фейгенбаума становится разделённой на три фрагмента. Указанные разрывы линии Фейгенбаума имеют различные механизмы образования и типы возникающих на краях критических точек.

4. При приближении к консервативному пределу связанные системы демонстрируют разнообразие типов критического поведения. Критическая точка типа С, существовавшая в системе связанных логистических отображений как концевая точка фейгенбаумовской линии на границе области квазипериодических движений, сохраняется и при переходе к связанным двумерным системам. Кроме того, критические точки этого типа возникают на границах одной из областей разрыва фейгенбаумовской линии. На границах другой области разрыва фейгенбаумовская линия заканчивается другими критическими точками — га-мильтоновского типа Н. При этом возникает ситуация, когда фрагменты линии Фейгенбаума имеют в качестве концевых критические точки разных типов (С и Н соответственно).

5. При дальнейшем уменьшении диссипации в системе возникает характерная для почти консервативных систем мультистабильность, при этом области существования хаотических аттракторов существенно уменьшаются в размерах как в фазовом пространстве, так и в пространстве параметров. Исследуемая система, однако, не демонстрируют столь резкого увеличения переходного процесса, какое наблюдалось в главе 1 для двумерного отображения Икеды.

6. Для исследования динамики в консервативном случае построены предложенные в первой главе «карты разбегания». Их анализ позволяет сделать вывод о том, что область устойчивости консервативной системы в фазовом пространстве имеет достаточно сложную структуру, причём её размер резко уменьшается при удалении от диагонали плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах.

Заключение

.

В работе рассмотрена динамика неавтономных радиофизических систем осцилляторного типа в случае, когда их динамика близка к консервативной. В первой главе рассмотрена динамика системы с постоянным уровнем диссипации — приближенного дискретного отображения, описывающего динамику осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием постоянной амплитуды (отображения Икеды). Вторая глава посвящена динамике так называемой автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией — генератора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, квадратичным образом зависящей от значения динамической переменной системы. В третьей главе рассматривается динамика консервативно связанных систем при уменьшении уровня диссипации в подсистемахв качестве подсистем выбраны эталонные в нелинейной динамике отображения Эно, способные служить моделями многих реалистичных радиофизических систем, в том числе и ротатора под периодическим импульсным воздействием, а также стандартные отображения Чирикова-Тейлора. С помощью спектра численных и аналитических методов проведено исследование пространства параметров и фазового пространства указанных систем, исследовано критическое поведение на пороге хаоса.

В работе получены следующие основные результаты.

1. При значениях управляющих параметров, отвечающих малому затуханию в исходной системе, отображение Икеды демонстрирует сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов. Эти аттракторы наблюдаются одновременно с «основным», существующим при всех значениях управляющего параметра, и могут быть разделены на два типа по величине области своего существования в пространстве параметров и характеру поведения в зависимости от управляющих параметров.

2. Побочные аттракторы отображения Икеды способны демонстрировать различные времена переходного процесса и имеют различные размеры бассейнов притяжения, при этом может возникать ситуация, когда в небольшом интервале параметров площадь бассейна притяжения одного из побочных аттрак.

124 торов существенно превышает площадь бассейна притяжения «основного» аттрактора, которая, однако, восстанавливается после гибели побочного. При уменьшении диссипации в системе происходит уменьшение бассейнов притяжения и гибель побочных хаотических аттракторов, так что хаотическая динамика в системе локализуется на основном аттракторе. Многие из сосуществующих аттракторов крайне чувствительны к шумовому воздействию и разрушаются уже при небольших амплитудах внешнего шума.

3. Получено дискретное отображение, описывающее динамику генератора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, квадратичным образом зависящей от значений динамической переменной (автоколебательная система с компенсируемой диссипацией), и исследована его динамика в различных режимах функционирования автономной системы. Это отображение способно демонстрировать разнообразную динамику. В частности, обнаружено существование областей устойчивых квазипериодических движений и синхронных режимов разного порядка, возникших в случае? Когда в автономной системе реализуется неустойчивый предельный цикл.

4. В полученном дискретном отображении для автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией обнаружена критическая точка гамильто-новского типа, характерная для консервативных систем. Данная критическая точка существует в рассматриваемом случае как феномен коразмерности два и возникает как предел последовательности точек типа «резонанс 1:2». В её окрестности существуют периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Характерная для существования критической точки данного типа структура бифуркационных линий сохраняется при переходе к исходной системе дифференциальных уравнений.

5. Изучены изменения, происходящие при уменьшении диссипации в системе консервативно связанных отображений Эно на плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах. Характерные для системы в случае сильной диссипации сценарии перехода к хаосу — через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодических движений существенно трансформируются. Область квазипериодических движений и линия перехода к хаосу через их разрушение расширяется в область существенно несимметричных подсистем, а линия перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода претерпевает разрывы. Полученные разрывы можно разделить на два типа по механизмам их образования. На краях возникающих разрывов линия Фейгенбаума заканчивается критическими точками типов С и Н, в зависимости от типа разрыва, и в системе возникает ситуация, когда отрезок фейгенбаумовской линии заканчивается с двух сторон критическими точками различных типов.