Динамические явления в композитных средах

Под композитными принято понимать среды, состоящие из нескольких компонентов. В-основном, данный термин используется для материалов, изготовленных из определенных компонентов, для придания ему необходимых макроскопических свойств. Однако, многие природные среды также можно считать композитными, если рассматривать их состав и структуру. В настоящей работе нами будут рассмотрены явления, происходящие в двух типах композитных сред: в мембранных системах, и в металл-диэлектрических средах.

Глава 1 настоящей работы посвящена мембранным системам. Биологические мембраны привлекли внимание физиков около полувека назад [1−7]. Были предложены модели, позволяющие описывать поведение мембран, в частности, исследовать движение жидкой среды окружающей мембраны. Для этого необходимо описывать саму мембрану некоторым набором физических параметров, ее характеризующих. В подавляющем большинстве случаев, мембраны рассматриваются с макроскопической точки зрения как бесконечно тонкие пленки, то есть, как двумерный объект. При этом, свойства мембран существенным образом отличаются от свойств обычных границ раздела между двумя жидкостями. Это приводит к тому, что мембраны оказывают существенное качественное влияние на движение жидкости вокруг них. С другой стороны, именно это качественное изменение в характере течения жидкости в мембранной системе, по сравнению с системами другого характера (границами жидкость-жидкость [8], или жидкость-твердое тело) может быть использовано для изучения свойств самих мембран.

Как известно, мембраны являются неотъемлемым элементом клеток всех организмов. В силу этого, понимание механизмов влияния мембран на течение окружающей их жидкости приобретает огромное значение. В настоящей диссертации мы рассмотрим влияние мембран на гидродинамическое взаимодействие маленьких частиц, взвешенных в жидкости в мембранных системах. Под гидродинамическим, мы понимаем взаимодействие посредством возбуждения в жидкости течения движущейся частицей. Известно, что такое взаимодействие приводит к некоторым корреляциям в Броуновском движении частиц [9]. Существенно, что наличие мембран приводит к существенным изменениям в характере этих корреляции. При этом, является важным понимание того, какие характеристики мембран оказывают то или иное влияние на характер взаимодействия частиц. Данные знания потенциально могут быть использованы для разработки методик по определению различных характеристик мембран. Это является одним из основных мотивирующих факторов данного исследования.

Нами будут рассмотрены системы двух типов геометрий: жидкость между параллельными плоскими мембранами и жидкость внутри почти сферической везикулы — замкнутой мембраны, имеющей форму, близкую к сферической. Первый тип реализуется в, так называемых, ламеллярных фазах — системах с множеством параллельных плоских мембран. Второй тип является простейшей моделью биологических клеток. В качестве модели, описывающей влияние движущейся частицы на течение жидкости, мы будем пользоваться понятием сосредоточенной силы, действующий на жидкость. Соответственно, будет решена задача о нахождении функции Грина для уравнения Стокса. Полученный результат может иметь широкое применение — он позволит находить отклик жидкости в мембранной системе на произвольным образом распределенную силу.

В главах 2 и 3 настоящей работы исследуются металл-диэлектрические композитные среды. В последнее время такие среды являются предметом активного изучения, прежде всего в связи с созданием метаматериалов — композитных сред, структура которых обеспечивает им специфические оптические свойства. Чаще всего, речь идет о наличии у таких сред, в некоторой области частот, отрицательного показателя преломления. Впервые свойства таких сред были описаны еще в середине 20-го века [10]. Однако, на тот момент это представляло, разве что, методический интерес — в природе среды с такими оптическими свойствами не найдены. В дальнейшем оказалось возможным искусственное создание таких сред. В-основном, они представляют собой материалы, в которых металлические частицы определенных конфигураций вкрапляются определенным образом в диэлектрик [11−14]. По отношению к волнам, длина которых много больше, чем размер металлических частиц, такая среда может считаться сплошной, и, как оказалось, в некоторых частотных областях может иметь отрицательный показатель преломления.

Несмотря на то, что описанные среды рассматриваются как сплошные, механизм, обеспечивающий им нужные макроскопические свойства, определяется именно конфигурацией электромагнитного поля вокруг металлических частиц, из которых изготовлен материал. В Главе 2 настоящей работы нами будет изучено взаимодействие с электромагнитным полем пар металлических гранул, расположенных близко друг к другу. В таких системах следует ожидать большого увеличения амплитуды поля в узком зазоре между металлическим гранулами, по сравнению с амплитудой внешнего поля, что подтверждается экспериментальными данными [15−17]. При этом существенно, что в оптической области частот, данное явление носит резонансный характер — в системе возбуждаются поверх-ностно-плазмонные моды.

В качестве моделей нами будут рассмотрены задачи об усилении поля между двумя близкими сферическими и цилиндрическими частицами. Подобные задачи решались ранее для металлических или диэлектрических частиц в стационарном электрическом поле [18, 19]. Ни в том, ни в другом случае, резонансные явления не рассматривались. Рассмотрение резонансных явлений было ранее выполнено для удаленных металлических сфер [20]. Однако, в этом случае, эффект представляет собой лишь малую поправку к эффекту для одиночных сфер. При наличии близко расположенных металлических гранул, теория возмущений по отношению к изолированным гранулам, является неприменимой, и необходимо использование специальных методов.

При исследовании усиления поля между двумя гранулами, основной интерес представляют два вопроса: чем определяется положение резонансов, или, что эквивалентно, собственных мод системы, и чем определяется коэффициент усиления поля в условиях резонанса. Нами будет установлено, что в системе двух гранул, оба этих эффекта определяются характеристиками системы: положение резонансов зависит от геометрии зазора между гранулами, а коэффициент усиления поля — от геометрии всей системы. Задача о собственных модах пары сферических металлических гранул рассматривалась ранее [21], и численным образом были получены результаты. Задача об усилении поля, насколько нам известно, ранее не рассматривалась.

Помимо пар сферических и цилиндрических гранул, представляет также интерес задача об усилении поля между двумя вытянутыми гранулами. Данная задача возникает естественным образом при анализе утверждения о том, что усиление поля в димерах гранул определяется геометрией всей системы. В связи с этим, встает вопрос об увеличении этого коэффициента, путем изменения параметров гранул. Аналитическое рассмотрение допускает задача о двух цилиндрических гранулах, имеющих вытянутые сечения. Данная задача также рассмотрена в Главе 2.

Глава 3 посвящена изучению плазмонных мод цепочки металлических гранул. Рассмотрены цепочки цилиндрических гранул различных сечений: такие системы допускают аналитическое исследование. В отличие от пары гранул, резо-нансам в таких системах, соответствуют не отдельные значения проницаемости металла, а целые области — резонансные зоны. Внутри каждой зоны возможно существование мод с различными квазиимпульсами, определяющими трансляционную симметрию поля. Исследование собственных мод в таких цепочках проводилось ранее [22], однако систематического исследования ширины зон и дисперсии мод выполнено не было. Моды в цепочках с сильноудаленными гранулами рассматривались в работе [23]

Нами будет показано, что ширина резонансных зон (интервал значений проницаемости, соответствующий одной зоне) в таких цепочках, оказывается порядка величины самой проницаемости — зоны являются широкими. Для малых квазиимпульсов нами будет аналитически найдена дисперсия мод. Дисперсия при произвольных значениях квазиимпульса будет исследована численно. Будет также исследован вопрос об усилении внешнего поля в таких системах.

Далее, на основании полученных результатов рассматривается задача об отражении электромагнитной волны от цепочки цилиндров. Предполагается, что волна падает нормально, и что вектор магнитного поля поляризован вдоль образующих цилиндров. При этом обнаруживается следующий эффект. Если вместо цепочки цилиндров волна падает на сплошную пластинку той же толщины, что и радиус цилиндров, то пластинка окажется практически прозрачной для волны, если проницаемость металла пластинки удовлетворяет определенному неравенству. При замене такой пластинки цепочкой цилиндров, изготовленных из такого же металла, волна начинает сильно отражаться при определенных частотах. Эти частоты соответствуют собственным плазмонным модам системы с нулевым квазиимпульсом.

Заключение

В Главе 1 данной работы нами была рассмотрена задача о влиянии мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц, взвешенных в жидкости. Мы показали, что если частицы находятся друг от друга на расстояниях много больших, чем их размер, то влияние частицы на течение жидкости можно приближенно описывать действием сосредоточенной силы. Нами были рассмотрены системы двух геометрий: жидкость между двумя плоскими параллельными мембранами, и жидкость внутри почти сферической везикулы. Мы интересовались особенностями влияния мембран в сравнении с неограниченной жидкостью, или с жидкостью, ограниченной твердыми стенками той же конфигурации, что и мембраны.

Мы показали, что отклик частиц на действие сосредоточенной силы позволяет вычислять корреляционные функции смещений частиц при их Броуновском движении. Затем, используя результаты решения уравнений гидродинамики нами были в явном виде вычислены эти корреляционные функции. Оказалось, что для частиц, взвешенных в жидкости между параллельными плоскими мембранами, коррелляционные функции убывают с расстоянием так же, как и для частиц в неограниченной жидкости. Однако, характер корреляций оказывается существенно различным. В неограниченной жидкости смещение частиц коррелировано положительно как в продольном, так и в поперечном направлении, в то время как для частиц между параллельными мембранами продольные корреляции положительны, а поперечные отсутствуют (точнее, имеют более высокий порядок малости). Кроме того, корреляции в направлении, перпендикулярном мембранам, также отсутствуют. Корреляции оказываются независимыми от изгибного модуля мембран, а в большинстве пространственных областей (определяемых взаимным расположением частиц) — и от внутренней вязкости мембраны. Для сравнения, движение частиц в жидкости между твердыми стенками коррелировано положительно в продольном направлении, и отрицательно — в поперечном. Обе эти корреляции убывают с расстоянием быстрее, чем для частиц в неограниченной жидкости.

Для случая, когда частица находится внутри почти сферической везикулы, возбуждаемое при ее движении течение жидкости вне везикулы (при исключении трансляционой составляющей) имеет только угловые компоненты. На больших расстояниях от везикулы, основной вклад в поле скоростей вносит первая сферическая гармоника, соответствующая вращения везикулы как целого, и, поэтому, не зависящая ни от внутренней вязкости мембраны везикулы, ни от вязкости жидкости, заполняющей везикулу. На небольших расстояниях от везикулы поле скоростей зависит от этих величин и может быть вычислено путем суммирования вкладов от разных сферических гармоник.

Таким образом мембраны оказывают специфическое влияние на движение жидкости, а, следовательно, и на характер гидродинамического взаимодействия частиц. Именно, нормальное к мембранам движение оказывается подавленным, а тангенциальное нет.

В Главе 2 была исследована задача об усилении электрического поля в узких зазорах между двумя металлическими гранулами. Сначала были рассмотрены пары металлических шаров и металлических цилиндров, расположенных близко друг к другу. На основе общих физических соображений мы описали качественную картину наблюдаемых эффектов и произвели ряд оценок по порядку величины. Были оценены значения проницаемости металла, которые соответствуют резонансу, а также коэффициенты усиления поля при резонансе. Полученные оценки были подтверждены аналитическим решением соответствующих задач.

Оказалось, что значения проницаемости, соответствующие резонансу, определяются, в-основном, геометрией узкого зазора между гранулами, и оказываются схожими для пар шаров и пар цилиндров. Коэффициент усиления поля, однако, сильно зависит от геометрии всей системы, и оказывается различным для шаров и цилиндров.

Это позволяет прийти к выводу о том, что в системе двух вытянутых гранул, коэффициент усиления может оказаться еще больше. Данное утверждение было доказано путем аналитического рассмотрения задачи о двух цилиндрических гранул, имеющих вытянутые сечения. Показано, что коэффициент усиления в таких системах существенно зависит от длины гранулы, а не только от параметров зазора между гранулами.

В Главе 3 были исследованы собственные плазмонные моды цепочки цилиндрических гранул различных сечений. Мы предполагали, что зазор между соседними гранулами имеет толщину, много меньшую чем размер гранул. Аналитическое исследование таких систем возможно с помощью построения соответствующей координатной системы, путем конформного преобразования из декартовых координат. В отличие от пары гранул, в цепочках резонанс возможен на целых интервалах значений проницаемости металла — зонах. Внутри каждой зоны, проницаемость является функцией квазиимпульса, определяющего трансляционную симметрию поля в системе. Нами установлено, что ширина резонансных зон, оказывается порядка значений самой проницаемости внутри зоны. Аналитически вычислена дисперсия моды при малых квазиимпульсах, где она оказывается линейной функцией последнего. Численно была найдена дисперсия во всей области значений квазиимпульса.

Также было рассмотрено усиление внешнего поля в узких зазорах между гранулами в цепочках. На основании полученных результатов, была исследована задача об отражении волны от цепочки цилиндров. Показано, что коэффициент отражения такой волны существенно зависит от частоты: близок к единице при частотах, соответствующих резонансным значениям проницаемости при нулевом квазиимпульсе и близок к нулю между этими значениями. При этом, сплошная пластинка тех же размеров, что и гранулы в цепочке, может быть как сильно прозрачной так и сильно отражающей, в зависимости от соотношения между длиной волны, толщиной пластинки и величиной проницаемости.