Функциональные методы в неравновесной статистической физике системы гидродинамического типа

5.2 Формулировка модели.79.

5.2.1 Формальное решение и парный коррелятор.80.

5.3 Четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра.. 83 5.3.1 Уравнение для одновременного четырехточечного коррелятора. 84.

5.4 Тетраэдральное представление.88.

5.4.1 Общий скейлинговый индекс четырехточечного коррелятора... 91.

5.5 Слияние точек в четырехточечном корреляторе.94.

6. Пассивный скаляр в одномерном сжимаемом поле скоростей. Обратный каскад и статистика темпа диссипации.101.

6.1 Введение.101.

6.2 Формулировка модели и обратный каскад.101.

6.3 Динамика в формализме лагранжевых частиц.104.

6.4 Корреляционные функции градиентов поля в в конвективном интервале .108.

6.5 Скейлинг и функция распределения разностей поля 9 в пространственно разнесенных точках.111.

6.5.1 Большие расстояния .112.

6.5.2 Инерционный интервал .113.

6.6 Функции распределения диссипации и градиентов поля 9 .116.

Приложение 6А. Поведение парного коррелятора поля градиентов на больших временах .124.

Приложение 6Б. Вывод динамической формулировки в теоретико-полевом формализме.126.

7. Статистика темпа диссипации в двух измерениях.

7.1 Введение и разделение времен .131.

7.2 Вычисление функции распределения 'Р (е).135.

Приложение 7А. Особенности функции С (г) .138.

8. Обратный каскад в высших размерностях.140.

8.1 Введение и критерий появления обратного каскада.140.

8.2 Статистика 8вг = #(Т, г) — в (Т, 0) в конвективном интервале... 143.

9. Метод перевала в динамических функциональных интегралах: турбулентность в уравнении Бюргерса.

9.1 Введение.146.

9.2 Функциональные интегралы для моментов градиента скорости и их экстремали.148.

9.3 Выделение мягкой флуктуационной моды .154.

10.

Заключение

158.

Литература

160.

1 Введение.

Задача о выводе статистических свойств неравновесного волнового поля, стартуя с динамических уравнений эволюции, восходит к классической работе Л. В. Келлера и А. А. Фридмана [1]. Первый точный результат на этом пути, относящийся к развитой гидродинамической турбулентности, был получен А. А. Колмогоровым [2] - знаменитый закон четырех пятых для одновременной корреляционной функции скорости третьего порядка:

Здесь п = 1//ие = ^< (djVi)2 > - темп диссипации энергии, v — вязкость, и расстояния предполагаются лежащими в инерционном интервале, то есть, I много больше масштаба, на котором существенна диссипация и много меньше масштаба L внешней накачки, создающей стационарное движение. В его работах этого же цикла [2, 3, 4] и работах А. М. Обухова [5, 6] была впервые сформулирована гипотеза подобия. ^ Буквально она формулировалась как предположение о степенном виде парного одновременного коррелятора разности скоростей и наличии в инерционном интервале единственного размерного параметра е. После этого из соображений размерности следует закон Колмогорова-Обухова:

В этих работах была также развита восходящая к Л. Ричардсону идея каскада — спектального потока энергии и вообще, любого интеграла движения. В гидродинамической турбулентности реализуется прямой каскад — переход энергии с больших масштабов на малые и так вплоть до расстояний, на которых происходит её диссипация. Подробности см. в книгах [8],[9].

В дальнейшем гипотеза подобия в её буквальной формулировке была распостранена на высшие корреляционные функции, так что их скей Позже идея подобия получила второе рождение в теории фазовых переходов [7].

1.0.1) ((v® — v (r + l))2 >= constе2/3/2/3.

1.0.2) линговые индексы получались кратными индексу парного коррелятора. Попытка динамического обоснования как закона (1.0.2), так и аналогичных соотношений для высших корреляторов встретила непреодоленные до сих пор трудности, имеющие то же происхождение, что и нерешенные проблемы теории поля — сильное взимодействие и отсутствие каких-либо малых параметров. Огромное количество работ на эту тему использует те или иные предположения о статистических свойствах диссипации, самого поля скоростей и т. д., не имеющие сколь-нибудь разумного обоснования на динамическом уровне. Следует отметить только статьи [10],[11] и [12]. В первых двух было показано, что закон Колмогорова-Обухова проносится через формальный ряд теории возмущений по нелинейности с исключенным переносом. В работе [12] же исследовалась двумерная развитая турбулентность и было обнаружено, что для корреляторов скорости возможно такое пересуммирование теоретико-возмущенческих рядов, что в задаче возникает в качестве малого параметра обратный логарифм отношения масштаба накачки к текущему, лежащему в инерционном интервале (для локальных составных операторов такого параметра нет).

С другой стороны, эксперимент ясно показывает несоответствие наивных скейлинговых оценок для высших корреляторов поля скорости и других наблюдаемых, причем в случае общего положения можно говорить о параметрически сильной негауссовости — неприводимые корреляторы больше приводимых в положительную степень отношения Ь/г, где г — текущий масштаб.

В такой ситуации стало ясно, что, с одной стороны, необходимо начать исследование более простых моделей турбулентного типа, то есть, статистически стационарных неравновесных состояний волновых полей, и с другой — попытаться развить методы, учитывающие переносную нелинейность точно и использующие какой-нибудь другой малый пара.

2)В первом порядке это впервые обнаружил Р. Крайчнан [13]. метр.

Начнем с первого подхода. Важным этапом было построение теории слабой волновой турбулентности — в этих задачах есть хорошо определенные квазичастицы, относительно слабо взаимодействующие друг с другом. Турбулентное состояние хорошо (за некоторыми важными исключениями) описывается кинетическими уравнениями и оказалось, что степенные спектры являются их точными решениями [14]. Было обнаружено также, что наряду с прямым каскадом возможен обратный — «перекачка» дополнительных интегралов движения в большие масштабы. Следует заметить, что качественное представление об обратном каскаде возникло независимо при исследовании двумерной гидродинамической турбулентности [22]. Впечатляющее развитие теории слабой волновой турбулентности описано в книге [15].

Другой класс моделей — пассивные скаляры — сохраняет такую важную характеристику динамики, как пространственный перенос возбуждения полем скоростей, но статистические свойства скорости считаются не зависящими от амплитуды самого возбуждения.

Пассивным скаляром называется поле 0(г,, подчиняющееся линейному уравнению движения: в + иаХ7а6 = ф + кАв, (1.0.3) описывающему перенос заданным полем скорости и (?, г) (отсюда определение «пассивный»). Уравнение эволюции включает в себя диффузию кАв (необратимость) и источник (накачку) г). Мы будем рассматривать случайные поля скоростей и задавать будем их статистику. То же относится и к накачке. Мы полагаем источник ф скоррелированным на масштабе Ь. Это значит, что его парная корреляционная функция (<^>(г1, ¿-г)) = ^(¿-х — ?2, ^12) как функция пространственного аргумента г 12 — |Г1 —1*21 спадает на расстояниях порядка Ь. То же относится и к высшим корреляторам.

Типичными примерами пассивных скалярных полей являются поле температур в турбулентной атмосфере и концентрация примеси в турбулентной жидкости. Состояние поля будет предполагаться стационарным в статистическом смысле, то есть, мы будем считать времена наблюдения настолько большими, что диссипация и накачка пришли в равновесие между собой и функции распределения физических величин перестали зависеть от времени. Диссипация определяет время установления стационарного состояния, но корреляционные функции на масштабах, больших диссипативного г^//, от неё или не зависят, или же эта зависимость в некотором смысле тривиальна (см. ниже). Следует отметить, что пассивные модели представляют самостоятельный интерес, так как описывают реальные физические ситуации .

Переноситься могут также и векторные поля, например, вмороженное магнитное поле. Задачи такого типа возникают в астрофизике [17], но мы ими заниматься не будем (см. [18]и недавние достижения в статьях [19] и [20]).

Изучение из первых принципов статистических свойств пассивного скалярного поля, переносимого случайным полем скорости с заданной мерой усреднения началось в пионерских работах [21] и [22]. Основное развитие шло в направлении применения тех или иных приближений и подходов, возникших при попытках решения проблемы турбулентности в рамках уравнения Навье-Стокса и результаты получались большей частью соответствующей достоверности. С другой стороны, натурные [23, 24, 25, 26, 27] и численные [28, 29] эксперименты показывали, что статистическая физика турбулентного переноса пассивного скаляра демонстрирует многие черты, свойственные развитой гидродинамической турбулентности: аномальный скейлинг высших корреляционных функций, негауссову статистику локальных характеристик типа темпа дис.

Точное определение диссипативной длины зависит от конкретной статистики поля скоростей и будет приведено ниже. сипации и т. д. Обнаружение таких явлений в решаемых, стартуя с эволюционных уравнений, моделях стало вызовом теоретической физике.

Вопрос о статистических свойствах решения уравнения (1.0.3) фактически с самого начала сформулирован в терминах функционального интеграла — именно такой смысл имеют усреднения по мерам в функциональном пространстве. Однако развитые в теории поля мощные методы [30, 31] требуют некоторой адаптации к неравновесным задачам и развития сами по себе. Кроме того, в общем случае (произвольной статистике поля скорости) даже пассивная задача очень сложна и достоверные результаты удается получить только в некоторых постановках более частного характера. В данной работе — в главах 2−4,6,8, посвященных пассивному скаляру — подробно изучим случай гладкого поля скорости, когда для изучения локальных характеристик можно использовать разложение функции г) в ряд Тэйлора в окрестности данной точки и задавать статистику коэффициентов этого разложения, как случайных функций времени. Мы исследуем влияние на статистику самого поля конечного времени корреляции поля скорости и вычислим функции распределения параметра диссипации в однои двумерном случае. Окажется, что статистика этой локальной величины — сильно негауссова с универсальным хвостом. Полученные результаты объясняют имеющиеся данные численных и натурных экспериментов и дают надежду на понимание более сложных и фундаментальных проблем. Метод, использованный для решения этой задачи — точное (в пределе бесконечного отношения длины инерционного интервала к диссипативной) непертур-бативное разделение масштабов в правильно написанном функциональном интеграле — заведомо найдет более широкое применение.

В главе 8 рассмотрено гладкое и быстрое, но сжимаемое поле скоростей и обнаружено, что начиная с некоторого критического значения параметра сжимаемости прямой каскад сменяется на обратный, причем статистика поля 9(оказывается гауссовой на больших расстояниях и сильно негауссовой — внутри инерционного интервала.

В главе 5 описаны результаты принципиального характера, относящиеся к полю скорости с нетривиальной масштабной размерностью стуктурной функции. Именно: впервые в динамической модели показана доминантность негауссовой части высших корреляторов в инерционном интервале и найдены обеспечивающие это аномальные индексы (конкретно — одновременной четырехточечной корреляционной функции пассивного скаляра). Также сформулированы правила слияния (или, что-то же, операторная алгебра) на уровне четырехполевых объектов. Эти правила определяют локальные наблюдаемые.

Все результаты, относящиеся к пассивно-скалярной турбулентности, не могут быть получены в рамках теории возмущений, использующей разложение в ряд по переносному члену а9 в уравнении эволюции (1.0.3). (Такие попытки между тем предпринимались [32]). Однако при переходе к «по-настоящему» нелинейным задачам мы увидим, что до недавнего времени диаграммная техника Уальда была единственным оружием теоретиков. Эта диаграммная техника имеет свою специфику, но в главную свою характеристику она заимствует из теории поля — это разложение по нелинейности, то есть, для систем гидродинамического типапо переносу. Наивный ряд теории возмущений изначально был рядом по бесконечно большому параметру. В работе [11] удалось сформулировать свободную от почленных расходимостей теорию возмущений, используя идею Крайчнана [13]. После этого параметр разложения стал в лучшем случае порядка единицы. Однако совершенно очевидно, что непертурба-тивные эффекты в таком случае никакой априорной малости не имеют (а великость — могут).

Давно известно, что если для какой-нибудь величины есть интегральное представление, то можно использовать метод перевала. Если речь идет о функциональном интеграле и никакой возможности считать нелинейность малой нет, то параметр, по которому применима квазиклассика, может содержаться в усредняемой величине. По-видимому, впервые эта идея в полевой системе была использована И. М. Лифшицем для нахождения асимптотик плотности состояний электрона в неупорядоченном кристалле [33] («хвосты Лифшица»). Позже [34] Л. Н. Липатовым было продемонстрировано, как использовать метод перевала для нахождения высоких порядков теории возмущений в квантовой теории поля. Поскольку классические экстремальные конфигурации, локализованные и во времени, и в пространстве, часто называются инстантонами, то мы будем использовать термины — инстантонный подход и инстантонные конфигурации.

Для статистической физики нелинейных неравновесных систем гидродинамического типа метод перевала — в настоящее время единственный подход, который может дать контролируемо достоверные результаты. Более того, ответы, которые так можно получить — хвосты производящих функций и функций распределения — непосредственно наблюдаемы, так как в таких системах измеримой является сама флуктуирующая динамическая переменная. Инстантонный метод для функциональных интегралов — производящих функционалов средних в динамических неравновесных системах 4) — был сформулирован в работе [37]. В ней он был проверен на точно решаемых задачах пассивно-скалярного типа. Следующим применением стала турбулентность в уравнении Бюргерса с накачкой: дф + идхи — ид^и = ф (1.0.4).

В главе 9 описано, как получается левый (нетривиальный) хвост функции распределения градиентов и разностей скорости и (инвариантных относительно преобразования Галилея величин) и описаны также некоторые дальнейшие достижения. Впрочем, открытых вопросов, как всегда, больше.

4'Такие представления получаются очень просто. См. [35], книгу [36] и главу 9.

Каждая глава данной работы предваряется своим введением 5) и читаться может, как правило, независимо.

5)В этих локальных введениях и содержатся ссылки на оригинальные работы автора.

10 Заключение.

В диссертации развит метод функционального интегрирования для некоторых задач неравновесной статистической физики систем гидродинамического типа и с его помощью получены следующие результаты:

1. Рассмотрен перенос пассивного скаляра гладким двумерным бездивергентным случайным полем скоростей, подчиняющимся гауссовой статистике.

При изучении корреляций пассивного скаляра на расстояниях г, много меньших масштаба Ь внешней накачки, в задаче возникает большой параметр 1п Ь/г. В главном порядке по этому параметру статистика пассивного скаляра 9(г, ?) оказывается гауссовой для произвольного времени корреляции скорости вплоть до моментов с номерами порядка 1п Ь/г. Найдена зависимость ляпуновского показателя и определяеных им корреляционных функций поля 0(г, ?) от времени корреляции поля скорости.

2. В ведущем порядке по 1п Ь|r¿-^¡-¡вычислена. одноточечная функция распределения Т>{9) для некоррелированного по времени поля скоростей вплоть до негауссовых хвостов, которые оказываются экспоненциальными.

3. В двух же измерениях найдена четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра для быстропеременного гладкого поля скоростей. Её негауссова часть определяет те величины, для которых главный логарифмический вклад сокращается. Показано наличие слабой угловой особенности для расстояний в инерционном интервале.

4.Развит аппарат для изучения статистических свойств пассивного скаляра в гладком поле скоростей в N — мерном случае. Вычислена одноточечная статистика для некоррелированного по времени переноса (вплоть до моментов порядка 1п Ь/г^ц) и найден спектр ляпуновких экспонент.

5. Для поля скорости с нетривиальным скейлингом показана параметрически сильная негауссовость пассивного скаляра в инерционном интервале и для большой размерности пространства найдены аномальные индексы четырехточечного коррелятора. Сформулированы также правила слияния, определяющие локальные объекты.

6. Для одномерного сжимаемого и двумерного несжимаемого гладких случайных полей скорости вычислены функции распределения дис-сипативного параметра, локальной величины, чувствующей динамику на диссипативном масштабе. Показано, что эта функция распределения — существенно негауссова с (по-видимому) универсальным хвостом. Она объясняет данные численных и натурных экспериментов.

7. Показано, что в сжимаемом поле скорости может возникнуть обратный каскад — перенос возбуждения по спектру с малых расстояний на большие. В случае крупномасштабного переноса найдены иллюстрирующие это явление функции распределения.

8.Найден левый хвост функции распределения градиентов и разностей скорости для задачи о турбулентности в уравнении Бюргерса. Этот хвост существенно зависит от вязкости и убывает медленнее, чем гауссово распределение. Последнее обстоятельство позволяет говорить об аналитическом описании статистической перемежаемости в нелинейной системе, исходя из уравнений движения. Выделены также мягкие флук-туационные моды, происходящие из галилеевской инвариантности теории.

Я благодарен моим соавторам Е. Балковскому, М. Вергассола, А. Гамба, В. Лебедеву, Г. Фальковичу и М. Черткову за радость совместной работы.