Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа

Солитоны были впервые обнаружены на поверхности жидкостей в позапрошлом веке и долгое время представляли интерес лишь для небольших групп специалистов в области гидродинамики и математики. В конце 50-х годов XX века концепция солитонов проникает в физику плазмы, а с начала 70-х, когда была продемонстрирована структурная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [1] и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [2], а также было предложено использовать солитоны в качестве битов информации в оптоволоконных коммуникациях [3], солитоны становятся весьма популярным объектом исследования.

Солитоны, согласно общепринятому определению, представляют собой нелинейные локализованные в пространстве объекты, движущиеся с постоянной скоростью. Скорость солитона является главным параметром солитона, часто определяющим его амплитуду и ширину. Подобными являются солитоны на поверхности жидкостей, а также солитоны, впервые открытые в плазме — ионно-акустические и магнитозвуковые. Однако, впоследствии были обнаружены и более сложные солитонные решения в виде осциллирующих солитонов, внутри которых происходят осцилляции с определенной частотой и длиной волны. Подобные солитонные решения часто возникают в задачах о распространении квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, включая также задачи о самофокусировке. &bdquo-Внутренняя" длина волны осциллирующих солитонов, как правило, много меньше их характерного размера, поэтому такие солитоны часто называют &bdquo-солитонами огибающих" .

Скорость &bdquo-простого" солитона может принимать значения внутри некоторого &bdquo-разрешенного" интервала, границы которого определяются в общем случае из условия касания плоскости со = (к • V) и дисперсионного соотношения для линейных волн ш = с^(к) — пересечение этих поверхностей означает присутствие черенковского излучения и невозможность существования стационарно движущихся объектов. На границах интервала скорость солитона принимает экстремальное значение V^, равное минимальной (или максимальной) фазовой скорости линейных волн, и в результате солитоны испытывают либо мягкую, либо жесткую бифуркации. Подобные бифуркации солитонов впервые были обнаружены для гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде в численных экспериментах Лонге-Хиггинса [4]. При V V^ амплитуда солитона может стремиться к нулю плавно (мягкая бифуркация), либо испытывать скачек (жесткая бифуркация). Бифуркации солитонов имеют много общего с фазовыми переходами. В частности, как было выяснено в работах [5]-[9], солитоны в случае мягкой бифуркации вблизи критической скорости ведут себя универсальным образом: их форма определяется стационарным НУШ фокусирующего типа, ширина ведет себя как Vcr — F|~1//2, а амплитуда — как |Va- — V]½. Последнее роднит эти явления с фазовыми переходами второго рода. С другой стороны, аналогом фазового перехода первого рода является жесткая бифуркация, когда амплитуда солитона испытывает скачек в точке бифуркации. Если этот скачек мал, то жесткая бифуркация близка к мягкой, что позволяет развить теорию возмущений так же, как и в случае фазовых переходов вблизи три-критической точки.

Переход от мягкой бифуркации к жесткой соответствует смене знака четы-рехволнового матричного элемента. В работе [10] было показано, что подобная ситуация имеет место для солитонов внутренних волн, распространяющихся вдоль границы раздела между двумя идеальными жидкостями, когда отношение их плотностей р = Р2/Р1 < 1 совпадает с критическим рс- = (21—8/5)/11 «0.283. Если плотность верхней жидкости много меньше чем плотность нижней р <С 1, то также как и в случае чистых гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде, солитоны испытывают мягкую бифуркацию. С ростом отношения плотностей жидкостей характер нелинейного взаимодействия меняется с фокусирующего на дефокусирующий при переходе через ра-, где четырехвол-новый матричный элемент обращается в ноль. При этом в случае р > Per соли-тоны испытывают жесткую бифуркацию: при V —» Vcr их амплитуда меняется скачком с некоторого конечного значения до нуля.

Обращение константы четырехволнового взаимодействия в ноль происходит также в системе поверхностных квазимонохроматических гравитационных волн в жидкости конечной глубины при критическом произведении глубины жидкости и волнового числа основной гармоники k^h ~ 1.363. Этот факт был впервые установлен в 1966 году в работах Уизема [11, 12], где с использованием метода усреднения по быстрым осцилляциям было показано, что при переходе koh через критическое значение усредненные уравнения движения изменяют свой тип, являясь при koh < k^h гиперболическими и соответственно эллиптическими при koh > kcrh. В 1967 в работе Бенджамина и Фейра [13] была исследована устойчивость слабонелинейных периодических гравитационных волн на поверхности жидкости — волн Стокса. В частности, было установлено, что волны Стокса являются неустойчивыми при koh > k^h и устойчивыми в противном случае. Область неустойчивости Бенджамина-Фейра в пространстве волновых чисел возмущений пропорциональна амплитуде волны Стокса, т. е. в пределе малых амплитуд неустойчивые возмущения представляют собой модуляции исходной волны. Последнее обстоятельство послужило основанием для вывода НУШ для огибающих, что было выполнено Хасимото и Оно [14]. В частности было показано, что устойчивость монохроматических волн определяется знаком коэффициента перед кубической нелинейностью, который обращается в ноль при koh = kcrh.

В нелинейной оптике уменьшение абсолютного значения четырехволнового матричного элемента может происходить за счет стрикционного взаимодействия (рассеяние Мандельштамма-Бриллюена), что было продемонстрировано в работе [15].

Солитоны, как физические объекты, представляют практический интерес если они устойчивы. Поэтому задача об устойчивости солитонов является одной из главных. В случае неустойчивости одним из возможных вариантов нелинейной стадии неустойчивости является волновой коллапс — разрушение солитона происходит за конечное время с образованием сингулярности для амплитуды и/или ее градиентов. С точки зрения нелинейной оптики, например, оптики световолокон, этот процесс сопровождается сжатием импульса и поэтому может служить в качестве возможного способа получения сверх-коротких импульсов.

Структура диссертации следующая.

В Главе 1 в рамках метода гамильтонова формализма рассматривается задача о бифуркациях и устойчивости одномерных солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг. Так как при р —> рсг константа четырехволнового взаимодействия стремится к нулю, то для адекватного описания свойств солитонов необходимо учитывать члены высших порядков ио сравнению с классическим НУШ: градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию, а также шестиволновое взаимодействие. Оказывается, что первые бывают двух типов (оба присутствуют в задаче): локальный, аналогичный нелинейности Лифшица для фазовых переходов, а также нелокальный, аналогичный найденному Дистом [16] для гравитационных волн на глубокой воде. В разделах 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 рассчитываются константы нелинейных взаимодействий, а также выводится результирующее уравнение на огибающую первой гармоники солитона. В разделе 1.4 исследуются солитонные решения. В частности, в случае V < V^. с помощью численного моделирования найдены три семейства sign (/9 — per) = 0, ±1 экспоненциально затухающих солитонов. В случае V = V^. существует только один алгебраически затухающий соли-тон, соответствующий жесткой бифуркации р > рсг, форма которого найдена аналитически. В разделе 1.5 с помощью теоремы Ляпунова, а также точных интегральных оценок типа Соболева анализируется устойчивость солитонных решений. Показано, что семейство солитонов р < р^, испытывающих мягкую бифуркацию при V —"¦ Ver, реализует минимум энергии при фиксированном волновом действии, что означает устойчивость рассматриваемых решений не только относительно малых, но также и относительно конечных возмущений. В то же время, солитоны, соответствующие жесткой бифуркации р > Per, реализуют седловую точку энергии, что означает их неустойчивость относительно конечных возмущений.

В Главе 2 исследуется динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн для жидкости конечной глубины вблизи критического произведения волнового числа основной гармоники и глубины жидкости kcrh. С помощью методов, развитых в главе 1, в разделе 2.1 выведено обобщенное нелинейное уравнение Шредингера на огибающую первой гармоники волнового пакета, которое rio сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехволновому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. По сравнению с солитонами внутренних волн в данной задаче отсутствуют какие-либо нелокальные члены. В разделе 2.2 исследуется устойчивость решения полученного уравнения в виде монохроматической волны. В частности установлено, что область устойчивости волны Стокса в^{-пространстве} сужается с ростом ее амплитуды. В разделе 2.3 рассматриваются бифуркации и устойчивость солитонных решений обобщенного НУШ. Солитоны характеризуются величиной —А2, которая имеет смысл энергии солитона как связанного состояния для нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что при, А —> О солитоны испытывают мягкую бифуркацию при k^h > kcrh и являются устойчивыми относительно конечных возмущений, тогда как в противном случае koh < kcrh солитоны испытывают жесткую бифуркацию и являются неустойчивыми относительно конечных возмущений.

В Главе 3 рассматривается вопрос о возможности развития коллапсов в системах, описанных в главах 1 и 2. В частности также исследуется вопрос о нелинейной стадии неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой. В разделе 3.1 показано, что в случае дефокусирующей кубической нелинейности как для системы внутренних волн (ГУУ), так и для квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины (??) существуют распределения с отрицательным гамильтонианом Н < О, амплитуда которых не может становиться меньше фиксированного значения, определяемого через значения гамильтониана и волнового действия на данном распределении. В отсутствии локального градиентного члена к четырехволновому взаимодействию условие отрицательности гамильтониана на распределении оказывается достаточным условием образования особенности в системе за конечное время, т. е. коллапса. В разделе 3.2 приведены результаты численного моделирования возмущенных солитонов для случаев 1? и соответствующих жесткой бифуркации. Показано, что в зависимости от начального возмущения одной из возможных нелинейных стадий неустойчивости таких солитонов является коллапс развивающийся автомодельным образом. Достаточно неожиданным результатом оказалась практически полная симметричность пика распределения вблизи образования коллапса в присутствии нелинейности вида г/3ф2,фх, которая в зависимости от знака ?3 должна приводить к дополнительному укручению переднего или заднего фронта волны и опрокидыванию. Вместо этого, как для 1У {?3 > 0), так и для (/? < 0), несимметричность импульса проявлялась только вдали от максимума распределения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложениях, А и Б вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения ввиду их излишней громоздкости.

Заключение

.

Перечислим основные результаты работы.

1. Разработан основанный на применении гамильтонова формализма метод теории возмущений для исследования свойств квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейных средах в случае, когда константа четы-рехволнового взаимодействия близка к нулю. В рамках данного метода предложен способ расчета всех необходимых констант нелинейного взаимодействия. В частности, получена формула для подсчета перенормировки константы шестиволнового взаимодействия за счет трех-, четырех-, и пятиволнового взаимодействия для произвольной динамической системы.

2. С помощью предложенного метода исследованы бифуркации солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг при стремлении скорости солитона к минимальной фазовой скорости линейных волн. Выведено обобщенное нелинейное уравнение Шрединге-ра, описывающее поведение солитонов при v —> V^-, которое по сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. Показано, что при р < рсг солитоны испытывают мягкую бифуркацию, тогда как при Р > Per — жесткую. Анализ устойчивости полученных солитонных решений показал, что солитоны, соответствующие случаю мягкой бифуркации, устойчивы относительно конечных возмущений, тогда как солитоны, соответствующие случаю жесткой бифуркации — неустойчивы.

3. Рассмотрена динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины h вблизи крититического произведения волнового числа и глубины жидкости Ос- = kcrh. В частности, проанализированы устойчивость волн Стокса в зависимости от амплитуды волны, а также бифуркации и устойчивость солитонов огибающих при стремлении обратной ширины волнового пакета к нулю. Показано, что в случае 0 > солитоны являются устойчивыми относительно конечных возмущений и испытывают мягкую бифуркацию, тогда как в случае в < 9СГ солитоны неустойчивы и испытывают жесткую бифуркацию.

4. Исследована нелинейная стадия неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой как для солитонов внутренних волн, так и для поверхностных солитонов огибающих в жидкости конечной глубины. Показано, что в зависимости от знака возмущения в системе возможен коллапс, развивающийся автомодельным образом. При этом вблизи образования коллапса пик распределения остается практически симметричным. Влияние эффекта у кручения фронта приводит к асимметрии его хвостов.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. D.S.Agafontsev, F. Dias, E.A.Kuznetsov, Bifurcations and stability of internal solitary waves, JETP Letters, vol. 83 (2006), iss. 5, pp. 241−245.

2. D.S.Agafontsev, F. Dias, E.A.Kuznetsov, Deep-water internal solitary waves near critical density ratio, Physica D, vol. 225 (2007), No. 2, pp. 153−168.

3. Д. С. Агафонцев, Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины, Письма в ЖЭТФ, том 87 (2008), вып. 4, с. 225−229.

4. D.S. Agafontsev, F. Dias, Е.А. Kuznetsov, Collapse of solitary waves near transition from supercritical to subcritical bifurcations, arXiv:0805.1620vl, will be published in JETP Letters vol. 87 (2008), iss. 11.