Нелинейные начально-краевые задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем

Дистанционное зондирование Земли занимает ведущее место среди задач, связанных с космическими исследованиями [18]. Для их решения требуется оптическая аппаратура, позволяющая получать космические снимки высокого качества. На борту космического аппарата на нее оказывает влияние множество факторов естественной и искусственной природы [35,36]. Их действие приводит к изменению термоупругого состояния оптической системы: возникают температурные деформации оптических элементов, изменяются теплофизиче-ские, механические и оптические свойства материалов, появляются термооптические аберрации [14,132] и др. В условиях орбитального движения космического аппарата наиболее значимыми инициаторами изменения термоупругого состояния оптических элементов являются Земля, Солнце и система обеспечения терморегуляции космического аппарата. Их совокупное действие является причиной возникновения термомеханических явлений, к которым следует отнести такие термомеханические эффекты упругого деформирования, как тер-момеханичёская расстраиваемость и термооптические аберрации1. Наиболее полно выявить связь между ними и оптическими характеристиками оптической системы можно лишь из решений нелинейных начально-краевых задач термоупругости для системы оптических элементов [74,75]. Нелинейности здесь функционально определяются температурой в виде сочетаний граничных условий в форме Стефана-Больцмана и зависящих от нее термомеханических и оптических свойств линз, а также воздействием неоднородно распределенных в пространстве и нелинейных во времени внешних тепловых источников. При этом искомые поля температур и перемещений оптических элементов играют важную роль при анализе качества изображения оптической системы на момент съемки, а их эволюция — в прогнозировании качества изображения в последующие моменты времени.

1 В диссертации они рассматриваются как следствие термомеханической расстраиваемости (см. главу III § 1). 5.

Краткий обзор развития оптической техники и нелинейных задач МДТТ в прикладной оптике.

Обширные теоретические исследования по термоупругости были начаты Дюамелем в 1838 году [8,9]. Он рассматривал уравнения термоупругости в квазистатической постановке и впервые вывел уравнение для определения деформаций в упругом теле с температурными градиентами [113]. Позже такие же результаты были получены Нейманом. Начиная с 1851 года основы термоупругости формулируются лордом Рэлеем [130], определившим чуть позже связь между термоупругим состоянием оптических элементов и качеством изображения оптической системы в виде одноименного предела [79]: критерий Рэлея2 А в контексте МДТТ связывает изменения поля перемещений и оптической поверхности с качеством изображения на основании неравенства A (u).

X — длина световой волны.

Научная разработка задач оптической техники началась с конца XYII столетия благодаря трудам «универсальных» ученых того времени — Декарта, Ферма, Ньютона, Эйлера, Ломоносова и Гаусса. Оформление теории оптических приборов в самостоятельную дисциплину произошло только в последней четверти XIX века, когда начался быстрый рост оптической промышленности [93]. Планомерное создание отечественной оптической промышленности началось только после Великой Октябрьской революции. С этой целью создается мощная научная база, располагающая хорошо оснащенными лабораториями и высококвалифицированными научно-техническими кадрами и широко используется зарубежный опыт. В 1918 году был создан Государственный оптический институт (ГОИ) имени академика С. И. Вавилова, в котором работали известные академики Д. С. Рождественский, С. А. Лебедев, И. В. Гребенщиков, В.П. Лин-ник, а также член-корр АН СССР H.H. Качалов, член-корр АН СССР Д. Д. Мак.

2 Предел Рэлея заключается в том, что минимальный размер различимого объекта принципиально ограничен дифракцией излучения и является одной из иллюстраций принципа неопределенности Гейзенберга, согласно которому любая попытка повысить степень локализации положения источника света приводит к возрастанию неопределенности импульса фотонов. сутов и член-корр АН СССР А. И. Тудоровский. Их усилиями уже в 1929 году развитие советской оптической промышленности достигло уровня развития передовых стран Европы. В этой связи огромный успех СССР принесло создание аппаратуры для фотографирования обратной стороны Луны, положившее начало новой отрасли оптического приборостроения и оптической техники — космическим оптическим приборам для астронавигации, астрономических наблюдений, космической фотосъемки поверхности Земли (ТДС) и звездного неба (ЗДС).

ГОИ может считаться основоположником космической оптики в России [20]. В конце 50-х годов прошлого столетия генеральный конструктор ракетной техники С. П. Королев и академик М. В. Келдыш обратились в ГОИ с просьбой оценить возможности проведения фотографирования земной поверхности из космоса. Ответ был положительный. 6 апреля 1962 года искусственный спутник Земли «Космос-4», построенный ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс» (г. Самара), впервые осуществил космическую фотосъемку. Космическая оптика создавалась институтом как для космических комплексов видового наблюдения, так и для топографических комплексов, а по уровню получаемой информации могла быть детальной или обзорной [18]. Для этих целей также создавались новые оптические материалы, и это новое направление возглавил академик Г. Т. Петровский. В середине 50-х годов Д. С. Волосовым была разработана теория термобарических аберраций [14], и на ее основе другими учеными сформулированы требования к основным оптическим свойствам материалов для крупногабаритных и высокоразрешающих космических объективов. Такие материалы обеспечили возможность создания принципиально новых по своим характеристикам объективов — термоустойчивых анастигматов-апохроматов. Были определены марки оптических стекол, которые удовлетворяли требованиям повышения светопропускания и оптической однородности с учетом увеличения диаметра оптики до 0700 мм. Увеличивать размер далее было нецелесообразно из-за потери жесткости конструкции. В связи с этим рассматривалась возможность использования киноформных оптических элементов [17]. В конце 80-х в.

ГОИ был испытан первый космический киноформный длиннофокусный объектив «Ионар-2», который отличался от аналогичных на 40% меньшей массой и о существенно меньшей термомеханической расстраиваемостью. В целом, в оптическом приборостроении последних десятилетий наблюдались тенденции развития, направленные на:

1) повышение разрешающей силы оптической системы путем преодоления предела Рэлея;

2) улучшение качества изображения оптической системы светотехническими средствами;

3) улучшение качества изображения путем комбинации рефракционных линз с нетрадиционными оптическими элементами, включая вариации форм комбинируемых оптических поверхностей.

Первая из них связана с тем, что долгое время велись разработки оптического микроскопа новой конструкции, разрешающая сила которого в несколько раз превышала бы ту, что считалась максимально возможной согласно закону Аббе [112,117]. В 2007 году немецким ученым удалось создать линзу с разрешением, превосходящим дифракционный предел: ученые из Института биофизической химии им. Макса Планка Штефан Хелль и Маркус Дюба опубликовали статьи в «Physical Review Letters» [107,120], в которых сообщили о наблюдении флуоресценции участка клеточной мембраны бактерии Bacillus megaterium протяженностью порядка 33−46 нм при длине волны излучения X е[745,760]нм. Работы в этом направлении ведутся [124] и в скором времени, скорее всего, затронут разработки диоптрических систем. В связи с этим перспективным путем является переход от рефракционных оптических элементов к комбинации с дифракционными элементами или с двояко-вогнутыми коническими [121]. В отличие от рефракционных линз, имеющих толщины и радиусы поперечного сечения одного порядка, дифракционные элементы, выполненные в форме линз Френеля [134], имеют меньшие толщины при тех же радиусах.

3 Под термомеханической расстраиваемостью будем понимать искажение качества изображения оптической системы, вызванное воздействием различных факторов тепловой и механической природы. 8.

Вторая из них связана с тем, что качество изображения оптических систем может улучшаться различными техническими средствами [55,139], в том числе и светотехническими. Наряду с этим во избежание появления температурных деформаций оптических элементов необходимо обеспечение их термомеханической защиты, которая не должна ухудшать качество изображения. Выбор и осуществление такой защиты ставит перед изготовителями дилемму: либо тщательно разрабатывать многоплановые способы термомеханической защиты во время эксплуатации (термомеханическая корректировка) либо обойтись минимумом средств защиты и корректировать потери качества изображения при полетной и наземной обработке снимков (оптическая корректировка и восстановление изображения). «Золотую середину» между ними занимают способы улучшения качества изображения за счет светотехнических средств, разрабатываемых отдельно от оптической системы. Одним из вариантов решения проблемы, позволяющим не только сохранить, но и улучшить качество изображения, является использование светозащитных бленд, предназначенных для повышения качества изображения за счет снижения уровня фоновой засветки фокальной плоскости [55]. В связи с этим оказался весьма эффективным предлагаемый в [44] вариант конструкции светозащитной бленды с коническими диафрагмами (это направление оптического приборостроения в настоящее время развито в работах [72,73,77]). Однако, из-за высокой теплопроводности материала бленды (тонкий листовой металл) и малой массы (несколько килограмм) на борту космического аппарата эффективная светозащита сопровождается усилением термомеханических воздействий на термоупругое состояние диоптрической системы в процессе сложного теплообмена [66,75]. Это приводит еще к дополнительным потерям качества изображения, которые нельзя скомпенсировать каким-либо образом из-за вероятностного характера их поведения [70,71] (см. главу III § 3).

Третья из них связана с тем, что качество изображения диоптрической системы, имеющей оптические элементы с изотропными оптическими свойствами, может улучшаться путем использования специфических типов оптических элементов — асферических, градиентных и дифракционных. Так, асферический тип оптических элементов обычно используется в телескопических системах [47] и редко в диоптрических, дифракционный — в диоптрических системах в виде дифракционных линз для получения изображения очень удаленных объектов (звезды и др.). Градиентные элементы — граданы [19,91], — имеют неоднородное пространственное распределение показателя преломления за счет плавно меняющегося состава материала. Существуют также композиции градиентных оптических элементов с асферическими поверхностями [28] и дифракционных и градиентных элементов [24]. Использование осевого, радиального и сферического градиентов показателя преломления позволяет значительно улучшить качество получаемого изображения, повысить светопропускание и сократить количество элементов диоптрической системы [99]. Последнее также позволяет создавать системы с большим углом зрения, характеризующиеся компактностью, прочностью и механической простотой [100].

На основании вышесказанного к некоторым из задач МДТТ, решаемым применительно к оптической технике, следует отнести такие, которые связаны с исследованием воздействия полей температур, перемещений и деформаций оптических элементов на качество изображения оптической системы. Анализ российских и зарубежных журналов показывает, что тематика решения первых двух типов задач практически не затрагивается, а третьего типа задач относится к материаловедению, и поэтому решаемые в этом направлении задачи в основном касаются свойств, в равной степени актуальных и для стеклокерамики. Задачи термоупругости здесь являются исключительно нелинейными [133], и к тому же многие из них требуют проведения различных экспериментальных исследований, включая исследования методами фотоупругости [38]. В настоящее время ведущим направлением в этом смысле следует считать термооптику лазеров с твердотельными активными элементами [51].

Несомненно, что результаты решений нелинейных начально-краевых задач МДТТ в прикладной оптике приводятся и обсуждаются в зарытой печати (содержатся в служебных документах предприятий аэрокосмического комплекса и депонируются в целях сохранения информации ограниченного пользования). Также в литературе прослеживается четко организованная взаимосвязь между МДТТ и теорией оптических приборов только на основе теории температурных напряжений, в рамках которой температурные деформации оптических элементов на оптических поверхностях считаются изотропными [79,84], поле перемещений заданным. Это существенно ограничивает применимость решений к классу задач прикладной оптики, в которых термомеханические воздействия приводят к неоднородным локальным деформациям оптической поверхности [63,114]. Отсутствуют и сведения о решении задач термоупругости с условиями сложного теплообмена [54], несмотря на то, что направление таких работ существует [60,61].

В академических изданиях по тепломассопереносу одним из самых естественных способов описания сложного теплообмена является сведение граничного условия в форме Стефана-Больцмана к форме Ньютона (конвекция), что возможно либо при условии малых (единицы градусов) либо при условии очень больших (сотни градусов) изменений температуры тела относительно начальной [46]. Собственно, такой подход является наиболее известным в рамках классической термоупругости, т.к. позволяет преобразовывать только лишь краевые условия, что позволяет решать начально-краевые задачи аналитическими методами. При линейных граничных условиях в форме Ньютона аналитические решения одномерных задача термоупругости в рамках групп Ли представлено в работах [119,129]. Так, в работе [98] рассматривается групповой метод анализа нелинейных краевых задач для уравнения теплопроводности с одним из граничных условий в форме Стефана-Больцмана. Для канонических областей вводится однопараметрическая группа Ли, которая позволяет найти искомую температуру из решения краевой задачи для нелинейного ОДУ 2-го порядка с нелинейными краевыми условиями. Однако полученное решение не позволяет использовать его в задачах сложного теплообмена, т.к. оно применимо только при условии теплоизоляции одной из границ. Для решения одномерных задач в работе [128] используются совместно методы интегрального преобразования Кирхгоффа и Лапласа, что в итоге позволяет рассматривать несвязанную задачу термоупругости, решение которой находится для температурного поля, исходя из решения системы нелинейных ОДУ 1-го порядка.

При решении задач термоупругости для открытых или полуоткрытых поверхностей отрицательной кривизны имеет место эффект самооблученности, обеспечивающий дифференциально-интегральную форму граничного условия [80]. Наиболее удобно в таких задачах использовать метод граничных элементов [103]. При этом самой большой трудностью при сложной геометрии задачи является вычисление функции видимости, т.к. она задается булевыми условиями, непосредственно не связана с искомыми полями температур и перемещений, и к тому же требует специальных алгоритмов расчета. Для решения задач с такой особенностью могут быть использованы различные методы, в том числе и на разделении всего видимого пространства на совокупность телесных углов [111].

Среди численных методов решения нелинейных начально-краевых задач термоупругости наиболее распространены метод конечных элементов [16,52] и метод граничных элементов [10,13].

В методе конечных элементов система уравнений термомеханики деформируемого твердого тела приводится к системе алгебраических уравнений за счет пространственного деления области решения на конечные объемы простой формы — конечные элементы. Количество степеней свободы на один узел элемента определяется количеством решаемых для этой точки пространства уравнений и, в общем случае, равно 16 [37]. Физическая нелинейность задач здесь функционально ничем не ограничивается, но требует разработки специальных алгоритмов внедрения нелинейности в расчетные схемы.

В методе граничных элементов решение задачи термоупругости ищется таким образом, чтобы удовлетворялись на границе области решения. Здесь число степеней свободы сохраняется, но нет необходимости разбивать всю область решения на элементы — достаточно только поверхность раздела сред разбить на граничные элементы. Дискретизация граничных интегральных уравнений приводит к СЛАУ со значениями неизвестных, одинаковыми для всех точек в пределах граничного элемента. В ряде случаев возможно также и совместное использование метода конечных элементов с методом граничных элементов [31].

Численное решение задач термоупругости осуществляется также и на основе контроля допустимых отклонений искомых функций (температура, перемещения, деформации и др.) в ходе решения. Так, в работе [122] рассматривается численное решение нелинейных уравнений теплопереноса в закалочных процессах, включающих радиационный теплообмен. Указанные процессы подразумевают решение задач связанной термоупругости в металлах, которые в широком диапазоне температур характеризуются нелинейными термомеханическими свойствами и наличием в системе фазовых переходов. Для решения задачи используется подбор шага по кривизне линии температур таким образом, чтобы избежать осцилляций численного решения и обеспечить его быструю сходимость.

Цель исследования.

Разрешающая способность и линейное разрешение являются ключевыми характеристиками качества изображения любой оптической системы, и борьба за их улучшение при проектировании, сборке и во время испытаний является формой совершенствования изделий оптомеханической промышленности любой страны мира. С точки зрения физики распределение ролей в контексте влияния на качество изображения цепочки проблем оптомеханики, решаемых в рамках теории теплообмена, упругости и оптики таково, что термоупругость является связующими звеном между двумя другими. Любые попытки ее исключения из рассмотрения или упрощения в рамках частных случаев эксплуатации приводят к неточным и даже ошибочным результатам оценки качества. В связи с этим основными проблемами, не позволяющими в простой и компактной форме сопоставить этапам решения задач термоупругости этапы идентификации качества изображения, являются фрагментарная связь между температурными деформациями и термооптическими аберрациями в качественном.

13 описании, а также отсутствие форм представления граничных условий сложного теплообмена для светозащищенных диоптрических систем. Тем не менее, среди результатов обширных исследований в различных направлениях теории теплообмена, термоупругости и оптики можно найти такие, которые могут быть адаптированы, а при необходимости и дополнены, к решению проблем оптической техники. Поэтому цель исследования в рамках диссертации — постановка нелинейных начально-краевых задач термоупругости, описание методов их решения и исследование взаимосвязей решений задач термоупругости в перемещениях с качеством изображения светозащищенных диоптрических систем.

Научная новизна диссертационной работы:

1) предложен способ линеаризации нелинейной задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем с граничными условиями в форме Стефана-Больцмана;

2) получены формы представления первичных и вторичных источников тепла в граничных условиях по модели сложного теплообмена;

3) предложен способ организации кластерной структуры модели сложного теплообмена, характеризующей формирование вторичных источников тепла;

4) получено решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости для светозащищенных диоптрических систем;

5) исследована термомеханическая расстраиваемость ТДС и ЗДС в условиях эксплуатации на основе решения системы одномерных задач термоупругости и выработаны рекомендации по применению полученных результатов;

6) образованы матрицы граничных элементов пространственных задач теплопроводности для светозащитной бленды и термоупругости для одиночной линзы и построена связь полей температур и перемещений с характеристиками качества изображения на основе оптической модели градиентной среды термо-деформированной линзы.

Достоверность полученных результатов:

1) качественное соответствие постановки рассматриваемых задач термо.

V. упругости физической картине полей температур и перемещений на основе предложенной модели термомеханических явлений;

2) применение известных методов решения задач термоупругости, теплообмена и прикладной оптики в модификациях, адаптированных для решения в соответствии с их постановкой;

3) термомеханические и оптические свойства материалов, таблично заданные на перекрывающихся температурных диапазонах, аппроксимировались непрерывными функциями в виде полиномов значений температуры.

Практическая значимость результатов:

1) создана модель сложного теплообмена для светозащищенной диоптрической системы, в которой учтена динамика движения космического аппарата над поверхностью неравнояркой вращающейся Земли и диффузное рассеяние тепла неизотермическими поверхностями;

2) исследована возможность решения пространственных задач теплопроводности и несвязанной термоупругости с помощью прямого метода граничных элементов, в рамках которого граничные условия для уравнений теплопроводности представлены в дифференциально-интегральном виде;

3) прршенение модели (см. пункт 1) использовано в отчете по гранту РФФИ (проект № 08−08−99 035-р-офи-Поволжье «Управление температурными полями оптических элементов телескопа для съемки поверхности Земли с высоким разрешением») применительно к катадиоптрической (зеркально-линзовой) системе.

На защиту выносятся:

1) нелинейные уравнения задач термоупругости для светозащищенных диоптрических систем и метод их линеаризации;

2) модель сложного теплообмена для светозащищенной диоптрической системы и формы представления нелинейных граничных условий задачи термоупругости;

3) точное решение одномерной линеаризованной задачи термоупругости методом конечных интегральных преобразований Фурье на интервалах квазистатичности и его применение к исследованию термомеханической расстраи-ваемости диоптрической системы;

4) оптическая модель градиентной среды термодеформированной линзы и ее связь с качеством изображения диоптрической системы в условиях термомеханической расстраиваемости.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

1. Исследована нелинейность уравнений задач термоупругости для свето-защищенных диоптрических систем, обусловленная наличием сложного теплообмена между линзами под воздействием первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла. Соответствующие уравнения термоупругости линеаризованы путем введения постоянных на интервалах квазистатичности радиационных коэффициентов теплообмена.

2. В граничных условиях задач термоупругости в рамках модели сложного теплообмена учтена динамика воздействия первичных (Земля, Солнце) и вторичных (светозащитная бленда) источников тепла на термоупругое состояние линз диоптрической системы. Рассеяние тепла неизотермическими поверхностями бленды и вогнутыми оптическими поверхностями термодеформируемых линз моделировалось интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода, допускающим организацию кластерной структуры модели.

3. Решена одномерная задача термоупругости для светозащищенных систем методом конечных интегральных преобразований Фурье. Исследование термомеханической расстраиваемости диоптрических систем на основе решений системы одномерных задач термоупругости показало, что поля температур и перемещений оказывают значительное влияние на качество изображения, а применение квазистатического подхода позволяет решать систему уравнений термоупругости не как систему уравнений с взаимосвязанными граничными условиями, а как упорядоченную последовательность задач.

4. Исследована возможность решения пространственных задач теплопроводности и термоупругости с помощью прямого метода граничных элементов. Данные о поле перемещений оптических поверхностей и распределении поля температур в толще линз, найденные из решения начально-краевой задачи термоупругости, позволили создать оптическую модель градиентной среды термо-деформированной линзы и на ее основе описать связь полей температур и перемещений с качеством изображения.