О некоторых классах решеточно-нормированных пространств

Теория решеточно-нормированных пространств явпяется одной из ветвей функционального анализа, развитие которой началось в 30-х годах и тесно связано с работами Л. В. Канторовича [21]-?25], Б. З. Вулиха [17], С. Н. Спугина [чб], [Ч7]. Позднее решеточно-нормированные пространства изучали С. А. Скпяднев [из] - [45], А. В. Бухвалов (10], К. Э. Агаджанян [2], Р. Кристеску [3^, О. Я. Бендерский [55] и др. авторы.

Методы теории решеточно-нормированных пространств находят широкое применение в различных областях математики, например, к нахождению решений функциональных уравнений /см. [23], 2. ч / и операторных уравнений /см. [чб] - [50] /.

Для практических применений решеточно-нормированных пространств большое значение и ж ют пространства, названные Л. В. Канторовичем пространством типа В^, а в нашей терминологии {&<-) -полные пространства.

Основной задачей настоящей диссертации является исследование условий (Ьс*с) (в*.) — полноты и интервальной котк некоторых классов решеточно-нормированных пространств.

Диссертация состоит из 5 глав.

Первая глава посвящена некоторым классам линейных решеток. Ее результаты используются в других главах диссертации. Некоторые теоремы этой главы, в виду своей общности, представляют самостоятельный интерес.

В первом параграфе рассматриваются К> -линеалы с условием (О). занимающие промежуточное место между произвольнымилинеалами и К, -линеалами счетного типа. В общем случае не всякийлинеал обладает свойством (о).Приводится пример такого линеала. Рассматриваются некоторые свойства — линеалов с условием (о). Доказывается, что любой элемент ос <е (ГХ плело та-вим в виде (Ъ) -предела последовательность элементов Клинеала X с условием (о) .

Во втором пала графе рассматриваются суммируемые семейства в К, -пространстве. Относительно некоторой (р) -сходимости, которая связана с (О) -сходимостью соотношением: если х^ О ,.

Р) то ос^ —О. Доказывается, что для Ср) -суммируемых семекств справедливы многие теоремы, верные для числовых суммплуемых семейств /см. №€/. Дается необходимое и достаточное условие с, четности типа Цпространства.

В третьем параграфе рассматриваются условно обполнее ре-метки или^{-пространства.} Понятие К^ -пространства было введено А. ГкВекслеоом [п], Показывается, что для №. -плостланоС ств имеют место многие результаты справедливые дляпространств. При этомпространство является частным видом /^-плои оС странства. В частности, указывается, что всякоепространство о обтипа является Кпространством /теорема 1.3.2/.

В четвертом параграфе дается опоеделение реметочно-ноомиро-ванного пространства и изучаются некоторые СЕойптпа этих пространств.

Если Илинеал является решеточно-нормированным пространством и решеточная норма в нем монотонна на положительных элементах, то такой К. -линеал обозначаетсялинеалом. Рассматриваются некоторые свойства К. Б-линеалов, В частности докззЕжается, что если в —пространстве, А выполняется з7словие (4) и нормирующий К, -линеал есть К — пространство счетного типа, то счетного типа /теорема 1.4.3-/- Эта теорема находит мирокое применение во второй и третьей главах диссертации.

Во второй главе предметом изучения являются условия полноты решеточно нормированных пространств, что является одной из основных задач настоящей диссертации.

В первом параграфе этой главы дается определение (ЁЮ*) -полноты решеточно-нормированных пространств. В теоремах П. 1.1, П. 1.2 и ПЛ. З доказываются необходимый и достаточный признак (&-!СЪ) — ПОЛНОТЫлинеала иПОЛНОТЫ /?9 -пространства.

Во второй половине параграфа рассматриваются: пространство вектор функции Е (Х), пространство со смешанной нормой Е С^З и пространство всех операторов с абстрактной нормой Н^ (Х~~> Е) «которые играют большую роль функциональном анализе, и доказывается их вкг).

— полнота.

Второй параграф главы посвящен соотношению между некоторыми условиями в.

— линеалах. Хорошо известно, что в.

Л' -линеалах, используя условия (В), ©. описываются многие топологические и порядковые свойства пространств. В частности, условия полноты и интервальной полноты К, АГлинеалов. Было замечено, что условие С А) эквивалентно более слабому условию Г4Д, а условие (Ь) -более слабому условию С В^). В этом параграфе показывается, что соотношения эквивалентности между аналогичными условиями в /¿-Блинеалах нет. Приводится пример — прост ранства, в котором (Л^) не эквивалентно (А^). В теоремах П. 2.1 и П. 2.2 доказываются условия эквивалентности.

Аг) <$=> (А-ы), (в)4=> (В^).

В третьем параграфе рассматриваются линейные топологические решетки, которые являются важным примером решеточно-нормированных пространств. Дается определение А^ -пространства и приводятся условия полноты этих пространств.

В четвертом параграфе рассматриваются условия (вк.) — полноты решеточно-нормированных пространств. Доказываются теоремы, которые являются обобщением на общий случай теорем, доказанных для члг — пространств. При этом, используя условие (%), доказывается результат, который является новым и для теорий нормированных пространств / теорема П.4Л /, а, именно, этой теоремой в нормированном случае описывается более широкий класс (?) -полных катпространств, чем /?3 — пространства, которые по многим порядковым и топологическим свойствам схожи спространствами. Приводится необходимое и достаточное условие (&-с) -полноты регулярных К 5 -пространств /теорема П. 4.2 / и даются необходимые и достаточные условия (&-с) -полноты некоторых классов № -линеалов. В заключении параграфа рассматриваются /Йлинеалы с аддитивно-ограниченной решеточной нормой. Доказывается, что [&—)-полный /¿-Элинеал с аддитивно-ограниченной нормой является полным — пространством с условием (А). Из следствия к этой теореме вытекает результат, доказанный в [44] /теорема I/ при более сильных требованиях.

Связи между к,) -полнотой и (Т) -полнотой в случае, когда нормирующий Цлинеал является А^/ -линеалом посвящен пятый параграф. Из теорем, доказанных в этом параграфе и результатов § I гл. П легко вытекают ряд теорем известных в теории нормированных пространств /см. [<20], [9] /.

В шестом параграфе изучаются вопросы А^ -пополнения решеточно-нормированных линейных решеток. В частности, доказывается, что если влинеале, А выполнены условия (А), (В) и л.

0), то X является.

— пространством с условиями (А), (В).

Промежуточное место между произвольнымилинеалами и сЪ) -полными /?^ -линеалами занимают интервально (^±1) -полные ?{5 -линеалы. Так называется всякийлинеал X, в котором (вкг) -полон любой порядковым интервал вида [эc}yJ.

Условия интервальной (вкг) -полноты решеточно-нормированных пространств рассматриваются в Ш главе. При этом обобщаются некоторые теоремы, известные для нормированных: решеток [141. Некоторые свойства решеточно-нормированных решеток с непрерывной решеточной нормой рассматриваются в третьем параграфе этой главы. В частности, доказывается теорема Ш. 3.5: для того чтобы — пополнение № -линеала X с условием Со) былопространством с условием (35), необходимо и достаточно, чтобы решеточная норма в X была непрерывной.

Вопросам реализации решеточно-нормированных пространств посвящена четвертая глава диссертации.

В первом параграфе рассматриваются условия, когда решеточно-нормированное пространство алгебраически и решеточно изоморфно некоторому подпространству нормирующего Млинеала.

Во втором параграфе приводятся условия, когда решеточно-нор-мированное пространство алгебраически изоморфно и решеточно изо-метрично пространству У 2), где Унормированное пространство, Ънормирующий Млинеал. Аналогичный вопрос, но относительно пространства и рассматривается в§-3.

В пятой главе диссертации рассматриваются линейные функционалы и операторы в линейных и линейных решеточно-нормированных решетках. В этой главе обобщаются ряд теорем из ?177. Во втором параграфе главы изучаются линейные операторы и функционалы в решеточно-нормированных пространствах. В теореме У.2.2 рассматриваются соотношения менаду классами операторов:, Но >

И^, Н ^ .В теореме У. 2.6 доказывается, что в ??? -пространствах с условиями (-Я) и (&) классы (о) -линейных, регулярных, (в/с) -линейных и вполне линейных функционалов совпадают. В заключении пятой главы доказывается, что в /?5 -линеалах с условиям (Л), ((Ъ) и (о) классы (вк) -линейных и регулярных функционалов совпадают.

— 10.