О существовании дополнительных аналитических интегралов в динамике твердого тела

Задача о движении абсолютно твердого тела как одна из наиболее распространенных в приложениях является одной из важнейших проблем механики.

С момента опубликования Л. Эйлером уравнений динамики твердого тела прошло более 200 лет, и в течений всего этого времени эта задача привлекает неослабное внимание исследователей. В классической постановке, когда рассматривается одно твердое тело сс неподвижной точкой в однородном силовом поле, известны три первых интеграла и множитель Якоби для системы уравнений движения. Для полного аналитического решения задачи достаточно указать лишь один /четвертый/ интеграл. Таким образом, задача представляется весьма близкой к окончательному решению.

В математической постановке задача о движении тяжелого твердого тела сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Сущность направления классических исследований Эйлера, Лагранжа, Пуассона, Якоби, Гамильтона, Кирхгофа, С. В. Ковалевской можно характеризовать следующим образом: «ставится задача разработки методов интегрирования дифференциальных уравнений механики и изучаются случаи, когда такая интеграция может быть доведена до конца, и решение задачи может быть получено в замкнутой форме, например, когда интегралы выражаются или через элементарные функции, или в квадратурах, или через те или иные классы хорошо изученных функций» [ю, с. 38*].

В классических случаях Эйлера и Лагранжа вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки решения уравнений Эйлера-Пуассона выражаются в эллиптических функциях и являются однозначными и мероморфными функциями времени, а уравнения движения имеют дополнительный интеграл в виде алгебраической функции переменных. Поэтому полученные частные результаты естественно подвели к следующим двум общим задачам:

I/ найти все случаи, когда система уравнений Эйлера-Пуассона движения твердого тела с неподвижной точкой имеет общие решения, представляющие собой однозначные и мероморфные функции времени;

2/ найти все случаи, когда эта система уравнений имеет четвертый алгебраический интеграл.

Первую задачу в общем виде поставила и решила С. В. Ковалевская, показав, что уравнения Эйлера-Пуассона в общем случае не. имеют однозначных решений, допускающих пять произвольных постоянных и не имеющих на всей комплексной плоскости переменного Ь других особых точек, кроме полюсовисключение составляют случаи:

1 А= В=С, 3. А=В, ог0 =⁰ = 0, где Д, В 9 С — главные моменты инерции тела для неподвижной точки, X 0, у 0, 0 — координаты центра тяжести рассматриваемого тела в подвижной системе координат.

Эта теорема справедлива лишь в предположении, что начальные значения для функций р, С^, Ч. /проекций вектора мгновенной угловой скорости на оси подвижной системы координат/ и X ,.

Г', X /направляющих косинусов вертикальной оси/ являются совершенно произвольными. Если подчинить эти начальные данные каким-либо дополнительным условиям, то можно получить однозначные решения. Случай у0−0, Х0М (В-С) + 20УС (А-в) = о, пропущенный С. В. Ковалевской, был указан Г. Г. Аппельротом. Но, как показали исследования А. М. Ляпунова и П. А. Некрасова, при некоторых начальных значениях решение в этом случае будет многозначным [29, зо]. А. М. Ляпунов окончательно решил вопрос об однозначности решений уравнений движения твердого тела около неподвижной точки при произвольных начальных условиях и для случаев, когда решения имеют другие особенности на комплексной плоскости, или совсем не имеют особенностей, показав правильность исследований С. Б. Ковалевской и расширив формулировку ее теоремы.

С.В.Ковалевской был открыт новый случай интегрируемости-, в дополнение к ранее известным, для которого она нашла четвертый алгебраический интеграл и дала решение в гиперэллиптических функциях. Дальнейшие исследования в данной области были направлены к выявлению случаев, когда система уравнений имеет ограничения на начальные данные. Это частные случаи движения Гесса, Горячева-Чаплыгина, Бобылева-Стеклова. а также Н. Ковалевского, Гриоли, Е. И. Харламовой [и].

По-видимому, появление в 1889 году знаменитой работы С. В. Ковалевской о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки послужило стимулом к дальнейшим исследованиям по теории движения тела в жидкости" [l0, с. 22]. Несмотря на разницу в физической сущности указанных задач и на различие в дифференциальных уравнениях, определяющих движение в том и другом случае, методы, применяемые для решения той и другой задачи и самый характер исследования имеют много общего. В 1869 году Кирхгофом были выведены основные уравнения движения твердого тела в жидкости, механический смысл которых был позднее детально выяснен В.Томсоном. Примыкая к работам Кирхгофа и Томсона, дальнейшие исследования в этой области были посвящены изысканию случаев интегрируемости этих уравнений.

Существенный шаг вперед был сделан Клебшем, который указал основные случаи интегрируемости. Исследования Клебша вызвали появление ряда работ Альфана, Г. Вебера, Коттера и др. В этих работах результаты Клебша были частично дополнены, а частично исправлены, так как Клебш по недосмотру в вычислениях пропустил в своих исследованиях ряд случаев интегрируемости. Все эти работы носят чисто аналитический характер.

Можно думать, что дополнения к работе С. В. Ковалевской, которые были сделаны А. М. Ляпуновым, послужили поводом к работам и по теории движения тела в жидкости самого Ляпунова и его ученика В. А. Стеклова. Ими были указаны два новых случая интегрируемости, являющихся весьма существенным дополнением к результатам Клебша и подробно изложенных в магистерской диссертации В. А. Стеклова «О движении твердого тела в жидкости» /1893 г./.

С.А.Чаплыгиным было получено частное решение задачи о движении по инерции тела в жидкости любопытное в том отношении, что оно тесно связано с решением задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае С. В. Ковалевской.

В случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и в случае полной динамической симметрии четвертые интегралы, как и три классических, являются алгебраическими. Спрашивается, в каких еще случаях возможно существование четвертого общего алгебраического интеграла.

В 1887 году Вруне доказал отсутствие в задаче трех тел дополнительных алгебраических первых интегралов, функционально независимых с классическими /количества движения, момента количества движения и энергии/. Впоследствии П. Пенлеве обобщил эти результаты на случай произвольного числа тел и на интегралы, зависящие только от скоростей и произвольным образом зависящие от координат. В работах Брунса и Пенлеве не накладывалось ограничений на массы тел.

В 1892 году А. Пуанкаре в «Новых методах небесной механики» [зб] указ ал ла отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона, аналитически зависящего от произведения веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса /" параметра Пуанкаре" / в случае динамически несимметричного твердого тела. В 1908 году Э. Гюссон [.54] усилил этот результат, сняв требование аналитической зависимости интеграла от параметра Пуанкаре. В 1976 году А. Й. Докшевич [15] указал на неточностив доказательстве теоремы Э. Гюссона и предложил существенно более простой вариант ее доказательства. Работе Гюссона [54] предшествовала его же работа [53], в которой он доказал отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона для динамически симметричного твердого тела во всех случаях, за исключением случаев Лагранжа и Ковалевской. Таким образом, из результатов Пуанкаре и Гюссона следует отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона во всех случаях, 1фоме случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

В 1910 году П. Бургатти [4б] предпринял попытку упрощения доказательства теоремы Гюссона [53], однако, как показал А. Й. Докшевич [15], доказательство Бургатти является ошибочным.

Подробный обзор классических работ по проблеме дополнительного алгебраического первого интеграла в динамике твердого тела содержится в обзоре П.Я.Полубариновой-Кочиной [зз] и в монографиях В. В. Голубева [9], Ю. А. Архангельского [4], Г. В. Горра, Л.В.Куд-ряшевой, Л. А. Степановой [п].

Другой подход к проблеме дополнительных первых интегралов развивал А.Пуанкаре. В своем мемуаре «0 проблеме трех тел и об уравнениях динамики» [37 ] он доказал отсутствие дополнительного аналитического интеграла в ограниченной задаче трех тел, аналитически зависящего от массы планеты. Позднее, в «Новых методах небесной механики» [Зб], Пуанкаре распространил этот результат на общую задачу Я тел. В этих работах рассматривались только первые интегралы, аналитически зависящие от масс планет.

Рассматривая вопрос об интегрируемости гамильтоновых систем, А. Пуанкаре в работе [З?] 1890 года доказал несуществование аналитических интегралов, которые можно представить в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра. Отсюда, в частности, вытекает расходимость рядов различных вариантов теории возмущений. Пуанкаре указал также явления качественного характера в поведении фазовых траекторий, препятствующих появлению новых интегралов. Среди них — рождение изолированных периодических решений и расщепление асимптотических поверхностей. Пуанкаре применил свои общие методы к различным вариантам задачи тел. Оказалось, что кроме известных классических законов сохранения, уравнения движения не имеют новых аналитических интегралов, аналитических по массам планет.

В последнее время проблема существования дополнительных аналитических первых интегралов гамильтоновых систем с П ^ 2> степенями свободы приобрела особую актуальность в связи с тем, что на практике отсутствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к стохастизации — важному качественному явлению, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы [31]. Кроме того, зачастую динамическими эффектами, препятствующими интегрируемости, является рождение в возмущенной задаче большого числа изолированных периодических решений из семейств периодических решений невозмущенной системы, что дает новую качественную информацию о поведении! возмущенной системы.

Современный этап истории проблемы существования дополнительных первых интегралов связан с работами В. В. Козлова. В 1975 году.

В.В.Козлов [22] доказал отсутствие дополнительного аналитического в специальных канонических переменных и аналитически зависящего от параметра Пуанкаре первого интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Из этого результата, в частности, следует отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона в случае несимметричного тяжелого твердого тела. Это значительно усиливает теоремы Пуанкаре [зб] и Гюссона [54] об отсутствииу этой системы дополнительного алгебраического' интеграла. Теорема В. В. Козлова легкопереносится также на случай твердого тела в ньютоновском поле сил. Отметим, что отсутствие дополнительного алгебраического интеграла в последней задаче было ранее доказано Ю. А. Архангельским [б]. Кроме того, Ю. А. Архангельский исследовал случай динамически симметричного твердого тела и показал, что дополнительный алгебраический первый интеграл существует только в случае, являющемся аналогом случая Лагранжа [б].

Доказательство теоремы В. В. Козлова основано на детальном гео>-метрическом анализе множества резонансных торов задачи Эйлера-Пуассона, разрушающихся при малых ненулевых значениях параметра Пуанкаре. Это является развитием метода, использованного Пуанкаре при доказательстве его теоремы.

В.В.Козловым исследованы также другие динамические эффекты, препятствующие наличию у рассматриваемой задачи дополнительного первого интеграла указанного вида: расщепление сепаратрис стадионv нарных вращений тела вокруг средней оси инерции ["25 ], рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо [24].

Идея использования гамильтоновой формы уравнений движения для отыскания периодических решений задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой методом малого параметра была впервые peaлизована в работах В. Г. Демина и Ф. И. Киселева [12, 13 ][ для случая симметричного твердого тела в ньютоновском поле сил и в поле силы тяжести.

Обратимся теперь к упоминавшейся задаче нахождения всех случаев /впервые поставленной А. Пуанкаре/, когда система Эйлера-Пуассона имеет четвертый алгебраический интеграл. Работы Р. Лиувилля [49], Гюссона [бЗ, 54] и Бургатти [4б] показали, что четвертый алгебраический интеграл существует только в трех классических случаях /то есть когда общие решения являются мероморфными функциями/. В связи с этим возникла интересная задача о соотношении между существованием однозначных мероморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времениее постановка восходит к Пен-леве.

В 1978 году В. В. Козловым была доказана теорема [23], проливающая свет на связь ветвления решений гамильтоновых систем и отсутствия1- у них дополнительных первых интегралов. Ранее было выяснено, что однозначной связи между мероморфностью общего решения и существованием дополнительных первых интегралов нет. Пенлеве указал пример дифференциального уравнения, у которого решения меро-морфны, но не существует дополнительного алгебраического интеграла [в]. Соответствующие примеры можно привести и для гамильтоновых систем [20, с. 127−128]. Позднее рассматривалось расширение задачи Пенлеве: установление связи между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения. В. В. Козлов доказал, что из неоднозначности общего решения в некотором более сильном смысле /неоднозначности главного коэффициента в рядах Пуанкаре по малому параметру для общего решения/ вытекает отсутствие дополнительных однозначных интегралов уравнений. Причем в случае системы уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /рассматриваемым как возмущенное эйлерово движение/, это условие, фактически равносильно неоднозначностиобщего решения [20]. Подчеркнем, что этот результат не вытекает из отсутствия у задачи дополнительного вещественно-аналитического интеграла и имеет самостоятельную ценность.

В работах С. Л. Зиглина [16, 17] получено обобщение некоторых результатов В. В. Козлова: доказано отсутствие в задаче о движении! несимметричного твердого тела около неподвижной точки при фиксированном значении постоянной площадей и ненулевом: значении параметра Пуанкаре мероморфного первого интеграла, функционально независимого с интегралом энергии, а также детально исследовано рас^ щепление сепаратрис стационарных вращений вокруг средней оси инерции. Кроме того, С. Л. Зиглиным доказаны следующие теоремы:

I/ в комплексифицированном фазовом пространстве задачи о движении ^ симметричного твердого тела около неподвижной точки. меромор-фный первый интеграл, функционально независимый с интегралом энергии: и площадей, существует только в трех известных случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской;

2/ в комплексифицированном фазовом пространстве припостоянной площадей, равной нулю, мероморфный первый интеграл, функционально независимый с интегралом энергии, существует только в четырех классических случаях — трех, перечисленных выше, и в случае Горячева-Чаплыгина [17].

Отметим, что для постоянной площадей, равной нулю, этагтеорема усиливает теорему А. И. Докшевича [14], в которой аналогичный результат доказан для полиномиальных первых интегралов некоторого специального вида. С другой стороны, теорема А. И. Докшевича является более общей, поскольку в ней допускаются произвольные значения постоянной площадей. Заметим также1, что из этих теорем С. Л. Зиглина не вытекает неинтегрируемость рассматриваемой задачи в действительном фазовом пространстве.

Обратимся опять к задаче о движении: твердого тела в идеальной жидкости. До недавнего времени в этой задаче рассматривался только вопрос о существовании дополнительных квадратичных интегралов. С. П. Новиков в 1981 году в работе [32] расширил постановку вопроса об интегрируемости уравнений Кирхгофа, предложив рассматривать условия существования дополнительного первого интеграла, являющегося аналитической функцией фазовых переменных. Эта задача была решена для случая несимметричного твердого тела В. В. Козловым и Д. А. Онищенко в 1982 году в работе [2б]. Оказалось, что в случае попарно различных присоединенных моментов инерции уравнения Кирхгофа имеют дополнительный независимый от трех классическихинтеграл лишь при выполнении некоторых условий на параметры задачи, характеризующих интегрируемые случаи Клебша и Стеклова. Таким образом, в общем случае уравнения Кирхгофа не интегрируемы.

Движение тяжелого твердого тела, касающегося неподвижной гладкой плоскости, было впервые изучено Пуассоном. Для этой голо-номной механической системы с пятью степенями свободы им были получены уравнения движения и указаны четыре первых интеграла. Для полной интеграции уравнений движения недостает пятого независимого интеграла, находящегося в инволюции с классическими. С помощью интеграла площадей и двух интегралов центра масс можно понизить число степеней свободы до двух, и задача сводится к интегрированию автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Эта. ситуация аналогична той, которая имеет место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

По существу известны лишь два общих интегрируемых случая в задаче о скольжении выпуклого тяжелого твердого тела по гладкой плоскости. В первом из них тело по форме совпадает с шаром, центр масс которого совпадает с его геометрическим центромна распределение масснет никаких других ограничений. Движение такого тела в осях Кенига в точности совпадает с движением тела по Эйлеру-Пу-ансо. Во втором случае тело является телом вращения.

Как и в динамике твердого тела с неподвижной точкой, здесь естественна постановка вопроса о существовании дополнительного аналитического интеграла при рассмотрении возмущенных случаев, близких к интегрируемым. В случае разных моментов, инерции твердого тела А. А. Буровым и А. В. Карапетяном в работе [7^ исследован вопрое о существовании дополнительного аналитического первого интеграла1- для тела, близкого к шару, и центр масс которого расположен вблизиего геометрического центра.

Настоящая диссертация посвящена исследованию проблемы существования дополнительных аналитических первых интегралов в некоторых гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. При этом во всех рассматриваемых системах возмущается движение симметричного твердого тела подобно тому как в работах [19, 20, 26, 7] рассматривалось движение несимметричного твердого тела. Диссертация состоит из трех глав, соответствующих трем рассматриваемым задачам.

Первая глава посвящена исследованию вопроса о существовании дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой в окрестности случая Лагранжа. В §§ 1.1 — 1.2 введены переменные действие-угол и рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа. При этом существенно используются результаты работы И. М. Аксененковой [2], в которой даны явные формулы для переменных действие-угол в задаче о волчке Лагранжа /в частности, разложения в ряды Фурье по переменным «угол» направляющих косинусов/. В § 1.4 доказано существование периодических решений возмущенной задачи о волчке Лагранжа с помощью сформулированной и доказанной в § 1.3 теоремы о существовании периодических решений для неавтономной возмущенной системы с одной степенью свободы, аналогичной теореме Пуанкаре для автономной системы с. двумя степенями свободы. Это усиливает результат работы [1], в которой с: помощью метода малого параметра Пуанкаре указано конечное число различных семейств периодических решений возмущенной задачи: о волчке Лагранжа. В § 1.5 доказана теорема о несуществовании дополнительного первого интеграла приведенных /с: зафиксированной постоянной площадей/ уравнений возмущенной задачи Лагранжа, независимого с интегралом энергии и представимого в виде степенного /по степеням малого параметра / ряда, с аналитическими в фазовом пространстве коэффициентами. В § 1.6 показано ветвление решений при: продолжении гамильтониана в комплексную область, являющееся динамическим эффектом, препятствующим существованию дополнительного аналитического первого интеграла в комплексной области. При этом в отличие от работы [17], рассматриваемая комплексная область расположена, вблизи от действительной области, и неинтегрируемость является следствием ветвления периодических решений, существование: которых было установлено в § 1.4.

Во второй главе рассматривается задача о движении: твердого тела в идеальной жидкости в симметричном случае. В § 2.1 выписываются уравнения Кирхгофа и приводится история вопроса об их интегрируемости. Следующий § 2.2 посвящен исследованию случая интегрируемости Кирхгофа и аналогии В. А. Стекловарассматриваются условия существования гиперболических периодических и асимптотических к ним решений, что позволяет в § 2.3 доказать теорему о неинтегрируемости возмущенного случая Кирхгофа с помощью метода расщепления сепаратриса.

Расщепление сепаратрис: связано с интересным явлением возникновения стохастического поведения траекторий при добавлении возмущений и является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений динамики. Критерием расщепления сепаратрис является неравенство тобщественно нулю некоторого несобственного: интеграла, вычисленного вдоль асимптотических решений невозмущенной задачи. Вычисление этого интеграла приводится в § 2.4.

В третьей главе рассмотрена задача о движении! тяжелого твердого тела с выпуклой поверхностью по гладкой горизонтальной плоскости: для случая симметричного твердого тела. В § 3.1 дана краткаяистория вопроса и выписаны первые интегралы уравнений движения. Как и в предыдущей главе показана неинтегрируемость возмущенного, интегрируемого случая, аналогичного случаю Лагранжа /теорема § 3.3/. Доказательство проводится с помощью метода расщепления сепаратрис, для чего в § 3.2 получены условия существования асимптотических решений, а в § 3.4 проведено вычисление характеристического интеграла.

Основные, результаты диссертации сформулированы в заключении и опубликованы в работах [39 — 43].

Автор сердечно благодарит научного руководителя профессора В. Г. Демина за постановку задач и помощь, при: выполнении^ работы, а также профессора В. В. Козлова за внимание и: советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие: результаты:

I/ Доказано отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в задаче о возмущенном: движении волчка Лагран-жа, когда центр масс— слегка смещается! с оси динамической симметрии,.

2/ Установлена существование: бесконечного числа различных семейств периодических решений возмущенной задачио волчка Лагран-жа".

3/ Доказано отсутствие: дополнительногоаналитическогопервого: интегралам в задаче: о возмущенном движении симметричного:' твердого тела в идеальной жидкости.

4/ Установлена неинтегрируемость общей задачи о скольжении.-по гладкой горизонтальной плоскости тяжелого: эллипсоида вращениям, центр масс: — которого смещен с оси симметрии.